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Nombres premiers entre eux dans un anneau principal

Modifié (12 Sep) dans Arithmétique
$\newcommand{pgcd}{\mathrm{pgcd}}$Bonsoir,
Soit $A$ un anneau principal et $a,b \in A$.
On a $aA+bA=\pgcd(a,b) A$. Si $\pgcd(a,b)$ est inversible, on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Dans un corrigé, j'ai vu la remarque suivante que je n'arrive pas à démontrer.
Soient $x,y \in A$ des éléments non premiers entre eux. Il existe alors $\alpha$ irréductible qui divise ces deux éléments.

Réponses

  • Modifié (12 Sep)
    Si $x$ et $y$ ne sont pas premiers entre-eux alors $\pgcd(x,y)$ n'est pas inversible et est donc produit d'irréductibles (c'est ça qu'il faut retenir : un élément non inversible est produit d'irréductibles). Vu que $\pgcd(x,y)$ divise $x$ et $y$, n'importe lequel de ses facteurs irréductibles divise aussi $x$ et $y$.
  • Modifié (12 Sep)
    Si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors $m = \pgcd(a, b)$ n'est pas inversible, $m$ n'étant pas inversible, il admet donc un diviseur irréductible $p$, de plus $m$ divise $a$ et $b$, ainsi par transitivité, $p$ divise $a$ et $b$.
  • Merci ! 

    J'avais oublié ce résultat. C'est la factorisation en produits d'irréductibles.
  • Modifié (12 Sep)
    Pour le coup, ce résultat me semble non évident (même si vrai) dans un anneau principal quelconque...
    Je suis preneur du scan de la page du livre concernée pour voir comment l'auteur traite ceci (si tu as le temps d'envoyer ça bien entendu).
    Merci d'avance !
  • La démonstration semble technique.



  • C'est la démonstration qui évite le recours à l'axiome du choix. Si on s'autorise cet axiome, alors pour tout $a\in A$ non inversible, il existe un idéal maximal $M$ contenant $aA$. Soit $m$ un générateur de $M$, alors $m$ est irréductible et divise $a$.
  • Modifié (12 Sep)
    @JLT
    Les idéaux maximaux ne sont pas abordés dans ce livre.
    La démonstration de l'auteur est vraiment d'une limpidité étonnante, ça a l'air tellement facile.


  • Modifié (12 Sep)
    La proposition évite de prononcer le mot clé : « anneau noethérien ».
    Exemple d'anneau (pas du tout principal et même pas noethérien) où cette proposition est fausse : l'anneau des fonctions entières (holomorphes sur $\C$). On part de $f:z\mapsto\sin(\pi z)$ et $g_n:z\mapsto z-n$ ($n\in\N$) et on introduit les éléments \[a_n:z\mapsto\frac{f(z)}{z(z-1)\cdots(z-n)},\quad(n\in\N).\] Alors $a_{n+1}\mid a_n$ puisque $a_n=g_na_n$ pour tout $n$, et pourtant $a_m$ et $a_n$ ne sont pas associés si $m\ne n$.
  • Merci @OShine (et aux autres pour leurs compléments).
  • Modifié (13 Sep)
    La construction de l'auteur nécessite une version faible de l'axiome du choix: l'axiome du choix dépendant (ACD). En fait on utilise ACD très souvent sans s'en rendre compte (surtout en analyse pour construire des suites par récurrence).

    Axiome du choix dépendant : Soit $R$ une relation binaire sur un ensemble $E$. Si pour tout $x\in E$, il existe $y\in E$ tel que $xRy$ alors pour tout $a\in E$ il existe une suite $x\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $x_{0}=a$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $x_{n}Rx_{n+1}$.

    Application: Soit $A$ un anneau noethérien (donc commutatif, unitaire, intègre et dans lequel toute suite croissante d'idéaux stationne). Alors tout élément non nul et non inversible de $A$ est un produit de facteurs irréductibles.

    Preuve: Notons $E$ l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas produits d'irréductibles. On considère la relation binaire sur $E$ définie par $aRb\Longleftrightarrow aA\subset bA$ et $aA\ne bA$. Si $x\in E$ alors $x$ n'est pas irréductible et donc il existe $y$ et $z$ non inversibles tels que $x=yz$. Ainsi $xA\subset yA$ et si on avait $xA=yA$ alors on aurait $y\in xA$ et comme $x$ non nul, par intégrité on aurait, $1\in zA$ et $z$ serait inversible : absurde. Donc $xA\ne yA$ et donc $xRy$.

    Soit $a_{0}\in A$ non nul et non inversible. Si, $a_{0}$ n'était pas produit de facteurs irréductibles, on aurait $a_{0}\in E$ et donc, par ACD, il existerait $x\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $x_{0}=a_{0}$ et pour tout $n$, $x_{n}A$ strictement inclus dans $x_{n+1}A$ qui contredit que $A$ est noethérien. Donc $a_{0}\notin E$ et donc $a_{0}$ est produit de facteurs irréductibles.

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