Continuité, norme et adhérence

OShine

Bonsoir
Je ne vois pas comment traiter la question $a$.
La définition de la continuité est :
$\delta$ est continue en $g \in E$ si $\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0, \ \forall f \in E ,\ ||f-g|| \leq \delta \implies |\delta(f)- \delta(g)| \leq \varepsilon$.
Soit : $\boxed{\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0 ,\ \forall f \in E ,\ ||f-g|| \leq \delta \implies |f(0)- g(0)| \leq \varepsilon}$.
Mais après je bloque.

Kraw

Déjà, pour commencer éviter d'utiliser le même symbole pour nommer ta fonction et une variable. Tu utilise le même symbole pour ta forme linéaire et dans ta définition.

Ensuite, tu as recopié la définition soit ne peut-tu combiner cette définition et la norme sup pour en déduire quelque chose ?

On est sur un segment, on évolue dans un espace vectoriel, on utilise une application linéaire, ne connais-tu pas des théorèmes qui utilisent tout cela ?
Tu as une définition applique là, tentes des trucs, montre nous tes pistes même celles qui n'ont rien donné.

bd2017

Le problème c'est que la question a déjà été posée, il y a peu de temps. Il faut faire une recherche sur le forum pour avoir les réponses.

Pour rappel on avait vu que  $\delta$  est continue  pour la norme du sup  (c'est évident) donc avec le cours tout est facile  pour cette norme.

La seule différence peut être est dans la question 2,  où l'adhérence de $F$ pour la norme 1 qui est l'espace E entier. 

En effet pour  $f\in  E,$  la considération de la suite  de fonctions    $(f_n) $ définies  par

$f_n(x)=n x  f(1/n) , x\in [0,1/n]$  et $f_n(x)= f(x) $  sinon 

répond à la question.  

  Avec ces  indications faire l'exercice.    

OShine

@bd2017 je n'ai rien compris. Mais je fais déjà chercher la première question. 
@Kraw merci pour indications.
Une application linéaire est continue en dimension finie mais ici on est pas en dimension finie.
La réponse est oui pour la norme infinie. Voici mon raisonnement.
$f$ est continue en $g \in E$ pour la norme infinie si $\forall \varepsilon >0, \ \exists \eta >0 ,\ \  \forall f \in E, \ \sup_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)| \leq \eta \implies |f(0)-g(0) | \leq \varepsilon$.
On sait que $|f(0)-g(0) | \leq \sup_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)| $
Fixons $\varepsilon >0$. En choisissant $\eta = \varepsilon >0$, on a bien $\forall f \in E, \ \sup_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)| \leq \eta$ donc $|f(0)-g(0) | \leq \varepsilon$ donc $f$ est continue.
Pour la norme un je n'ai pas réussi. 
$f$ est continue en $g \in E$ pour la norme un si $\forall \varepsilon >0, \ \exists \eta >0 ,\ \  \forall f \in E ,\ \displaystyle\int_{0 }^1 |f(t)-g(t)| \leq \eta \implies |f(0)-g(0) | \leq \varepsilon$.

Barry

Si tu écris que $f$ est continue en $g \in E$, cela signifie que $f$ est une application définie sur $E$ ou une partie de $E$ ? Si oui, cela n'a pas de sens d'écrire, pour $t \in [0,1]$, $f(t)$. Ne confonds-tu pas avec $\delta$ ?
En tout cas, tu es actuellement en train d'étudier un chapitre sur les espaces normés et les applications linéaires. On te dit que $\delta$ est une forme linéaire. Qu'as-tu étudié sur la continuité des applications linéaires ? 

Kraw

On fait un progrès (en espérant que tu ne recopies pas un livre). L'exercice étant un classique te filer une correction me semble plutôt inefficace et je suis sur qu'un collègue du forum se fera une joie de te reprendre sur tes potentielles erreurs.

OShine a dit :

@Kraw merci pour indications.
Une application linéaire est continue en dimension finie mais ici on est pas en dimension finie.

As-tu des notions d'analyse fonctionnelle, d'ensemble des fonctions bornées ? Oui, l'espace n'est pas en dimension finie mais nous avons des outils pour travailler surtout dans le cas continues et borné. Connais tu la notion d'espace de Banach ?

Si tout ça ne te dis rien, voici le cours d'un de mes anciens enseignants : https://www.math.univ-toulouse.fr/~fboyer/enseignements_m1 tu as meme des dm/td/partiels d'analyse fonctionnelle corrigé. Mieux vaut retravailler son cours et le comprendre.

OShine

J'ai étudié le cours de MP sur les espaces vectoriels normés. Pas les espaces de Banach.
J'ai passé 2 mois juste sur ce chapitre à l'époque.

Je vais relire attentivement.

lourrran

Pour la norme un je n'ai pas réussi. 

Tu n'as pas réussi ... pas réussi quoi ?
On te demande si cette fonction est continue. 
Si tu penses qu'elle est continue, tu essaies de montrer qu'elle est continue. Et il y a des techniques pour ça.
Si tu penses qu'elle n'est pas continue, tu essaies de montrer qu'elle n'est pas continue. Et il y a des techniques pour ça.
Si tu ne penses rien, tu tires à pile ou face, et tu essaies de montrer tel résultat. Et si ça n'aboutit pas, tu vises l'autre résultat. Mais 'statistiquement', ce sera beaucoup plus de travail.

Tu as essayé quoi ? Tu penses quoi ?

On pourra te donner le corrigé, mais ça ne te servira à rien. Le type qui va faire cet exercice 'vite', c'est celui qui va deviner vite si il faut courir dans la direction 1 ou la direction 2.
Le corrigé va te dire : on va montrer que le résultat est ceci ...   il ne va pas te dire par quel miracle le type a deviné ce résultat. 

Kraw

OShine a dit :

J'ai étudié le cours de MP sur les espaces vectoriels normés. Pas les espaces de Banach.
J'ai passé 2 mois juste sur ce chapitre à l'époque.
Je vais relire attentivement.

Pourquoi faire des exercices d'analyse fonctionnelle avant d'étudier le cours ?

Soc

Je crois que depuis plusieurs années Oshine essaye de construire un immeuble en commençant par le toit. Peut-être pourra-t-il être utile aux générations futures en illustrant la futilité du procédé!

OShine

Kraw a dit :

Pourquoi faire des exercices d'analyse fonctionnelle avant d'étudier le cours ?

Ton cours est de niveau L1.
Je connais le cours de MP sur les espaces vectoriels normés.

OShine

@lourrran
Je sais voir la continuité sur $\R$ mais pour des applications aussi théoriques comment je pourrais savoir à l'avance si elle va être continue ou non ?

Kraw

OShine a dit :

Ton cours est de niveau M1 trop élevé pour moi.
Je connais le cours de MP sur les espaces vectoriels normés.

Cette mauvaise foi ! Si je comprends bien,  tu veux faire des exercices d'analyse fonctionnelle sans étudier le cours ?

Tu as tous les pré-requis pour lire ce cours vu que tu connais les espace vectoriels normés. Toute une partie porte sur des rappels de licence et prépa. Cela aurait certainement répondu à ta question et tu aurais pris un peu de recul sur ces questions là !
Par exemple : comprendre pourquoi on parle d'analyse fonctionnelle, en quoi cela ressemble et diffère de l'analyse réelle que tu as apprise.  Un peu le même principe de raisonnement que l'on utilise au travers de l'étude des structures algébriques.
Je te vois tenter un jour sur deux des sujets d'X/ENS, agrégation, agrégation docteur enfin "tenter = trouver un exo puis le poster et attendre de trouver un curieux qui te file une réponse." 
Arrête de faire une fixette sur le niveau présumé de difficulté ou d'enseignement, ici ce cours fut enseigné en M1 mais il l'est en L3 dans certaines facs (sans parler d'ENS ou magistère !). Si je t'avais fourni ce pdf en te disant que je l'avais eu en MP  tu aurais fait l'effort de le lire ?

Prends le temps de lire le cours, refait les démonstrations, concentre toi sur un domaine précis (ce n'est pas pour rien qu'à la fac on organise par UE même si cela a des inconvénients). N'aie pas peur de faire de la théorie, pour faire des exercices il faut connaitre son cours. Cela est un conseil bienveillant et sincère, d'un collègue enseignant de mathématiques, si tu souhaites progresser. 

troisqua

@Kraw : laisse tomber.

Avec OShine, je crois, en tout cas la modération semblait valider, qu'il faut juste balancer la solution, ne pas se lancer dans des explications (sauf si tu présentes une patience infinie et une insensibilité totale à la mauvaise foi et l'ingratitude).

Vassillia

Bonjour,

@Soc Utile, j'en doute mais pour tester la résistance des enseignants lors d'un entretien d'embauche, il y a du potentiel. Je me demande combien il a réussi à en énerver sans apprendre quoi que ce soit d'eux, c'est une question rhétorique et une forme de performance.

Ne t'en fais pas @Kraw, tu n'es pas le premier et tu ne seras pas le dernier, c'est LA compétence de OShine, il persiste donc cela motive ses interlocuteurs à l'aider mais il n'arrive pas à se servir de l'aide pour progresser. Il faut juste accepter qu'à l'impossible, nul n'est tenu, pour passer à autre chose et tout ira mieux. C'est comme le tonneau des danaïdes, on peut essayer de le remplir pour la beauté du geste mais il vaut mieux savoir que cela ne sert à rien.

En plus, ce n'est pas si mal fichu que ça comme système, OShine cherche des énoncés d'exercices intéressants et les forumeurs en manque de maths s'amusent à y chercher des solutions, tout le monde y trouve son compte.

OShine

J'ai reçu les 3 livres de Mr Rombaldi, j'ai déjà énormément de travail à faire sur les cours de niveau L1/L2. 

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. 
Un résultat que j'avais étudié ainsi que sa démonstration est le suivant : 
Une application linéaire $u : E \longrightarrow F$ est continue si et seulement si il existe $k \geq 0$ tel que $\forall x \in E, \ ||u(x)|| \leq k ||x||$.
Je vais réfléchir, peut être qu'il permet de répondre à la question.

Kraw

@Vassillia et @troisqua : quoi dire de plus. Tant pis pour lui.

Et oui ton intuition est bonne explore là par toi-même pour changer !

Dans mon immense bonté (et dernière intervention sur un post de notre auteur favori), vu qu'@OShine adore recopier des corrections et se plaindre de la difficulté  : https://concours-maths-cpge.fr/ si tu ne l'as pas déjà copié.

Il y a tous les concours de prépa et les corrigés. Tu en as pour une dizaine d'année vu ta méthode de travail.

OShine

@Kraw
Ce n'est pas un sujet de concours d'ingénieurs donc je n'ai pas de solution et je n'ai pas cherché s'il y en avait. Je voulais chercher les exercices.
C'est un sujet d'agrégation spécial docteur.
En plus je bloque à la première question pourquoi vous me parlez de recopier des corrigés ?
J'ai payé 90 euros l'année j'ai accès à tous les corrigés de sujets de concours de Doc solus corrigés très détaillés bien plus que ceux de l'ups, avec indications et conseils.
Ce sont les seuls corrigés que j'arrive à comprendre.
Mais ils ne corrigent pas l'agrégation ni ENS maths C et maths D.

raoul.S

OShine, essaie de réfléchir à ta question et de voir ce que signifie $\forall x \in E ,\ ||u(x)|| \leq k ||x||$ dans ton cas au lieu de parler de tes corrigés.

gai requin

@OShine a dit :
@bd2017 je n'ai rien compris. Mais je fais déjà chercher la première question.

Le plus beau lapsus du forum jamais écrit 😂

Kraw

Tu as perdu 90e c'est bien pour le proprio de doc solus moins bien pour ton porte-feuille. Ne pas comprendre un corrigé réalisé par des enseignants du niveau auquel tu te réfères devrait t'alarmer.

Les corrections de maths C et D sont disponible sur l'UPS. Ceux des sujets spécial docteurs aussi. Apprends ton cours au lieu de venir quémander des solutions plusieurs fois par jour !

Pourquoi tu fais un sujet docteur alors que tu refuses de lire un cours de L3/M1 ?
Concentre toi sur les concours de prépa hors X/ENS si tu veux te tenir au programme de L1/L2.
Si des agrégatifs font des sujets d'ENS type maths C et D en préparation de l'externe c'est pour une raison. Tu avoues toi même que tu n'as pas le niveau. Plutôt que vouloir boxer dans une catégorie qui n'est pas la tienne. Au lieu de vouloir faire des sujets d'agrégation (tu n'es déjà pas capable d'écrire en respectant les notations de l'énoncé la définition de la continuité) apprends les bases.

Tu fais réellement penser a un débutant en football qui voudrait aller s'entrainer avec l'équipe pro mais qui n'a aucune base technique.
M'enfin je m'acharne pour rien.

OShine

Les exercices préliminaires des sujets d'agreg spécial docteur sont des exercices de niveau L1-L2, et ils sont intéressants. Il n'y a pas besoin de cours de L3-M1 pour faire cet exercice, c'est niveau prépa deuxième année ou L2. 
Ensuite les problèmes sont d'un niveau bien plus élevé mais je n'ai jamais cherché à les résoudre. 

Les exercices ne sont pas infaisables, ni ultra difficiles. Je reviens à l'exercice.

Kraw

OShine
Donc tu n'as pas le niveau L2 mais tu es capable de juger le niveau des exercices ? Ne sens-tu pas l'incohérence de ton raisonnement ?

Tu es enseignant, tu sais que l'on conçoit des exercices en fonction du public attendu. Tu ne corresponds pas à ce public concentre toi sur les sujets de concours de prépa plutôt que bloquer bêtement a chaque début d'exercice et attendre qu'un bon samaritain fournisse une réponse.

OShine a dit :

Les exercices ne sont pas infaisables, ni ultra difficiles. Je reviens à l'exercice.

Mais je bloque dès la première question et ne connais pas une propriété basique sur la continuité d'application linéaire qui équivaut à l'égalité que tu as donné mais équivaut a d'autres choses aussi....  Vois-tu seulement le problème  de ta démarche ? 

Es-tu seulement capable de réussir brillamment un sujet de CAPES (je dis pas être admis, je dis le réussir entièrement) ? Permet moi d'en douter. Et pour le coup les sujets de CAPES semblent plus adapté à ton niveau (ils sont bien plus guidé) vu que tu ne semble avoir aucune intuition.
PS. Désolé pour la modération, mais il semble contre-productif pour tous ce qui continue chaque jour avec notre interlocuteur.

Amédé

Bonsoir,

j'ai la flemme de tout lire alors tant pis pour la redite éventuelle.

$\delta$ est une forme linéaire. Donc elle est continue si et seulement si il existe $k\in \R+^*$ tel que pour tout $f\in E$, $|\delta(f)|\leq k||f||$. Tu testes pour chaque norme sans pression.

OShine

Je pense qu'elle n'est pas continue pour la norme $1$ mais j'ai essayé de trouver un contre-exemple mais il ne fonctionne pas.
Le cours de MP donne un exemple pour l'application $f \mapsto f(1)$ mais je n'ai pas réussi à adapter ici. Il donne l'application $x \mapsto x^n$.
$\delta$ est continue s'il existe $k \geq 0$ tel que $\forall f \in E, \ | \delta (f) | \leq k || f||_1$
Soit s'il existe $k \geq 0$ tel que $\forall f \in E ,\ | f(0) | \leq k  \displaystyle\int_{0}^1 | f(t) | dt$
Définissons l'application pour tout $n \in \N$, $f_n : [0,1] \longrightarrow \R \\ x \mapsto (1+x)^{n}$
On a $\forall n \in \N ,\ \delta(f_n)=f_n(0)=1$ et $||f_n ||_1 =  \displaystyle\int_{0}^1 (1+t)^n dt = \dfrac{1}{n+1} (2^n-1)$
Ce qui fournit $\forall n \in \N ,\ 1 \leq \dfrac{1}{n+1} (2^n-1)$

Kraw

Peut-être que lire cette page pourrait t'aider (section 3) :

https://fr.wikiversity.org/wiki/Espaces_vectoriels_normés/Limites_et_continuité#Continuité_des_applications_linéaires

Barry

@Oshine : L'intégrale d'une fonction positive te donne la valeur de l'aire sous sa courbe représentative. Dire que $\delta$ est continue, c'est dire qu'il existe $k > 0$ tel que $|f(0)| \leq k||f||_1$. Intuitivement, est-ce que dès lors que l'aire sous la courbe représentative d'une fonction positive est petite, il en est forcément de même pour $f(0)$ ?

OShine

@Kraw je connaissais ces propriétés, même si sur les 7 je m'en souviens que de 5. 
Ici on m'a déjà donné la propriété à utiliser, le plus dur est de trouver le contre-exemple.

Pas forcément, on peut considérer la fonction $f(x)=100$ si $x=0$ et $f(x)=10^{-5}$ si $x>0$. Le calcul de l'intégrale ne change pas si on modifie un nombre fini de points. 

lourrran

Ton bouquin propose un corrigé pour le cas où on remplace 0 par 1.

Et tu ne vois pas le changement à faire pour exploiter cet exemple ?  Tu ne devines pas qu'en regardant les fonctions $(1-x)^n$ , tu vas arriver quelque part ?
Il y a un prof de maths en France qui ne voit pas ça, un cas unique, et on l'a trouvé.

OShine

@lourrran oui tu as raison !
@Barry ton idée est brillante ! Elle m'a permis, combinée à la remarque de lourran de trouver un exemple qui marche.
C'est le genre de remarque que les corrigés n'expliquent pas.
Définissons l'application pour tout $n \in \N$, $f_n : [0,1] \longrightarrow \R \\ x \mapsto  (n+1) (1-x)^{n}$
On a $\forall n \in \N ,\ \delta(f_n)=f_n(0)=n+1$ et $||f_n ||_1 =  (n+1)   \displaystyle\int_{0}^1 (1-t)^n dt =1 $
Ce qui fournit $\forall n \in \N ,\ n+1 \leq 1$ ce qui est absurde.
Donc $\delta$ n'est pas continue pour la norme $1$. 

Barry

Désolé, j'ai oublié de préciser dans mon message que la fonction en question est positive, définie et continue sur [0,1] ! La tienne n'est pas continue. 

Amathoué

gai requin a dit :

@OShine a dit :
@bd2017 je n'ai rien compris. Mais je fais déjà chercher la première question.

Le plus beau lapsus du forum jamais écrit 😂

Magnifique 😂

OShine

@Barry pas de souci tu as raison car l'énoncé donne la continuité comme hypothèse.

Pour b) on a $F= \{ f \in E \ | \ \delta(f)=0 \} = \{ f \in E \ | \ f(0)=0 \} $

On cherche les fonction continues sur $[0,1]$ et nulles en $0$. On sait que $g \in E$ est adhérent à $F$ si et seulement si il existe une suite $(f_n)$ d'éléments de $F$ qui converge vers $g$.

Il faut trouver une suite de fonction $f_n$ qui convient.

Je reprends l'exemple donné par @bd2017 exemple que je trouve compliqué, je n'ai pas très bien compris comment calculer la limite pour $n$ qui tend vers plus l'infini.
Posons $f_n(x)=nx g(1/n)$ si $x \in [0,1/n]$ et $f_n(x)=g(x)$ si $x \in ]1/n,1]$.

• On a bien $f_n(0)=0$. 
• On voit clairement que $g$ est continue en $1/n$ elle est donc continue sur $[0,1]$.
• $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(x)=$ je n'ai pas compris comment calculer la limite, l'intervalle dépend de $n$ en plus.

JLapin

Pour montrer que $(u_n)$ tend vers $\ell$, montre que $(u_n-\ell)$ tend vers $0$.
C'est une technique de génie rarement précisée dans les corrigés.

raoul.S

Pour la b) il vaudrait mieux revoir le cours sur les noyaux des formes linéaires continues et non continues.

OShine

@JLapin oui mais ça ne m'aide pas, ça m'embrouille encore plus. 

• Si $x \in [0,1/n]$ on a $0 \leq f_n(x) \leq g(1/n)$ et après je ne vois pas. On ne connait pas $g$.
• Si $x \in ]1/n,n]$ c'est évident que $f_n(x) \longrightarrow g(x)$.

En plus je ne sais même pas qui est l'adhérence de $F$ que l'on cherche. Je n'ai pas compris.

@raoul.S je ne crois pas que ton résultat soit au programme... Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé, première fois que je lis ce résultat de ma vie.

skazeriahm

Incroyable ce fil , en parallèle avec celui sur les deux carrés...

OShine qui galère à tous points de vue mais qui se permet d'expliquer aux uns et aux autres que leurs interventions ne sont pas assez claires, trop dures, hors programme...

Quelle pédanterie !

Barry

OShine a dit :

@JLapin oui mais ça ne m'aide pas, ça m'embrouille encore plus. 

• Si $x \in [0,1/n]$ on a $0 \leq f_n(x) \leq g(1/n)$ et après je ne vois pas. On ne connait pas $g$.
• Si $x \in ]1/n,n]$ c'est évident que $f_n(x) \longrightarrow g(x)$.

En plus je ne sais même pas qui est l'adhérence de $F$ que l'on cherche. Je n'ai pas compris.

@raoul.S je ne crois pas que ton résultat soit au programme... Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé, première fois que je lis ce résultat de ma vie.

La limite en question à calculer est une limite dans $E$ muni de la norme $1$. Tu dois donc regarder la limite pour cette norme ; or, tu calcules la limite simple de cette suite de fonction !
Le résultat énoncé par Raoul.S est totalement dans le programme de l'agrégation. Admettons-le : si $\delta$ n'est pas continue, que dire de son noyau ? Qu'en déduire sur l'adhérence de $H$ ?(te rappeler de ce que tu as appris sur les hyperplans peut aider)

OShine

Je n'ai critiqué personne, j'ai juste dit à @raoul.S que le résultat qu'il cite est je pense hors programme.

Ce résultat est au programme de l'agrégation interne ? 

OShine

$F$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle, donc $F$ est un hyperplan. On a $F=\ker \delta$.

$F$ est fermé dans $E$ si et seulement si $\delta$ est continu. 

Pour la norme infinie, $F$ est un fermé donc $\bar{F}=F$.

Pour la norme $1$, $F$ n'est pas un fermé mais comment trouver l'adhérence ? 

Je ne vois pas comment trouver $\sup_{t \in [0,1]} |f_n(t)-g(t)|$ j'ai essayé de dessiner la fonction mais on ne sait pas qui est $g$ et on ne connait pas sa monotonie.

Barry

Je te disais dans un précédent message que tu dois étudier l'éventuelle limite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pour la norme $1$. 
En effet, $F$ n'est pas fermé, donc $\overline{F}$ est distinct de $F$. Je te disais également dans un précédent message que te rappeler des caractérisations d'un hyperplan pouvait t'aider.

OShine

Mais comment trouver la suite $(f_n)$ ?
Je n'ai pas trop compris comment trouver l'adhérence. 

bd2017

Tu as  déjà oublié que j'ai donné la solution ? Dans mon premier message, je rappelle que tu as déjà posé l'exercice et puis  je donne la réponse à cette dernière question. En effet la suite $f_n$  est dans $F$  et elle tend vers l'élément $f$  qui arbitrairement dans l'espace entier.

On arrive à la fin de l'exercice et tu montres que tu n'as pas compris (ou alors tu ne lis pas ?) .

Il faut bien que tu fasses un minimum, vérifies au moins que la suite $f_n$  tend bien vers $f$ .

OShine

@bd2017
Pour la norme infinie $\delta$ est continue donc l'adhérence de $F$ vaut $F$.
Pour la norme $1$ je n'ai pas compris comment on peut trouver l'adhérence avec ta suite de fonction.
Je ne sais pas calculer $||f_n-f||=\sup_{t \in [0,1]} |f_n(t)-f(t)|$.

bd2017

Tu es certain d'avoir les yeux en face des trous? Pour la norme infinie le problème est réglé et tu le dis toi même.  Il s'agit de la norme 1 dont on parle. 

C'est donc un intégrale qu'il faut estimer et non pas un sup

OShine

Ok merci je regarde ça.

Barry

Personnellement, je l'ai dit deux fois, donc je n'interviendrai plus.

OShine

Je pense avoir réussi, sauf erreur.
Soit $f \in E$. $f$ est continue sur le fermé $[0,1]$, elle est donc bornée. Il existe $M \in \R$ tel que $| f| \leq M$.
On a $||f_n-f||_{\infty} = \displaystyle\int_{0}^1 |f_n(t)-f(t)| dt =  \displaystyle\int_{0}^{1/n} |ntf(1/n)-f(t)| dt $
Donc $||f_n-f||_{\infty}  \leq   \displaystyle\int_{0}^{1/n} | n t f(1/n) | dt +  \displaystyle\int_{0}^{1/n} | f(t) | dt \\
\leq |f(1/n)| +\dfrac{M}{n} $
Par continuité de $f$, on a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} |f(1/n)| +\dfrac{M}{n} =0$ d'où $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} ||f_n-f||_{\infty} =0}$
La suite $(f_n)$ converge donc vers $f$. C'est une suite d'éléments de $F$. 
Ainsi $\boxed{\bar{F} = E}$.

bd2017

C'est faux  $|f(1/n)|$  tend vers $|f(0)|$  et  $f(0)$ n'a pas la vocation d'être nul.   

raoul.S

C'est la dernière majoration qui est trop brutale...

jean-éric

Bonsoir OS,
Il faut écrire : $\displaystyle \int_0^{\frac1n} \left| ntf(1/n)\right| dt \leq n \left|f(1/n)\right| \int_0^{\frac1n} t \ dt=\frac{\left|f(1/n)\right|}{2n}$, ce qui te permettra de conclure correctement ton calcul de limite.
Jean-éric