Continuité, dérivabilité et fonction lipschitzienne — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Continuité, dérivabilité et fonction lipschitzienne

Modifié (12 Sep) dans Analyse
Bonsoir


Je bloque sur une partie de la question $b$. 
a) Supposons $f$ dérivable en $x_0$. Alors $f(x)=\dfrac{ f(x)-f(x_0) }{x-x_0} (x-x_0) +f(x_0) \longrightarrow f'(x_0) \times 0 + f(x_0)=f(x_0)$ donc $f$ est continue en $x_0$.
La fonction valeur absolue est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$.
En effet, $\forall x \in \R^{*} ,\ \dfrac{ |x|- |0|}{x-0}= \begin{cases}  1 \ \text{si} \ x>0 \\ -1 \ \text{si} \ x<0
\end{cases}$ 
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+} } \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} } \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} = -1$ donc la fonction $x \mapsto  \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} $ n'a pas de limite en $0$, elle n'est donc pas dérivable en $0$.
b) Supposons $f$ dérivable sur $I$. Si $f$ est lipschitzienne, il existe $K>0$ tel que $\forall x,y \in I ,\ \ |f(x)-f(y)| \leq K |x-y|$.
Montrons que $f'$ est bornée. Soit $x,y \in I$ tels que $x \ne y$ alors $\dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|} \leq K$
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow y } \dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$ soit $|f'(y)| \leq K$. On a montré que $\forall y \in I ,\  |f'(y)| \leq K$.
Donc $f'$ est bornée sur $I$.
Réciproquement, si $f'$ est bornée sur $I$, il existe $K \geq 0$ tel que $\forall y \in I, \ |f'(y)| \leq K$.
Mais alors $\lim\limits_{x \rightarrow y } \dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$. 
Par définition de la limite, il existe un voisinage de $y$ de la forme $[y-\eta,y+\eta]$ avec $\eta>0$ où $\dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$. 
J'ai un doute ici j'ai l'impression que l'égalité qui découle $|f(x)-f(y)| \leq K |x-y|$ est valable sur tout voisinage de $y$ mais je ne vois pas comment montrer que c'est valable sur $I$ tout entier.
«1

Réponses

  • Pour la réciproque de la b) il suffit d'utiliser le théorème des accroissements finis
  • Pour la question a), je suis le seul à trouver ça faux / bordélique/ insuffisant ?

  • D'accord merci.

    Supposons que $I=[x,y]$ avec $x<y$.
    $f$ est continue sur $[x,y]$, $f$ est dérivable sur $]x,y[$, d'après le théorème des accroissements finis, il existe $c \in ]x,y[$ tel que $f(y)-f(x)=f'(c) (y-x)$
    Comme $f'$ est bornée, alors il existe un réel $K$ tel que $| f'(c)| \leq K$.

    D'où $|f(y)-f(x)| \leq K |y-x|$ donc $f$ est $K$ lipschitzienne.

    Mais si $I$ est de la forme $[x,y[$ on fait comment ? 
  • lourrran a dit :
    Pour la question a), je suis le seul à trouver ça faux / bordélique/ insuffisant ?

    Ma question a est juste... C'est du cours.
  • Si tu présentes a) ainsi pendant un cours, tu vas perdre ton auditoire assez rapidement...
  • Ta réponse à la question a) est évidemment fausse puisque tu as écrit un DL à l'ordre 1 en oubliant quelque chose !
  • Oui, un petit o... 
  • Visiblement, c'est suffisamment confus pour que certains pensent que c'est faux (ce n'est pas un DL)...
  • Modifié (13 Sep)
    @lourrran : ben non, je crois que quiconque a pris le temps de lire la ligne va se dire: 1) sa définition de la dérivée n'est pas des plus rigoureuse et l'égalité est fausse, 2) on a du mal à comprendre en quoi la formule "$f$ est une application affine implique que $\forall x \in I, f(x) = f(x)$" implique la continuité (cela dit, une fonction affine dans un intervalle de $\mathbb{R}$ est continue). Mais qui aurait envie de le reprendre là-dessus quand il ne demande rien.
  • Je n'ai pas fait de DL...

    La question c est triviale avec le théorème de Heine et la question 2.

  • @Titi le curieux : La définition de la dérivée qu'il utilise est tout à fait rigoureuse (et c'est celle enseignée au secondaire). L'égalité est vraie, il manque juste le quantificateur (du genre $\forall x \neq x_0$)...
  • OShine a dit :
    La question c est triviale avec le théorème de Heine et la question 2.

    Non, le théorème des bornes atteintes plutôt.

  • @Bibix il manque un $o(x-x_0)$ avec une définition formelle de ce que ça signifie, et je répète: il s'en sert pour écrire $f(x_0) = f(x_0)$, ce qui n'a strictement aucun intérêt.
  • Modifié (13 Sep)
    A part l'absence du $\forall x\in I\setminus \{x_0\}$, il ne manque absolument rien.
    Ecrire $f(x)=f(x)-f(x_0)+f(x_0)$ ne me semble pas requérir la présence d'un  petit o.

  • Modifié (13 Sep)
    Désolé pour le $o$, en effet pour toute fonction on a bien $\forall (x,y), x\neq y \rightarrow f(x) +(f(y) -f(x) ) = f(y)$, donc cette égalité est vrai.
  • OShine a dit :
    Je n'ai pas fait de DL...

    La question c est triviale avec le théorème de Heine et la question 2.


    On te parle de la question )a...
  • Modifié (13 Sep)
    La rédaction niveau terminale... $f$ est dérivable en $x_0$, donc $f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ existe. D'après le cours sur les limites et les opérations:

    $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{(f(x)-f(x_0))}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)}=f'(x_0)\times 0=0$... Donc $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)$ et d'après le cours (toujours de terminale) sur la continuité $f$ est continue en $0$.

    Fait simple, tu bavardes trop en fait.
  • Réponse d'Amédé à la question 1) : 

    Amédé a dit : 
    $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{(f(x)-f(x_0))}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)}=f'(x_0)\times 0=0$... Donc $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0)$ et d'après le cours (toujours de terminale) sur la continuité $f$ est continue en $0$.
    et il se permet de dire en plus : 
    Amédé a dit :
    Fait simple, tu bavardes trop en fait.
    sauf que ce que Amédé n'a pas vu c'est qu'au tout premier message OShine a écrit ceci pour la question 1) :

    OShine a dit :
    a) Supposons $f$ dérivable en $x_0$. Alors $f(x)=\dfrac{ f(x)-f(x_0) }{x-x_0} (x-x_0) +f(x_0) \longrightarrow f'(x_0) \times 0 + f(x_0)=f(x_0)$ donc $f$ est continue en $x_0$.
    Donc Amédé ne fait que recopier ce qu'a déjà dit OShine en l'accusant de faire compliqué... donc Amédé devrait peut-être apprendre à lire, n'est-ce pas Amédé ?
  • b) On suppose $f$ dérivable.

    SI $f$ est $k$-lipschitzienne, alors pour tout $(x,y)\in I^2, |f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$. Puisque $f$ est dérivable sur $I$, $f'(x)=\lim\limits_{y\rightarrow x}{\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}}$ existe. Et donc, par relation de comparaison avec les limites,  pour tout $x\in I, \lim\limits_{y\rightarrow x}{\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}}\leq k$, donc $f'$ est bornée.

    Réciproquement supposons $f'$ bornée sur I. D'après l'inégalité des accroissements finis: pour tout $(x,y)\in I^2$

    $|f(x)-f(y)|\leq \sup\limits_{t\in I}\left(|f'(t)|\right)|x-y|$ et donc $f$ est lipschitzienne.
    La question c est triviale avec le théorème de Heine et la question 2.

    Faux...

    c) $I$ est un segment donc c'est un compact de $\R$, puisque $f'$ est continue ($f$ de classe $C^1$), alors  en particulier $f'$ est bornée sur $I$ d'après le théorème des bornes et donc $f$ est lipschitzienne.


  • Modifié (13 Sep)
    @Amédé étrange cette envie soudaine de résoudre tout l'exercice, serait-ce une tactique pour ne pas assumer ses propres erreurs... ? Ou l'effet d'un laxatif tout simplement ?🤔
  • Modifié (13 Sep)
    Bonjour
    Je pense  comme @lourrran. La question a)  est fausse du point de vue rédaction.   Evoquer une propriété de X au lieu d'évoquer celle de Y et justifier que la réponse est correcte parce que c'est une question de cours...
  • A part les problèmes de quantificateurs et la conclusion finale de la question a) qui devrait porter sur la fonction valeur absolue et pas sur le taux d'accroissement, je ne vois personnellement rien à redire sur cette réponse à la question a).
    La continuité est démontrée en faisant appel à la définition de la dérivabilité, à une réécriture de $f(x)$ et à des théorèmes d'opérations.
    Le contre exemple est censé.
  • @raoul.S  : certes on est sur un forum, et donc on ne s'adresse pas physiquement la parole, mais pourrais-tu malgré tout faire l'effort d'être moins acerbe ou provoquant car ce n'est pas très agréable à lire. Il n'y a pas lieu de se chercher les noises, on peut rester zen, éviter de s'agresser ou de se titiller, ça n'apporte pas grand chose je trouve.
  • @bd2017 : je n'ai pas compris ce qui est faux selon toi dans la démo du a) par Oshine (mise à part que $x$ n'est pas quantifié et le passage à la limite ne stipule pas explicitement quelle variable on fait tendre).
  • Modifié (13 Sep)
    Je parlais juste de la rédaction d'Oshine pas du fait si c'était faux ou juste. En l'occurrence son a) est juste mais mal rédigé. Avec des lunettes de qualité et un peu d'honêteté intellectuelle on aurait pu citer tout le post et pas la partie qui ressemble, je le concède, à ce qu'à fait Oshine. En outre, c'est comme ça que c'est fait dans tous les bouquins.
    Par contre, ce qui a un effet laxatif pour moi ce sont les indications bien souvent foireuses que l'on donne à Oshine et qui font durer les post sur des centaines de messages. Donc ou on donne la réponse ou on donne une vraie indication.
    Bonne journée.
  • Modifié (13 Sep)
    Amédé, à part l'absence de quantification sur $x$ et le fait qu'il ne dit pas explicitement que c'est $x$ qu'il considère comme variable, en quoi ça te chagrine cette rédaction ?
    Personnellement j'aurais écrit, pour $x$ dans un voisinage de $a$, $x$ distinct de $a$ on a $$f(x)=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ et par passage à la limite en $a$, la dérivabilité de $f$ en $a$ implique que $f\left(x\right)\underset{x\to a}{\longrightarrow}f\left(a\right)$ donc la continuité de $f$ en $a$.
  • Modifié (13 Sep)
    OShine a dit :
    a) $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} } \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} = -1$ donc la fonction $x \mapsto  \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} $ n'a pas de limite en $0$, elle n'est donc pas dérivable en $0$.
    b) Réciproquement, si $f'$ est bornée sur $I$, il existe $K \geq 0$ tel que $\forall y \in I, \ |f'(y)| \leq K$.
    Mais alors $\lim\limits_{x \rightarrow y } \dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$. 
    Par définition de la limite, il existe un voisinage de $y$ de la forme $[y-\eta,y+\eta]$ avec $\eta>0$ où $\dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$.
    Voici :  pour le a)    la fonction qu'il cite n'a pas de limite en  $0$  donc elle n'est pas dérivable en zéro... Alors qu'on cherche une fonction continue en $x=0.$
    Je sais que l'air du temps  "c'est l'évaluation positive."  mais tout de même ...

    pour le b)  c'est pire...  Il raisonne à $y$  fixé :  et  @Oshine a  ainsi   une fonction de $x$  qui  possède une limite inférieure ou égale à  $K$  quand $x$ tend  vers $y.$  On a  quelque chose qui a une  limite inférieure  à $K$  alors  pour les besoins de la cause il affirme que dans un voisinage de $y$  la fonction est plus petite que $ K$  Mais c'est faux
    Exemple tout bête $f(x)=k+|x|,\ f(x)$ tend vers $ K$ quand $x$ tend vers $y=0$. La limite est bien inférieure ou égale à $K$  et pourtant $f(x)$ est toujours  supérieure à $K $ ...
  • @bd2017 ah tu ne parlais de la preuve de "dérivabilité" implique "continuité"... Pour le contre-exemple je suis d'accord que sa conclusion montre qu'il confond beaucoup de choses. Pour la b), je n'ai pas lu ce qu'il a fait.
  • C'est du Ionesco ici !
  • Modifié (13 Sep)
    Même si la solution est donnée  (utiliser les accroissement finis) cela donne
    Supposons   que $I=[x,y]$ avec $x<y$.
    ------
    D'où $|f(y)-f(x)| \leq K |y-x|$ donc $f$ est $K$ lipschitzienne.
    ------
    Mais si $I$ est de la forme $[x,y[$ on fait comment ? 
    C'est à dire qu'@Os essaye de démontrer  une  propriété qu'il ne comprend même pas.   Ce  n'est pas étonnant qu'il se demande si $I=[x,y[$  qu'est ce qu'on fait? Avec ce type de raisonnement  toutes les fonctions sont lips.
    Si  j'ai un conseil à donner à @OShine c'est avant tout  faire une démonstration correcte (c'est à dire de raisonner) quand I est fermé.
  • Modifié (13 Sep)
    J'ai fait une démonstration correcte en prenant $I=[a,b]$ tu supprimes les arguments importants de ma preuve, pourquoi ? Si je la comprends.
    Le cours sur le théorème des accroissements finis donne que des segments de la forme $[a,b]$ en hypothèse.
    Comment faire sur $I$ est un ouvert par exemple de la forme $]a,b[$ ? 
  • Modifié (13 Sep)
    D'abord   tu as mis $I=[x,y]$  cela suffit pour avoir avoir de gros doute sur ce que tu comprends. Il y a un mélange absolu entre les bornes et les éléments qui sont entre les bornes, le tout accompagné d'un manque de quantificateurs. Comprenne qui pourra !  Ne parlons pas  de la conclusion, qui passerait pour du pinaillage inutile, alors qu'on sait très bien que quand  on conclut f est K-lipschitzienne cela ne veut rien dire et qu'à un moment ou un autre cela va se  payer. Surtout avec tes classes ou il faut un minimum de rigueur pour faire passer un message.      
    Ne demande pas de l'aide en déclarant que ta démonstration est correcte..  Par ailleurs si elle était correcte, il suffirait de te relire pour voir si on peut enlever une borne. 
  • Comment faire si $I$ est un ouvert par exemple de la forme $]a,b[$  ? 
    Comment faire pour répondre à quelle question ?
    Comment faire pour montrer que toute fonction de classe $C_1$ sur un ouvert $]a,b[$ est lipsch... ? 
    C'est ça ta question ?

    Si $I$ est un intervalle ouvert, la propriété en question est fausse. Tu connais quelques fonctions ultra courantes qui sont $C_1$ sur un intervalle ouvert, et qui ne sont pas lipsch ..., c'est à dire des contre-exemples qui prouvent que la propriété est fausse.

  • @lourrran $f'$ est supposée bornée...tu n'en tiens pas compte?
  • OS a quand même un don pour réussir à faire passer ses rares raisonnements justes pour faux.
    J'admets que si je n'avais pas relu la question a) j'aurais aussi trouvé ça incorrect.

    Mais je suis d'accord pour dire que la rédaction ne relève pas du détail et, dans ce cas précis, m'inciterait à ne pas compter le raisonnement comme juste.
    Autant il y a des moments où le "soit $x \in I$" est presque coutumier en maths, autant ici il ne m'aurait pas paru superflu, tout comme le point en lequel on prend la limite.

    On s'attend traditionnellement à un raisonnement exploitant le DL, et tu fondes ta réponses sur une réécriture qui ressemble beaucoup à un DL. Sans quantifier ou expliquer "montrons que f(x) tend vers f(x0)" tout simplement, on pense vraiment au premier coup d'œil que tu as cherché à écrire un DL sans reste, et je ne pense pas que tous les correcteurs aient la mansuétude de relire.

    Dans la réalité, il faut que les raisonnements aient l'apparence du vrai.
    En maths, il faut qu'ils soient vrais, et il convient qu'ils en aient également l'apparence.
  • Modifié (13 Sep)
    Le théorème des accroissements finis est donné avec comme hypothèse une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
    Comment faire quand $I$ n'est pas un segment ? 
    Ma démonstration fausse est recopiée sur celle d'un prof de prépa en MPSI, du coup ce prof est incompétent ?  (Christophe Bertault)
    Sinon une autre démonstration.
    $ f : I \longrightarrow \R$ et $x_0 \in I$. $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si il existe un réel $l$ une fonction $\alpha : I \longrightarrow \R$ tels que : $\forall x \in I \ f(x)=f(x_0)+ l(x-x_0)+(x-x_0) \alpha (x)$ où $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \alpha(x)=0$
    Dans ce cas $f'(x_0)=l$.
    On a $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} (x-x_0) \alpha (x)=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} l(x-x_0)=0$ le résultat en découle.

  • Modifié (13 Sep)
    @Riemann_lapins_cretins : la démonstration écrite ici te convient-elle ? Il faut que le correcteur ait l'impression que ce qui est écrit soit vrai sans pour autant le lire suffisamment attentivement pour s'en convaincre ? On fait des maths là ?
  • Modifié (13 Sep)
    @OShine mais pourquoi tu continues à recopier les preuves des autres ? tu veux les apprendre par cœur c'est ça ?
    OShine a dit :
    Le théorème des accroissements finis est donné avec comme hypothèse une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
    Comment faire quand $I$ n'est pas un segment ? 
    On te dit que $I$ est un intervalle donc tu prends $x,y\in I$ avec $x<y$ et tu appliques le théorème des accroissements finis sur l'intervalle $[x.y]$ (et pas sur $I$ 😑). Tu obtiens que $|f(y)-f(x)|\leq K |y-x|$, mais ceci est valable pour tout $x<y\in I$ ce qui prouve ce qu'il fallait prouver...
  • @troisqua mais sur ce point il n'y a pas  de problème.  Mais les critiques sont sur tout le reste.  Le pire dans l'histoire c'est qu'@Os ne corrige aucune de toutes les fautes relevées, qui ne sont pas que des fautes de rédactions!
    En fait la seule chose qui est correcte, il l'a recopié et il nous fait dire ce qu'on n'a pas dit. C'est un comportement affolant.
    Il vaut mieux se sauver car on ne peut rien apporter à un tel personnage.

  • @bd2017 : je suis bien d'accord pour dire que le contre-exemple et toute la suite montre qu'il ne comprend pas de quoi il parle. Mais quand même, si tu relis les échanges au début du fil, c'est bien le début du a) qui est critiqué, à mon avis, à cause d'une non prise en compte de ce qu'il avait écrit (euh pardon, "mal recopié" depuis son livre).
  • troisqua a dit :
    @Riemann_lapins_cretins : la démonstration écrite ici te convient-elle ? Il faut que le correcteur ait l'impression que ce qui est écrit soit vrai sans pour autant le lire suffisamment attentivement pour s'en convaincre ? On fait des maths là ?
    Dans l'absolu on ne fait pas de maths si on ne quantifie pas, si OS avait quantifié tout le monde aurait vu clair, et si tout le monde avait vu clair le débat n'aurait pas lieu.

    Bien évidemment que la rédaction doit être claire et qu'on peut comprendre qu'un correcteur sanctionne un raisonnement tout à fait correct, mais incompréhensible. Faire des maths c'est aussi écrire, écrire c'est communiquer, communiquer c'est être clair.

    Il t'est d'ailleurs peut-être arrivé de sanctionner une réponse correcte sans même que tu ne t'en rendes compte, comme à tous les enseignants de ce forum. Nous ne sommes pas des ordinateurs validant des preuves formelles.
    C'est aux auteurs de faire en sorte que leurs textes ne soient pas mal interprétés.
  • Modifié (13 Sep)
    C'est une faute de frappe, je voulais dire que le taux d'accroissement de la fonction valeur absolue n'a pas de limite en $0$ donc la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.
    Mais si même les profs de prépa ne rédigent pas assez bien pour vous, je ne risque pas d'écrire des solutions correctes un jour.
    @raoul.S d'accord merci.
  • Cet exercice est extrait de l'agreg spécial docteur, il est facile pour un niveau agreg quand même. 
  • @Riemann_lapins_cretins : je suis d'accord avec tout ce que tu as dit dans ton message, mais je trouve que ce n'est pas un cas où, ce que tu dis, s'applique. Je trouve, et c'est suffisamment rare pour être dit, qu'il y a un peu de mauvaise foi à reconnaître que, sous prétexte qu'OShine est coutumier des rédactions qui n'ont pas de sens, celle-ci a été déclarée stupide alors qu'en l'état, malgré l'absence de quelques précisions qu'on peut effectivement reprocher, elle était tout à fait acceptable. Pour ma part, j'ai trouvé la rédaction particulièrement expéditive (dans le bon sens du terme) et je n'ai pas compris les commentaires qui ont suivi. Si un autre membre du forum avait rédigé ainsi, je ne suis pas certain qu'il ait été autant sermonné.
  • Pour le coup j'ai vraiment cru à la première lecture que le raisonnement était faux, avant de me forcer à le relire dans le bénéfice du doute et de comprendre ce qu'il en était réellement.
    Et c'est simplement le fait de ne pas mettre "quand x tend vers x0" sous la flèche qui cause l'erreur d'interprétation (j'ai cru d'abord à une flèche d'implication logique).
  • OShine a dit :
    Cet exercice est extrait de l'agreg spécial docteur, il est facile pour un niveau agreg quand même. 

    Allez, c'est reparti pour un tour... Arrête avec tes jugements : tu n'as toujours pas compris qu'un concours n'est pas un examen !
  • Modifié (13 Sep)
    C'est vrai que "dérivable => continue", c'est accessible seulement à partir de l'agreg, pas du tout à partir du LYCEE !
    C'est un exo de 1ère année d'application direct du cours. Et les accroissements finis, ça reste essentiel pour démontrer des propriétés admises au LYCEE (comme $f' \geq 0 \implies f\ \text{croissante}$ par exemple). Alors peut-être que tu l'as tiré d'un sujet d'agreg mais il pourrait très bien être tiré d'une feuille de TD de L1 ou de tes fameux Dunod. Bref, arrête de chercher des sujets d'agreg pour te rassurer et te dire 'je sais faire des exos d'agreg' et bosse tes cours et exo de L1 voire lycée. Surtout que l'agreg "docteur", à priori, tu ne pourras jamais la passer donc tu perds ton temps (moins que sur des X-ENS cela dit).

    Perso, la rédaction d'OS me convenait parfaitement... mais comme elle me convenait parfaitement, j'avais un doute sur le fait que ça venait de lui-même avant qu'il ne confirme qu'il avait recopié celle du cours de M. Bertault (dont je conseille les polycopiés de cours par ailleurs à toute personne souhaitant des cours de MPSI d'extrême qualité pédagogique et esthétique). Bref, comme toute preuve un peu crédible qui vient d'OS, je sais que c'est du copié-collé soit qu'il ne comprend pas, soit qu'il comprend mais qu'il ne saura pas refaire et dont il ne se souviendra pas le jour où il en aura besoin (incroyable de devoir aller chercher la preuve en ligne de "dérivable => continu"  :'(
  • J'avoue que j'ai cru au caractère personnel de la démo : je suis vraiment naïf...
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