Partie non vide et convexe

OShine

Bonjour
Je bloque sur cet exercice. Je n'arrive pas à montrer que c'est non vide.

Georges Abitbol

C’est le plus dur. Soit $\delta>d(x,V)$. Que peux-tu dire de $\{v \in V \ \vert \ \Vert x-v\Vert \leq \delta\}$ ?

Cyrano

Essaie déjà de comprendre ce qu'il se passe dans $\R^2.$ Prends $V$ une droite quelconque et $x$ un point hors de cette droite. Peux-tu dessiner l'ensemble dont-il est question dans l'énoncé ?

Soc

Tu construis un élément à la bonne distance.

Amédé

Soit $x\in E$ fixé. Par définition de la borne inférieure, pour tout $n\in \N$, il existe $a_n\in V$ tel que $d(x,V)\leq d(x,a_n)\leq d(x,V)+\dfrac{1}{n}$. Donc la suite $(a_n)$est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, il existe une suite extraite $(a_{\varphi(n)})$ qui converge vers un élément $a$. Puisque $V$ est de dimension finie il est fermé et donc $a\in V$ et vérifie $d(x,a)=d(x,V)$. En gros...

OShine

@Amédé je n'ai rien compris. 
Ce genre d'exercice de topologie difficile pour moi, je dois le faire seul pour le comprendre. 

@Georges Abitbol. Soit $\delta > d(x,V)$.
Alors par caractérisation de la borne inférieure, il existe un élément $u$ dans l'ensemble $\{ ||x-v || \ | \ v \in V \}$ tel que $u < \delta$.
Je ne comprends pas le rapport avec l'ensemble $\{v \in V \ | \ ||x-v|| \leq \delta \}$...

@Cyrano. Le voici.

JLapin

Amédée t'a donné une solution parfaitement conforme au programme que tu suis. Fais donc un effort pour suivre le fil de son discours pas à pas puisque tu ne sais faire essentiellement que ça.

bd2017

Pratiquement @Amédé a donné la solution:  On pose $d(x,V) =d_0$  l'inf de ...

Il existe donc une suite $(a_n)$ de $V$  telle que $d(x,a_n)$ tend vers $d_0$  quand  $n$ tend vers l'infini. Donc à partir d'un certain rang, on a

$d(x,a_n)\leq d_0 + 1.$   La suite  $(a_n)$ est donc bornée..  finir en utilisant les indications  (V fermé...)    

 

OShine

Je vais relire la preuve de @Amede alors.
Mais l'énoncé manque de précision non ?
L'espace normé est-il un espace vectoriel ?

Soc

Non.
cf définition.

OShine

Espace normé n'existe pas sur google, je tombe que sur "espace vectoriel normé"... 

OShine

Ok j'ai compris la preuve d'Amédé, tout espace vectoriel de dimension finie est fermé. Jolie preuve.
Ici l'énoncé est faux, il manque espace vectoriel...
Je vais essayer de montrer la convexité.

bd2017

Encore n'importe quoi! Fais l'exercice et regarde comment tu rédiges.

Soc

Tu dois bien disposer d'un cours quelconque... Regardes les propriétés d'une norme et demandes-toi dans quel cadre elles pourraient bien avoir du sens...

lourrran

Dans le dessin que tu as fait pour répondre à Cyrano, la droite verte est une droite vectorielle ??? Tu es sûr ?
Quel est le critère qui fait que cette droite n'est pas une droite vectorielle ?

OShine

Je n'ai étudié que des espaces vectoriels normés, je n'ai jamais étudié autre chose donc je ne connais rien sur les espaces normés quelconques.
@lourrran non c'est une droite affine, elle ne passe pas par 0.

raoul.S

"espaces normés" c'est un raccourci pour "espaces vectoriels normés". Dès qu'on parle de norme il y a implicitement un espace vectoriel sur lequel est définie cette norme...

noobey

"sous-espace de dimension finie"
Mais non ce n'est pas forcément un espace vectoriel dont on parle...

OShine

Je peux supposer que ce sont des sous-espaces vectoriels normés pour simplifier.
Montrons que $\Pi_V(x)$ est une partie convexe. Soit $\lambda \in [0,1]$ et $a,b \in \Pi_V(x)$.
Montrons que $\lambda a +(1-\lambda) b \in \Pi_V(x)$ c'est-à-dire que $||x-[\lambda a + (1- \lambda) b ] ||=d(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ],V)$
Remarquons que $\lambda a + (1- \lambda) b  \in V$ car $V$ est un sous-espace vectoriel.

• Par définition de la borné inférieure, on a $||(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ] || \geq d(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ],V)$.
• Il reste à montrer que $d(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ],V) \leq ||(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ] |$. Je bloque sur cette dernière inégalité.

bd2017

C'est presque hilarant,et c'est normal que tu bloques  sur le "il reste à démontrer que ... "  car

 ce deuxième est ni plus ni moins  que le premier point ( qui est  vrai  par définition)  donc c'est une trivialité.  Mais surtout après avoir affirmé que $a\leq b$  et dire qu'il reste à montrer que $b \geq a $, cela montre vraiment que tu as des problèmes.

La convexité c'est trivial !

$ ||x- ( \lambda a +(1-\lambda) b)|| =||(\lambda(x -a) + (1-\lambda)(x- b)||\leq \lambda||(x -a|| +(1-\lambda) || (x- b)||= \lambda d_0 + (1-\lambda) d_0 =d_0$ c.q.f.d   

OShine

Bien vu, il fallait penser à cette astuce d'écriture ! 

Amédé

bd2017 : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2381316/#Comment_2381316

bd2017

La question intéressante c'est de donner un exemple où $\Pi_V(x) $  se réduit à un point et un exemple ou $\Pi_V(x)$ n'est pas réduit à un point.

Edit.  Merci @R@"raoul.S"    j'ai corrigé  (J'avais retenu l'exo  mais pas   les notations).   

raoul.S

$\Pi_V(x)$