Sous groupes du groupe de Galois sur $\Q$ de $X^5-2$

Blanc

Bonjour,

Comment trouver tous les sous groupes du groupe de Galois G sur Q de X^5-2  sachant que G est égal à :

Par ailleurs je connais tous les automorphismes de G 


 il est possible que pour certains ordres choisis parmi 2 , 4 , 5, 10   la recherche se fasse à la force du poignet (lesquels) et que pour d'autres la recherche des sous groupes relève d'un raisonnement. Dans ce cas je vous remercie de me le détailler.

Un grand merci.

Math Coss

Il serait bon de décrire la structure de $G$. Il y a $20=5\times4$ éléments. Tu connais deux éléments d'ordre $4$ et $5$ donc deux sous-groupes, $\langle\sigma\rangle\simeq\Z/5\Z$ et $\langle\sigma\rangle\simeq\Z/4\Z$.

Est-ce que $G$ est le produit direct de ces sous-groupes ? Autrement dit, est-ce que $\sigma$ et $\tau$ commutent ? (Réponse : non.)

Est-ce que l'un des sous-groupes $\langle\sigma\rangle$ et $\langle\tau\rangle$ est distingué ? (Réponse : oui.) (À un moment ou à un autre, il serait utile de calculer $\sigma\tau\sigma^{-1}$ et $\tau\sigma\tau^{-1}$.)

Cela donne l'espoir d'avoir un produit semi-direct. Est-ce que $G$ est bien un produit semi-direct ? (Réponse : oui.) En connais-tu une réalisation plus simple ? (Peut-être : on peut le voir comme le groupe de transformations affines d'une droite – sur quel corps ?)

Avec ces informations, la description des sous-groupes devrait être simplifiée.

LOU16

Bonjour,

En notant $C_5$, (respectivement $C_4$) le groupe cyclique d'ordre $5$ (resp. $4$) engendré par $\sigma$ (resp. $\tau$),

$G$ est isomorphe au produit semi-direct $C_5\rtimes _{\varphi} C_4$ où $ \varphi : \ C_4\to \text{Aut} (C_5)$ est défini par $\left(\varphi (\tau ^k)\right)(\sigma) = \sigma^{2^k}.$

Voici le recensement des sous-groupes non "triviaux" de $G$ et des corps intermédiaires qui leur sont associés par la correspondance de Galois.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline  \text{Sous-groupes non triviaux } H \text{ de } G& \text{Corps } \mathbb K_H = \{x\in \mathbb K \mid \forall \theta \in H, \: \theta(x) =x \} \\ \hline \hline 5\text{  sous-groupes d'ordre } 2:  \:\: \langle \sigma ^{k }\tau^2 \rangle , \:\: k \in [\![0;4]\!] & \Q(\alpha \omega ^{3k }, \sqrt 5),\:\:k\in [\![0;4]\!] \\ \hline 5\text{ sous-groupes d'ordre } 4: \:\: \langle \sigma ^k \tau \rangle ,\:\: k \in [\![0;4]\!]&  \Q(\alpha \omega ^{-k}), \:\: k \in [\![0;4]\!]\\ \hline 1\text{  sous-groupe d'ordre } 5: \:\: \langle \sigma\rangle & \Q(\omega) \\ \hline1\text{ sous-groupe d'ordre }10 : \:\: \langle \sigma\:, \: \tau^2\rangle & \Q(\sqrt 5)\\ \hline \end{array} $$

$\left( \dfrac {\sqrt 5 -1}2 = \omega +\omega^{-1}\right)$

AD

Et une illustration de cela sous forme de treillis.

Alain

Blanc

merci pour vos réponses  mais comment trouver le groupe d'ordre 10 ?

Math Coss

Il contient un élément d'ordre $5$ et un élément d'ordre $2$. Le groupe engendré par $\sigma^j$ et $\sigma^k\tau^2$ est le groupe que tu cherches, quels que soient $j\in\{1,2,3,4\}$ et $k\in\{0,1,2,3,4\}$. (On retrouve $\sigma$ comme une puissance convenable de $\sigma^j$ et on retrouve $\tau^2=\sigma^{-k}(\sigma^k\tau^2)$. Reste à vérifier que $\langle\sigma,\tau^2\rangle$ est un groupe diédral d'ordre $10$, ce qui est immédiat après avoir vérifié que $\tau^2\sigma\tau^{-2}=\sigma^{-1}$.)

Blanc

Math Coss
J'ai plusieurs choses qui m'échappent.
1) Pourquoi si le groupe a un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 5 le groupe engendré par les deux éléments que tu cites  est d'ordre 10 ?
Quel est le th que tu utilises ?
2) Quelle est la partie du cours sur les produits semi-directs qui permet l'isomorphisme proposé par Lou 16  ?
En te remerciant.

Blanc

Bonjour Alain
J'aimerais savoir si l'isomorphisme entre le groupe de Galois du polynôme cité ci dessus et $C_5\rtimes_\varphi C_4$ proposé par Lou 16 permet d'obtenir le tableau suivant.  Dans ce cas je te remercie de me détailler un exemple permettant de trouver l'un  des  sous groupes de ce tableau et son sous sous corps intermédiaire.  
Si cet isomorphisme ne permet pas de les trouver, y a-t-il une méthode pour les rechercher ou bien c'est en tâtonnant qu'on les trouve.
Un grand merci.

Math Coss

J'ai d'abord fait la liste des éléments d'ordre $2$ ou $5$ et constaté que le choix de n'importe quel couple d'éléments conduisait au même sous-groupe que celui engendré par $\sigma$ et $\tau^2$. Celui-ci est bien d'ordre $10$ et diédral à cause des relations $\sigma^5=(\tau^2)^2=1$ et $\tau^2\sigma\tau^{-2}=\sigma^{-1}$ (si on ne connaît pas cette présentation du groupe diédral, on montre d'abord que tout élément est de la forme $\sigma^j(\tau^{2})^k$ avec $0\le j\le4$ et $0\le k\le1$)).

Pour établir l'isomorphisme avec le produit semi-direct, tout découle de la relation $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^2$ (avec bien sûr $\sigma^5=\tau^4=1$).

Blanc

Bonjour math Coss,
Merci pour ta réponse. J'ai eu entre temps l'occasion d'approfondir la question et d' aboutir au même résultat à savoir que ce groupe d'ordre 10 est diédral.

AD

Bonsoir Blanc

Tu peux trouver l'exercice traité dans la littérature. Par exemple, dans Algèbre éclectique de G.Danila, J.D.Eiden, R.Mneimné, chez Calvage & Mounet, le problème p666-670 traite du groupe de Galois du polynôme $X^5-7$ (qui a la même structure que celui du polynôme $X^5-2$).

Le groupe de Galois : $C_5\rtimes_\phi C_4$ est modélisé comme un sous-groupe du groupe affine de la droite affine sur $\mathbb F_5$, précisément, le sous-groupe des homothéties-translations.

Son sous-groupe d'ordre 10 est le groupe des demi-tours-translations (noté $DtT(\mathcal E_1,\mathbb F_5)$ ici). Ayant 5 sous-groupes d'ordre 2 conjugués (chacun engendré par un demi-tour en chacun des 5 points de $\mathcal E_1$), c'est donc le diédral : $\mathcal D_5$.

Voici les treillis des sous-groupes du groupe de Galois $X^5-7$ et celui des sous-extensions de son corps de décomposition.

Alain

PS. Je te recommande vivement d'aller feuilleter dans ta BU le livre référencé ci-dessus. Tu y trouveras plein d'exemples apparentés à celui-ci.

Blanc

Bonjour Alain et LOU16,
il m'est malheureusement impossible de me procurer cet ouvrage ne pouvant me déplacer.
J'aimerais que l'on m'explique juste un point ce qui m'aidera pour les autres cas.
Je suppose que je ne connais pas les corps intermédiaires du tableau proposé par LOU16.
Comment montrer que le corps intermédiaire associé à un sous groupe engendré par un élément d'ordre 2 a pour dimension 10 sur Q ?
En vous remerciant.

Blanc

Après réflexion, les choses se passent bien si l'on utilise le théorème de la base télescopique et que Q(racine (a)) sous certaine condition est une extension quadratique. Merci à Louis 16 pour sa remarque sur oméga +inverse de oméga  qui permet d'exprimer racine de 5 ce qui facilite les choses alors que ce n'était pas évident avec le premier tableau que j'ai donné au tout début.

Moyennant cela, je vais voir ce qu'il en est pour les espaces de dimension 5, 4 et 2.