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Puissance d'une matrice

Modifié (16 Sep) dans Algèbre
Bonjour les matheux
Je veux calculer A^n avec une matrice 2x2 qui a comme coefficients
   1 et -1 sur la première ligne
   2 et -3 sur la deuxième ligne
J'aimerais trouver une méthode qui n'utilise pas la diagonalisation. Vous avez une idée ?
Merci pour votre aide.

Réponses

  • Bonjour,
    Tu peux suivre ces étapes :
    (1) : Démontrer que $A^2 + 2A - I = 0$
    (2) : En déduire $A^n = a_n A + b_n I$ en explicitant $a_n, b_n$.
    Mais ça restera moins efficace qu'une diagonalisation.
  • Merci Bibix.
    Il va falloir que je me concentre sur le passage de l'etape 1 a l'étape 2😄!!
  • Rien à faire le passage de l'étape 1 a la suivante... je n'y parviens pas.... Help....
    Merci pour votre aide.
  • Bonjour

    tu calcules le déterminant de ta matrice A : tu trouves dét A = - 1

    donc A possède 2 valeurs propres $x_1$ et $x_2$ que tu trouves avec le déterminant caractéristique

    tu trouves l'équation caractéristique $x^2 + 2x -1 = 0$ dont les racines sont $x_1 = - 1 + \sqrt{2}$ et $x_2 = - 1 - \sqrt{2}$

    d'après le théorème de Cayley-Hamilton la matrice A obéit à sa propre équation caractéristique soit : 

    $$A^2 + 2A - 1 = 0$$

    et la puissance nième de A est telle que $A^n = M(x_1)^n + N(x_2)^n$
    avec M et N matrices carrées du même format que A

    tu détermines M et N en faisant n = 0 puis n = 1 dans ta formule explicitée de $A^n$ connaissant I la matrice unité de format (2;2)

    tu obtiens deux équations affines en M et N soient : $M + N = I$ et $x_1.M + x_2.N = A$ que tu sais résoudre :

    tu trouves : $M = \frac{A}{2\sqrt{2}} + \frac{I}{2\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})$ et tu en déduits $N = I - M$

    tu conclues sur la forme explicitée de $A^n$

    cordialement
  • $$A^2 + 2A - 1 = 0$$
    Aïe... je redoutais que cette horreur apparaisse à un moment ou un autre. Bon sinon, voici une petite aide supplémentaire :
    $A^{n+1} = A(a_n A + b_n I) = a_n(I - 2 A) + b_n A = (b_n-2 a_n) A + a_n I$.
    Si tu sais comment étudier les suites linéairement récurrentes doubles (comme Fibonacci), ça devrait suffir.
  • On pose $P=X^{2}+2X-1$ qui annule $A$. Fixons $n$ naturel. Il existe $Q$ polynôme et $a,b$ deux réels tels que $X^{n}=PQ+aX+b\left(*\right)$ (par division euclidienne, le reste est de degré strictement inférieur à celui de $P$). Soient $r<s$ les deux racines de $P$. Si on évalue $\left(*\right)$ sur une racine $x$ de $P$ alors $x^{n}=ax+b$ donc $\begin{cases} ar+b & =r^{n}\\ as+b & =s^{n} \end{cases}$ donc on détermine $a,b$ sans effort par combinaison linéaire et donc $X^{n}=\frac{s^{n}-r^{n}}{s-r}X+\frac{sr^{n}-rs^{n}}{s-r}$ qu'on évalue sur la matrice $A$ et qui donne $$A^{n}=\frac{s^{n}-r^{n}}{s-r}A+\frac{sr^{n}-rs^{n}}{s-r}I_{2}$$ Tu n'as plus qu'à remplacer $r=-\sqrt{2}-1$ et $s=\sqrt{2}-1$ et c'est fini.

    PS : ça marche dès que le discriminant de $P$ est non nul, sinon on dérive $P$ pour profiter de la racine double. Donc la même méthode fonctionne (à légère adaptation près) que $A$ soit $\mathbb{C}$ diagonalisable ou non.


  • On peut aussi faire comme ceci : on écrit la division Euclidienne $X^n=(X^2+2X-1)Q+a_nX+b_n$. Pour déterminer $a_n$ et $b_n$ on évalue les deux membres en $-1\pm\sqrt{2}$.
  • @JLT : je t'ai devancé d'une minute :)
  • Hmm qui sait si tu n'as pas envoyé ton message à 14:00:59.999 et moi à 14:01:00.001 ?
  • Grillé d'une picoseconde, c'est grillé tout de même :)
  • Qui sait que je n'ai pas donné un arrondi par excès ?
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