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Séries entières

Modifié (16 Sep) dans Analyse
Bonsoir
Je bloque à la première question.
a) Soit $t \in [-\pi,\pi]$. On a $f(r e^{it} )= \displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty} a_p  r^p e^{ipt} $
Donc $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(r e^{it} )e^{- int} dt = \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}  \displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty}  a_p r^p  e^{i(p-n)t} dt$
Ici je bloque.

Réponses

  • Tu ne connais pas le résultat qui dit que dans ce cas tu peux inverser l'intégrale et la somme ? Si non ça ne sert à rien de faire l'exo il faut lire un cours d'abord.
  • Analyse complexe... 
  • Jamais entendu parler des séries de Fourier?
  • @raoul.S ok merci je regarde le cours.

    @JLapin
    Un exo tous les 2-3 jours est abusif ?
  • Modifié (16 Sep)
    Les $e^{ipt}$ forment une base hilbertienne orthonormée sur $\mathbb{T}^1$.
  • Modifié (16 Sep)
    a) Soit $r\in\R_+$, $n\in\N$. Pour $p\in\N$ et $t\in[-\pi,\pi]$, $|a_p(re^{it})^pe^{-int}|=|a_p|r^p$. Puisque $f(r)$ converge absolument, alors |a_p|r^p est le terme d'une série convergente. Donc $\sum\limits_{p\in\N}{a_p(re^{it})^pe^{-int}}$ converge normalement, sur $[-\pi,\pi]$. On peut donc intervertir somme et intégrale : $$\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}{f(re^{it})e^{-int}dt}=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{p=0}^{+\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{a_pr^pe^{i(p-n)t}dt}}}=a_nr^n$$
  • ADAD
    Modifié (16 Sep)
    Je viens de supprimer 11 messages relatif au comportement de OShine.
    Restons dans les réponses mathématiques.
    Comme Amédé ci-dessus, faites vous plaisir à donner les solutions mathématiques aux exercices proposés par OShine, sans tenir compte de ses "Je bloque" pavloviens.
    AD
  • J'ai vu ces théorèmes en prépa.

    @Amédé il sort d'où le $f(r)$ converge absolument ? L'énoncé donne juste la convergence.

    $\displaystyle\int_{- \pi}^{\pi} a_p r^p e^{ i(p-n)t} dt =a_p r^p  \displaystyle\int_{- \pi}^{\pi} e^{ i(p-n)t} dt$
  • Modifié (16 Sep)
    OShine a dit :
    J'ai vu ces théorèmes en prépa.
    @Amédé il sort d'où le $f(r)$ converge absolument ? L'énoncé donne juste la convergence.
    Que signifie l'hypothèse de l'énoncé ?
  • Modifié (16 Sep)
    Le rayon de convergence est plus l'infini donc la série converge absolument si $|z| < + \infty$. 
    Je trouve une intégrale nulle.

  • Modifié (16 Sep)
    Il faut distinguer le cas p=n. Les $(e^{i nt})_{n\in\Z}$ est une famille orthonormée.
    OShine a dit :
    J'ai vu ces théorèmes en prépa.
    @Amédé il sort d'où le $f(r)$ converge absolument ? L'énoncé donne juste la convergence.
    La fonction $f$ est entière et en particulier la série entière qui la décrit converge absolument (même normalement) sur tout disque.
  • Modifié (16 Sep)
    D'accord merci, la somme est nulle sauf pour $p=n$. \begin{align*}\dfrac{1}{2 \pi r^n} \int_{-\pi}^{\pi} f(re^{it})e^{-int} dt&=\dfrac{1}{2 \pi r^n} \sum_{p=0}^{+\infty} a_p r^p \int_{-\pi}^{\pi} e^{ i(p-n)t} dt \\
    &=\dfrac{1}{2 \pi r^n} \sum_{p=n} a_p r^p \int_{-\pi}^{\pi} e^{ i(p-n)t} dt + \dfrac{1}{2 \pi r^n} \sum_{p \ne n} a_p r^p \int_{-\pi}^{\pi} e^{ i(p-n)t} dt  \\
    &=\dfrac{1}{2 \pi r^n} a_n r^n \int_{-\pi}^{\pi}  dt=a_n\end{align*} Ce qui achève la première question.
  • Modifié (16 Sep)
    Je ne trouve pas l'erreur latex.
    [Un moyen consiste à ne pas aller à la ligne dans un environnement gather, align, array etc. AD]
  • Tu peux insérer ton code dans un éditeur de Latex avec console qui t'indiquera les lignes où tu t'es trompé en terme de syntaxe. C'est une façon de faire qui montrerait ton autonomie sans exploiter les membres du forum.
  • Modifié (16 Sep)
    Merci. La question $2$ est facile, pour une fois que je réussi une question !
    2) $\forall t \in [-\pi,\pi], \ \  |re^{it}| = r$
    $\Big| \dfrac{1}{2 \pi r^n} \displaystyle\int_{- \pi}^{\pi} f(r e^{it} )e^{-int} dt\Big | \leq \dfrac{1}{2 \pi r^n} \int_{- \pi}^{\pi} |  f(r e^{it} ) | dt$
    Or $\forall t \in [-\pi,\pi], \ \  |  f(r e^{it} ) | \leq M(r)$.
    Donc $\Big| \dfrac{1}{2 \pi r^n} \displaystyle\int_{- \pi}^{\pi} f(r e^{it} )e^{-int} dt\Big | \leq  \dfrac{1}{2 \pi r^n}  M(r) \int_{- \pi}^{\pi} dt 
    \leq \dfrac{M(r)}{r^n}$
    Finalement $\boxed{\forall n \in \N ,\ |a_n| \leq \dfrac{ M(r)}{r^n}}$.
  • La question $c$ je ne vois pas du tout comment faire.
  • Majore $M(r)$
  • Salut OS,

    Soit $r>0$, pour $|z|=r$, majore comme le dit noobey $|f(z)|$ et en conséquence $M(r)$. 

    Utilise alors cette majoration pour majorer $|a_n|$ et étudier le cas $n>d$ qui soit te conduire à montrer que $a_n=0$ dans ce cas.

    Jean-éric.
  • Modifié (16 Sep)
    Merci. J'ai avancé un peu mais il me manque des choses.
    Soit $r>0$.
    Pour $|z|=r$, on a $| f(z) | \leq A r^d+B$. Par définition de la borne supérieure, on a $\boxed{M(z) \leq A r^d +B}$ .
    Soit $n \in \N$ tel que $n >d$. Montrons que $f$ est nulle. 
    On a $|a_n| \leq \dfrac{ M(r)}{r^n} \leq \dfrac{ A r^d +B }{r^n} = \boxed{ A r^{d-n} + Br^{-n} }$
    Comme $d>n$ alors $n>d$ alors $d-n<0$. 
    Je bloque pour montrer que $a_n$ est nul pour $d>n$ ...
  • Modifié (16 Sep)
    Re OS,
    $r>0$ peut tendre vers $+\infty$ n'est-ce pas ?
    Il y a une typo à rectifier dans ton dernier message avec deux fois $\leq$.  
    Jean-éric.
  • Petite question supplémentaire @OShine : peux-tu justifier l'existence de $M(r)$ ?
  • Modifié (16 Sep)
    Réponse : on fait tendre r vers l'infini et pour n>d on obtient $|a_n|\leq 0$
    Exo terminé tu peux passer au suivant.
  • Modifié (16 Sep)
    @jean-éric bien vu. Comme $d-n<0$ on a $\lim\limits_{r \rightarrow +\infty} A r^{d-n}+r^{-n} = 0+0=0$ donc $|a_n|=0$ et donc $a_n=0$ si $d<n$.

    @Barry. L'ensemble $A=\{ |f(z)| \mid z \in \C \ |z|=r \}$ est une partie non vide de $\R$, elle contient $|\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n r^n|$ , elle est majorée par $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n| r^n$, elle admet donc une borne supérieure.
    Or, $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n| r^n \in A$, donc la borne supérieure est atteinte et elle vaut $\boxed{\sup A = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n| r^n }$.
  • Modifié (16 Sep)
    @OShine : la dernière phrase est mal rédigée je trouve. À part cela, le problème de ton raisonnement est que tu majores une partie de $\mathbb{R}$ par une quantité qui est a priori complexe, la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ étant complexe (et tu dis aussi qu'elle y appartient !).
  • Modifié (16 Sep)
    J'ai corrigé il y a avait beaucoup d'erreurs.

  • Modifié (16 Sep)
    Pourquoi $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n| r^n \in A$ ? En quel nombre complexe $z$ de module $r$ a-t-on $|f(z)| = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n| r^n$ ?
  • Modifié (17 Sep)
    Salut OS
    Je ne sais pas déterminer $z$ tel que $|z|=r$ vérifiant $M(r)=|f(z)|$ en général. Par contre je sais humblement justifier l'existence de $M(r)$. Compacité et continuité sont tes amis OS pour cela. Bref, pourquoi $f$ est continue sur $\mathbb{C}$ ainsi que $z\longmapsto |z|$ et pourquoi, pour $r>0$ donné, l'ensemble $|z|=r$ est-il un compact de $\mathbb{C}$ (pour quelle topologie d'ailleurs ;-).
    Jean-éric
  • Modifié (17 Sep)
    @Barry oui il y a des fautes.
    Pour $|z|=r$ on a $|f(z)|= \Big| \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\Big| \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n$
    Donc $\sup A \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n$ on a bien $|r|=r$ car $z=r$. La borne supérieure est atteinte en $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n
    @jean-éric
    Je ne connais pas les topologies, juste la topologie des espaces vectoriel normés.
    On ne peut pas utiliser que toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure ? 
    La série entière est continue sur $\R$ d'après le cours, l'application module aussi d'après le cours donc $f$ est continue.
    L'ensemble $B=\{ z \in \C \mid |z|=r \}$ est un compact car c'est l'image réciproque du fermé $\{ r \}$ par l'application continue $g : z \mapsto |z|$, cet ensemble est évidemment borné, c'est donc un compact.
    $f : K \rightarrow \R$, avec $K$ compact donc $f$ est bornée et atteint ses bornes d'où l'existence du sup.
    PS : j'ai un doute j'ai montré fermé/borné mais les fermés bornés sont des compacts uniquement en dimension finie. Je ne suis pas sûr.
  • Modifié (17 Sep)
    OShine a dit :
    @Barry oui il y a des fautes.
    Pour $|z|=r$ on a $|f(z)|= | \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n| \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n$
    Donc $\sup A \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n$ on a bien $|r|=r$ car $z=r$. La borne supérieure est atteinte en $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n$
    Pour la majoration je suis d'accord, mais là tu me réécris ton message précédent. Toi, tu affirmes que la borne supérieure est bien atteinte ; moi, je te demande de me donner un nombre complexe $z$ de module $r$ tel que $|f(z)| = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n | r^n$ car tu m'affirmes que ce majorant est atteint.
    Par contre, c'est effectivement dommage que tu n'aies pas pensé à utiliser le théorème des bornes atteintes... Les fermés bornés sont des compacts en dimension finie uniquement, tu as raison, mais dans ce cas pourquoi hésiter ? Ton compact est une partie de $\mathbb{C}$...
  • Je ne saurai pas trouver un tel complexe en effet.

    Oui $\C$ est de dimension $2$ en tant que $\R$ espace vectoriel et de dimension $1$ en tant que $\C$ espace vectoriel.
  • Modifié (17 Sep)
    Il va falloir être plus attentif car ça faisait deux fois que je te le demandais, comme ça faisait deux fois que je te signalais que tu n'avais pas utilisé la bonne norme dans un autre topic, tout ça pour me dire que tu ne saurais pas me le donner !! Si tu n'en es pas capable, c'est que soit tu passes à côté de quelque chose, soit le trouver est un problème top difficile, mais dans les deux cas, il faut alors se demander si tu n'as pas des moyens de prouver l'existence de ce max sans le trouver... 
  • Modifié (17 Sep)
    OS
    Pour moi déterminer la où les valeurs de $z$ où $M(r)$ est atteint lorsque $r >0$ est donné n'est pas simple.
    Prenons par exemple $f(z)=1-z+z^2$ ($f$ est une fonction polynôme) et fixons $r>0$.
    Tu affirmes sans argumentation que $M(r)=1+r+r^2$ étant donné ce que tu as écrit, dans le cadre de mon simple exemple.
     Pour déterminer (si c'est possible) les valeurs de $z$ donnant le maximum je ferai ainsi : 
    Utilisons l'écriture $z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$ avec $\theta \in ]-\pi \ ; \ \pi ]$, alors 
    $$ f(z)= 1-r(\cos \theta +i \sin \theta)+r^2(\cos \theta +i \sin \theta)^2=1-r\cos \theta +r^2(\cos 2\theta)+i (r\sin \theta +r^2 \sin 2 \theta).$$ Comme tu cherches le maximum de $|f(z)|$, on va chercher celui de $|f(z)|^2$ ce qui est équivalent (à justifier).
    $$|f(z)|^2=(1-r\cos\theta+r^2\cos2\theta)^2+(r\sin \theta+r^2 \sin 2\theta)^2,$$ on cherche donc le maximum de cette fonction donc la seule variable est $\theta$. 
    Est-ce vraiment évident que le maximum soit atteint en $\theta=\pi $ sur l'intervalle $]-\pi \ ; \ \pi]$ comme tu le supposes ?
    J'avoue qu'à ce stade je n'ai pas envie d'aller plus loin. Qu'en penses-tu ?

  • @Jean-éric, le problème c'est qu'avec ton exemple c'est bien le cas. ;) A ta place par sécurité j'aurai mis un coefficient complexe quelque part.  
  • Modifié (17 Sep)
    @bd2017
    Oui tu as raison, je tenterai avec $f(z)=1-iz+z^2$ (faut que je vérifie avant).
    Merci.
  • Modifié (17 Sep)
    Pourquoi se compliquer la vie alors que ça fonctionne avec le théorème des bornes atteintes sur une application continue sur un compact à valeurs dans $\R$ ?
    @Barry j'ai prouvé l'existence du max en utilisant le théorème des bornes atteintes, voir plus haut. L'autre méthode ne me semble pas évidente.
  • Oui, je parlais de façon générale dans la fin de mon dernier message. J'avais déjà réagi à ta preuve ! C'est un théorème dont il faut absolument se rappeler...
  • J'ai un excellent livre de résumé de cours de L1-L2 d'Olivier Rodot - Rombaldi que je viens de recevoir ça me permettra de mémoriser mieux ce qu'il faut retenir absolument et regarder rapidement en cas d'oubli.
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