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Un exercice niveau collège que je sais maintenant faire

Modifié (17 Sep) dans Géométrie
Bonjour
Je bute sur un exercice dont l'énoncé est simple . Soit ABCD une carré. On note E le milieu de [D,C], puis on trace la perpendiculaire à la droite (AE) passant par B. On note F le point de rencontre avec [A,E]. Démontrer que CF=CD.

C'est un exercice donné par un prof au collège à ses élèves et a dit que celui qui trouve est un génie . (Je poste au forum d'analyse pour que pldx ne me tombe pas dessus )

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Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
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Réponses

  • Modifié (17 Sep)
    Soit $G$ le symétrique de $B$ par rapport à la droite $(DC)$. Tout point $M$ du cercle $X$ de centre $C$ et de rayon $BC$ est tel que $MAG$ est un triangle rectangle en $M$. Quelle est l'intersection de $X$ et de la droite $(AG)$?
  • Modifié (16 Sep)
    Considérer le milieu $I$ de $[AB]$ et montrer que $(CI)$ est la médiatrice de $[FB]$.
  • @gebrane : est-ce que tu vois mieux avec cette figure ?

  • Bonjour @troisqua Tu triches dans ton dessin car tu supposes que CF est un rayon du cercle  du centre C et de rayon CB=CD. On dirait cet exercice est un maronier 
    Je vais me concentrer sur l'indication de @gai requin
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  • Petite remarque: le triangle-rectangle inscrit dans un cercle n'est plus au programme de collège depuis 2016.
  • salut; ça pourrait faire un exercice facile de seconde( je me méfie des exercices difficiles à un niveau d'études donné, qui se révèlent faciles avec des outils adaptés). Dans le plan pointé en $D$, en prenant comme base orthonormale du plan $(i,j)$ avec $i=\vec{DC}$ et $j=\vec{DA}$, on trouve $F=(\frac15,\frac35)$, d'où $CF=1=CD$.
  • @gebrane : non je ne triche pas, tu dois justement montrer que $F$ est un point du cercle. Vois-tu comment faire ? Je t'ai aidé en traçant ce cercle de diamètre $GB$.
  • Ok je vais me concentrer quand je serai dans un coin tranquille. @Oshine ?
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  • Modifié (16 Sep)
    Si tu as besoin, tu peux répondre aux questions suivantes:
    1. En utilisant le théorème de la droite des milieux, montrer que $C$ est milieu de $\left[BG\right]$.
    2. Déterminer la nature de $BGF$ et en déduire que $F$ appartient au cercle de diamètre $\left[BG\right]$.
    3. Conclure.
  • Modifié (16 Sep)
    @troscas i   Je laisse ce qui se cache sous révéler pour la fin mais rassure moi; est-ce qu'on a un résultat de type 
    un triangle rectangle dont le coté opposé (hypoténuse)  est le diamètre d'un cercle,  est un triangle inscrit dans ce cercle 
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  • Modifié (16 Sep)
    @Gebrane: Si tu as presque tout oublié en géométrie plane, il te reste toujours une méthode qui ne demande pas beaucoup de connaissances.
    Tu te choisis un repère orthonormé et tu exprimes les coordonnées des trois points dans ce repère: calculer des distances devient aisé.
    PS.
    C'est tout pourri comme méthode mais cela fonctionne.
    PS2.
    Le repère qui s'impose ici est évident. Cela permet de n'avoir qu'un point dont il s'agit de trouver les coordonnées. Les autres ont des des coordonnées évidentes.
    PS3.
    Connaître le produit scalaire aide bien sûr.
  • Oui gebrane mais il faut déjà montrer que tu as un diamètre sous les yeux.
  • Bonjour,

    La meilleure méthode est celle de Gai Requin.

    Cordialement,
    Rescassol

  • @troisqua tu veux dire qu'il faut démontrer que les points  G,E et F sont alignés ?
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  • Les droites EC et AB sont parallèles et d'après Thales réciproque  ( CE/AB=1/2=GC/GB)  les points  A, E et G sont alignés donc aussi les points F,E et G 
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  • Modifié (16 Sep)
    @Fin de partie       ta méthode n'est pas du seconde?
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  • Modifié (16 Sep)
    @Fin de partie : salut. Pourquoi considérer comme "tout pourri" une méthode qui repose sur le lien fructueux entre géométrie élémentaire et algèbre linéaire ? Il est vrai que "la géométrie classique a fané" mais doit-on le déplorer et éviter de recourir à des méthodes efficaces sous prétexte qu'elles seraient moins "pures" ?
     
    $F=(0.2,0.6)$
  • Tu sais que $G$ est l'intersection de $(BC)$ et $(AE)$. Dans le triangle $GBA$, que dire de $CE$ et $BA$ ? En utilisant le théorème de Thalès (ou juste la "droite des milieux") que conclure sur $C$ ?
  • Non je ne sais pas que G est l'intersection de (BC) et (AE)., je sais seulement ( d'après Foys) que G est le symétrique de B par la droite (CD). Si tu vois mon message précèdent je le démontre par Thalès réciproque 
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  • Modifié (16 Sep)
    Soc a dit :
    Petite remarque: le triangle-rectangle inscrit dans un cercle n'est plus au programme de collège depuis 2016.
    On a le droit de savoir que quand un quadrilatère a ses deux diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu alors il s'agit d'un rectangle (fait assez intuitif je trouve) ou bien non, ça a été censuré ça aussi ?
  • Modifié (16 Sep)
    gebrane: je n'ai pas suivi Foys (parti sur une autre démarche) et dans ma figure j'ai défini $G$ comme l'intersection de ces droites.
  • J'ai compris la méthode de @gai requin  on démontre d'abord sue les points A,E et G sont alignés, puis que les droites (IC) et (AG) sont parallèles  et facilement que (IC) est la médiatrice de [F,B], donc le triangle CBF est isocèle en C et donc CF=CB. Tu es ok @gai requin ?



      
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  • Modifié (16 Sep)
    @troiscas Ah oui j'ai cru que tu partais de l'indication de Foys !!

    Donc je réponds à ta question CE=1/2 BA
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  • Modifié (16 Sep)
    Pour être certain d'être bien compris je rédige une preuve.

    Soit $G$ l'intersection de $\left(BC\right)$ et $\left(AE\right)$. Comme $\left(AB\right)$ et $\left(EC\right)$ sont parallèles et que $AB=2EC,$ on a $BG=2BC$ donc $C$ est milieu de $\left[BG\right]$. Ainsi le triangle rectangle $BGF$ est inscrit dans le cercle de diamètre $\left[BG\right]$. Donc $CF=CD$.

  • @gebrane : Pas besoin de $G$.
  • Modifié (16 Sep)
    @troiscas J'étais perdu entre toi et Foys, Foys d'office prend C le milieu  de [G,B]

     Mais tu as utilisé un théorème que je ne connaissais pas  ,  je connaissais seulement la version suivante  un triangle dont l'un des cotés est un diamètre inscrit dans un cercle, est un triangle rectangle, je ne pense pas que j'ai vu au collège la version  un triangle rectangle dont le coté opposé (hypoténuse)  est le diamètre d'un cercle,  est un triangle inscrit dans ce cercle  à confirmer par les profs en exercice au collège.
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  • gai requin   j'avais besoin de G pour démontrer que  (AE) et (IC) sont parallèles !
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  • Gebrane, je reviens à l'indication de Gai Requin : je n'ajoute à la figure, pour commencer, que le seul point $I$ et le segment $CI$.
    Alors le quadrilatère $AICE$ est un parallélogramme, puisqu'il possède, c'est évident, deux cotés, $AI$ et $EC$, égaux et parallèles. $CI$ est donc parallèle à $AE$, donc perpendiculaire à $BF$. Soit $H$ le point d'intersection de $BF$ et $CI$ : les triangles $BFA$ et $BHI$ étant semblables, on a $BH/BF = BI/BA = 1/2$, donc $H$ est le milieu de $BF$, $CI$ est bien la médiatrice de $BF$, donc $CF = CB = CD$, cqfd.
    il n'y a pas besoin, à mon avis, de faire intervenir le point $G$.
    Bien cordialement, JLB
  • Merci @jelobreuil Ca 'm'a échappé un  quadrilatère  est un parallélogramme, s'il possède deux cotés, égaux et parallèles

    Merci à vous tous , vous  avez sauvé mon honneur   :) 
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  • Modifié (16 Sep)
    @gebrane : https://www.clg-nathaliesarraute.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?article635 on dirait qu'au collège on enseigne l'équivalence.
    Très compliqué à suivre ce fil à cause de méthodes qui se sont croisées avec des points de même nom définis différemment.

  • Modifié (16 Sep)
    Oui effectivement.
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  • troisqua a dit :
    @gebrane : https://www.clg-nathaliesarraute.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?article635 on dirait qu'au collège on enseigne l'équivalence.
    C'était en 2012, mais plus au programme depuis 2016.
  • Modifié (16 Sep)
    Une question, si un professeur ne respecte pas le programme  ( donne des extras en les signalant aux élèves) , il risque quoi ?  
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  • Modifié (16 Sep)
    @soc : oui tu as raison, en revanche c'était au programme pour gebrane :)
  • SocSoc
    Modifié (16 Sep)
    Si ce sont des extras en plus d'avoir fini le programme, il ne peut rien lui arriver (à part ma totale admiration).
    Si ce sont des extras à la place du programme, tout dépend de la proportion, mais il ne peut pas lui arriver grand chose non plus à part une tape sur les doigts.
  • Un professeur doit traiter tout le programme. Il peut déborder du programme : Si ce qu'il raconte fait partie du socle commun, pas de problème. Si ce n'est pas dedans, pas de problème tant qu'il n'évalue pas dessus.
    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Une suggestion que @Fin de partie   aime appliquer en calcul intégrale; traiter l'exercice sans ajout d'aucun point et sans faire appel à une méthode utilisant les coordonnées.
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  • @Foys: Pas complètement sûr pour les diagonales en tant que propriété caractéristique, mais je crois bien disparues aussi.
  • Modifié (16 Sep)
    @Gebrane: c'est un truc classique dans un triangle d'exprimer de trois façons l'aire d'un triangle pour en déduire des renseignements sur les longueurs des côtés. Je me souviens d'un exercice de BAC où était appliquée ce principe mais dans une pyramide à base carrée, je crois,: cela avait chouiné sévèrement à l'issue de l'épreuve.

    PS:
    Je me rappelle d'un logiciel de géométrie qui résolvait des exercices en traduisant la question posée en termes d'aires, si j'ai bien compris.
    (le logiciel n'était pas public il y avait seulement sa description et j'ai oublié son nom)
  • Fin de partie    je vais chercher jusqu'à trouver une méthode avec les restrictions mentionnées .
    Bonne idée d'utiliser les aires.
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  • Modifié (16 Sep)
    gebrane a dit :
     traiter l'exercice sans ajout d'aucun point et sans faire appel à une méthode utilisant les coordonnées.
    Je n'ai pas tout lu mais voici ma proposition : 
    B,F,C,E sont cocycliques (sur le cercle de diamètre [BE])
    Les angles FEB et FCB interceptent le même arc donc sont égaux.


    Notons a l'angle FEB et b l'angle DEA.

    On a aussi BEC = b et FCB = FEB = a donc FCE  = 90 - a.
    On en déduit EFC = 90-b puis BFC = b.
    Enfin, on a FAB = b donc FBC = b = BFC, ce qui montre que le triangle FBC est isocèle en C et donc CF = CB.




  • Bonjour
    Pour les derniers commentaires concernant l'aire et les côtés
    On peut utiliser des équations du quatrième degré par la relation:
    $ABC$ un triangle et $\mathcal {A}$ son aire
    $a=BC,b=CA,c=AB$
    Alors
    $a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2+16\mathcal {A}^2=0$
     Dieter Skiba "Schaut auf die sterbenden Mächte"
  • SocSoc
    Modifié (16 Sep)
    FEB = 60, je n'achète pas ! (ABE serait equilatéral et AE égale à AD). Cela dit si tu finis par les angles ça m'intéresse car je coince mais ça doit pouvoir passer.
  • Modifié (16 Sep)
    Je crois avoir réparé.
  • Modifié (16 Sep)
    [...]
  • Bonsoir,

    FEB=60, non, mais on peut sauver la démo de JLapin:

    EAB=FBC comme complémentaires du même angle ABF.
    Les deux triangles EAB et CFB ayant deux angles égaux ont leur troisième angle égal aussi.
    Et comme EAB est isocèle, CFB l'est aussi.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bravo à vos deux .

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  • Bonjour,
    mon point de vue...

    1. le quadrilatère FECB est cyclique
    2. (EC) est la E-bissectrice extérieure du triangle EBF
    3. CF = CB.

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour.
    "je connaissais seulement la version suivante  un triangle dont l'un des cotés est un diamètre inscrit dans un cercle, est un triangle rectangle, je ne pense pas que j'ai vu au collège la version  un triangle rectangle dont le coté opposé (hypoténuse)  est le diamètre d'un cercle,  est un triangle inscrit dans ce cercle  à confirmer par les profs en exercice au collège."
    Tout de même, il ne faut pas pousser !
    La droite (AG) recoupe le cercle de diamètre [BG] en F'. Donc, d'après la "version que tu connais", la droite (BF') est perpendiculaire à (AG). Or tu as défini F comme l'intersection avec (AG) de la perpendiculaire à (AG) menée par B.
    Et tu prétends ne pas savoir que F=F' ?
  • Bonjour,

    Jean-Louis, pour un niveau collège, tu n'en dis pas assez, tu sautes trop d'étapes.

    Cordialement,
    Rescassol

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