Groupes de Galois dans tous les sens

Joaopa

Bonjour à tous.
Voici un exercice qu'on m'a proposé. Dans toute la suite, les extensions sont finies.

Soit $K/\mathbb Q$ une extension, $N$ une extension galoisienne de $\mathbb Q$ qui contient $K$. On note $N_K$ la clôture normale de $K$ sur $\mathbb Q$ contenu dans $N$ . La question: déterminer le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(N/N_K)$. Intuitivement, je pense que c'est le plus grand  sous-groupe normal de $\mathrm{Gal}(N/\mathbb Q)$ qui contient $\mathrm{Gal}(N/K)$. Mais je n'arrive pas à formaliser.
SI quelqu'un a une idée.

Foys

Soit $\mathcal E$ l'ensemble des extensions de corps de $\Q$ contenues dans $N$. Alors l'application $M\in \mathcal E \mapsto Gal(N/M)$ est une bijection décroissante pour l'inclusion (et de réciproque décroissante) de $\mathcal E$ dans l'ensemble des sous-groupes de $Gal(N/\Q)$ (la réciproque étant donnée par $\Gamma \mapsto \{x \in N \mid \forall g \in \Gamma, g(x) = x\}$).D'autre part pour tout $K\in \mathcal E$, $K/\Q$ est galoisienne (i.e. normale puisque $\Q$ étant de caractéristique nulle $N/\Q$ est séparable et toutes  ses sous-extensions le sont alors aussi)  si et seulement si $Gal(N/K)$ est distingué dans $Gal(N/\Q)$ (le quotient étant alors isomorphe à $Gal(K/\Q)$). Ceci est la "correspondance de Galois".

L'affirmation à montrer est un corollaire immédiat de ce théorème.