Holomorphie d'une application — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Holomorphie d'une application

Modifié (13 Sep) dans Analyse
Soit $\lambda>0$. Alors $\Gamma\big(\frac{\lambda-\mu}{2\lambda}\big)$ est défini si $\big(\frac{\lambda-\mu}{2\lambda}\big)\not\in (-\N)$, donc $\mu\not=(1+2m)\lambda$ et $m\in\N$.
Soit $R_\lambda: L^2(\R)\to L^2(\R)$ un opérateur borné.
On pose $T_\lambda=\Gamma\big(\frac{\lambda-\mu}{2\lambda}\big) R_\lambda$. Donc pour $\lambda>0$, on a :
$T_\lambda: L^2(\R)\to L^2(\R)$ est borné a condition que $\mu\not=(1+2m)\lambda$ et $m\in\N$.
Ma question : on veut étendre $T_\lambda$ pour $\lambda\in \C^+_*=\{z\in \C\mid \Re(z)>0\}$.
Donc on doit se ramener au cas complexe, pour ce faire, on considère l'application $\phi: ]0,\infty[\setminus \cup_{m\in\N}\{\frac{\mu}{2m+1}\}\to \C$ définie par:
$\phi(\lambda)=\,<T_\lambda(f); g>$, où $f,g\in L^2(\R)$ et $<;>$ désigne le produit scalaire canonique de $L^2(\R)$.
Si on suppose que $\lambda\to \,<R_\lambda(f); g>$ est holomorphe sur $\C$. Alors on peut prolonger $\phi$ holomorphique  sur $\C^+_*\setminus\{ \cup_{m\in\N}\frac{\mu}{2m+1}\}$. 
Donc $T_\lambda$ garde son expression pour $\lambda\in \C^+_*\setminus\{ \cup_{m\in\N}\frac{\mu}{2m+1}\}$. 
Est-ce que ma démarche est correcte ?
Merci pour toute remarque.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!