Inéquation fonctionnelle

marco

Bonjour
Quelles sont les fonctions $C^{\infty}$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $ \R^{+ *}$ telles que $f( \frac{x+y}{2}) \leq \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ pour tout $x,y \in ]a,b[$ ?

Les constantes et les fonctions de la forme $x \mapsto \frac{c}{(x+d)^{\alpha}}$ avec $\alpha>0, a+d>0, c>0$ sont solutions, il me semble. Mais il y en a peut-être d'autres (par exemple des fonctions de la forme ci-dessus par morceaux).
Merci.

marco

Ce sont les fonctions $f$ telles que $1/f$ est concave.

jandri

C'est vérifié si $\dfrac1f$ est concave.

marco

Ah oui, merci, je viens d'y penser.

gebrane

Si tu poses $g(x)=\frac 1{f(x)}$ tu réduis la question à la recherche de g vérifiant $g(\frac{x+y}2)\geq \frac{g(x)+g(y)}2$
NB On connait la caractérisation de la convexité par l'inégalité  de Jensen $g\left(\frac{x+y}2\right) \le \frac{g(x)+g(y)}2$

marco

En fait, je cherche les fonctions $\infty$-convexes. On dit que $f$ de $C$ un convexe de $\R^k$ dans $\R$ est $1$-convexe si $f$ est convexe, et pour $n>1$, $f$ est $n$-convexe si $f$ est convexe, et si la fonction $(x,y) \in C^2 \mapsto \frac{1}{2}(f(x)+f(y))-f( \frac{x+y}{2})$ est $(n-1)$-convexe.

Je crois avoir montré que si $f$ de $]a,b[$ dans $\R$ est $2$-convexe, et $C^{\infty}$ alors $f''$ vérifie l'inéquation fonctionnelle du premier message (là où le dénominateur n'est pas nul).

gebrane

Je ne comprends plus rien.  Mon message était jusre après le premier message de marco même avant celui de jandri.

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