Obtenir une martingale à partir d'un processus de Markov

Fulgrim

Bonjour à tous,

Soit $(X_t)_{t\geq 0}$ un processus de Markov homogène, tel que

$$\mathbb{E}[X_t\mid\mathcal{F}_s] = X_s + (t-s).h_s + o(t-s), $$

où $h_s$ est un processus adapté à la filtration $\mathcal{F}_s$.

J'aimerais obtenir que $$M_t := X_t - \int_0^t h(s) ds,$$ est une martingale.

Quelqu'un connaîtrait-il un théorème / des conditions sur les différents objets pour que mon résultat soit vrai ?

J'ai vu que le résultat était vrai si je connaissais le générateur du $C^0$-semi-groupe associé à $X_t$ (c'est la formule de Dynkin), mais pour différentes raisons je ne peux pas calculer ce semi-groupe. J'essaye donc de voir s'il est possible de faire plus simple, pourquoi pas à la main.

Merci d'avance

Barjovrille

Bonjour, je ne suis pas sûr du tout je tente quand même.
Tes conditions donnent envie d'utiliser la formule $f(t)-f(s)=f'(s)(t-s) +o(t-s)$ avec $f:= t \mapsto \int_{0}^t h(u)du$ et que la v.a $Y_s=\int_{0}^s h(u)du$ est $ \mathcal{F}_s$-mesurable.

log

Étant donnés des $t_i$ tq $0 \leq t_i \leq t$, $t_0=0$, $t_n=t$, et $i \leq n$, pour ma part j'approximerais $h_s$ par quelque chose comme $\upsilon_{n,s}=h_{t_i}1_{s \in [t_i,t_{i+1}[}$. En justifiant que $\upsilon_{n}$ tend vers $h$ de la bonne manière, on doit pouvoir arriver au résultat.

Fulgrim

Bonjour
Merci pour vos retours, je les ai lus, puis j'ai cherché un peu, et j'ai fini par trouver. Au cas où ça intéresse quelqu'un je le partage ici !
Si vous avez des retours / corrections n'hésitez pas,

PS : s'il faut je peux donner des notations qui manqueraient, ou traduire.