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Inéquation fonctionnelle

Modifié (14 Sep) dans Analyse
Bonjour
Quelles sont les fonctions $C^{\infty}$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $ \R^{+ *}$ telles que $f( \frac{x+y}{2}) \leq \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ pour tout $x,y \in ]a,b[$ ?
Les constantes et les fonctions de la forme $x \mapsto \frac{c}{(x+d)^{\alpha}}$ avec $\alpha>0, a+d>0, c>0$ sont solutions, il me semble. Mais il y en a peut-être d'autres (par exemple des fonctions de la forme ci-dessus par morceaux).
Merci.

Réponses

  • Ce sont les fonctions $f$ telles que $1/f$ est concave.
  • C'est vérifié si $\dfrac1f$ est concave.
  • Ah oui, merci, je viens d'y penser.
  • Modifié (14 Sep)
    Si tu poses $g(x)=\frac 1{f(x)}$ tu réduis la question à la recherche de g vérifiant $g(\frac{x+y}2)\geq \frac{g(x)+g(y)}2$
    NB On connait la caractérisation de la convexité par l'inégalité  de Jensen $g\left(\frac{x+y}2\right) \le \frac{g(x)+g(y)}2$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (14 Sep)
    En fait, je cherche les fonctions $\infty$-convexes. On dit que $f$ de $C$ un convexe de $\R^k$ dans $\R$ est $1$-convexe si $f$ est convexe, et pour $n>1$, $f$ est $n$-convexe si $f$ est convexe, et si la fonction $(x,y) \in C^2 \mapsto \frac{1}{2}(f(x)+f(y))-f( \frac{x+y}{2})$ est $(n-1)$-convexe.
    Je crois avoir montré que si $f$ de $]a,b[$ dans $\R$ est $2$-convexe, et $C^{\infty}$ alors $f''$ vérifie l'inéquation fonctionnelle du premier message (là où le dénominateur n'est pas nul).
  • Modifié (14 Sep)
    Je ne comprends plus rien.  Mon message était jusre après le premier message de marco même avant celui de jandri.
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    Citation :  Je suis Jack 
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