Résolution d'une équation de degré 2
dans Géométrie
Bonjour,
Résoudre à la règle et au compas l'équation $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/2 = 0$ autrement que par la méthode classique du demi-cercle coupé par une parallèle au diamètre.
A+
Résoudre à la règle et au compas l'équation $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/2 = 0$ autrement que par la méthode classique du demi-cercle coupé par une parallèle au diamètre.
A+
J'ai mis mon génie dans ma vie ; dans mes livres, je n'ai mis que mon talent. (Oscar Wilde)
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Réponses
Il y a beaucoup plus simple.
A+
Une indication
l'équation concernée intervient dans le problème de l'inscription d'un carré dans un autre.
A+
Je construis le carré de côté $b$ pour avoir sa demi-diagonale $d$.
Ensuite le carré de côté $a$, de centre $O$.
Le cercle de centre $O$ et de rayon $d$ coupe ce carré en $C$ (voir figure), pourvu que $a \frac{\sqrt{2}}{2} \leq b \leq a$.
$AC$ et $BC$ sont les racines recherchées.
C'est simple mais il faut tracer les carrés, donc pas mal de cercles.
Amicalement, Ludwig
Merci à Eugène Catalan, qui m'a fourni l'idée !
Voici donc une autre façon de construire les racines...
Quid du problème contraire : circonscrire un carré donné à un autre carré donné.
Généralisation : inscrire (ou circonscrire) un n-gone régulier à un autre.
A+
Même question avec $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/3 = 0$.
A+
On remplace les carrés par des triangles équilatéraux.
A+
Avec $x^2 - ax + a^2 - b^2 = 0$ on a des hexagones réguliers.
Les sommets du triangle circonscrit, sont les intersections du cercle de rayon $a\sqrt 3/3$ et des arcs capables de $\pi/3$ décrits sur les côtés du petit triangle.
Les sommets de l'hexagone circonscrit, sont les intersections du cercle de rayon $a$ et des arcs capables de $2\pi/3$ décrits sur les côtés du petit hexagone, etc.
A+
$x^2-ax+b^2=0$
$x^2-ax+c(b-c)=0$.
Pour la deuxième équation il s'agit de l'inscription d'un rectangle dans un autre rectangle.
Un cercle $(O, b)$ et un point $C$ du diamètre situé à la distance $c$ du bord.
La perpendiculaire au diamètre élevée de $C$ coupe le cercle en deux points.
On construit le cercle $(O', a)$ passant par ces deux points.
La distance $x$ de $C$ au bord du cercle $(O')$ vérifie $x(a - x) = c(b - c)$.
La méthode usuelle consiste à remplacer $c(b - c)$ par un carré équivalent.
A+
Le cercle de centre $O$ passant par $E$ coupe $(AD)$ en $F$.
Alors $\overline{FD}$ et $AF$ sont les racines de $x^2-ax+c(b-c)=0$.
Mea culpa, les deux cercles sont de diamètres $a$ et $b$.
A+