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Convergence d'opérateur autoadjoint et base dans $L^2$ de fonctions propres

Modifié (13 Sep) dans Analyse
Bonjour
Soit $(A^\epsilon) $ une suite d'opérateurs autoadjoints à résolvante compacte dans $L^2(\mathbb T)$, alors on sait que le spectre de ces opérateurs est constitué d'une suite de valeurs propres. On note par $(\lambda_n^\epsilon) $ cette suite. En outre, on sait que pour tout $\epsilon>0$, il existe une base hilbertienne constituée par les fonctions propres  $(f_n^\epsilon) $ 
$$
    A^\epsilon f_n^\epsilon =\lambda_n^\epsilon f_n^\epsilon \,, \quad n\in \N.
$$Supposons pour tout $n\in \N $, que $\lambda_n^\epsilon\to \lambda \,$, $f_n^\epsilon\to f_n$ dans $L^2$ quand $\epsilon\to 0$ et que $A^\epsilon\to A$ fortement.
Sachant que $A$ est aussi un opérateur autoadjoint à résolvante compacte, peut-on déduire que la suite $(f_n)$ forme aussi une base hilbertienne dans $L^2(\mathbb T)$ ?
Bien évidemment $(f_n)$ est une famille orthonormale, mais je me demande si elle forme une famille complète ?
(Je suis sûr qu'il doit y avoir un tel théorème, mais je n'arrive pas à le trouver).
Merci d'avance !
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