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Borne supérieure

Modifié (11 Sep) dans Analyse
Bonjour
Je commence le livre de Mr Rombaldi et j'aimerais démontrer les propriétés 2 et 3.
Dans la définition de borne supérieure, on dit soit $X$ une partie d'un corps $K$.
Mais ici ça veut dire quoi le $[0,1[$ dans $\Q$ ? Ca veut dire qu'on s'intéresse à $X'=[0,1[ \cap \Q$ avec comme corps $\Q$ ? 
Soit $\varepsilon >0$. On cherche $x \in X'$ tel que $1- \varepsilon < x \leq 1$.  Comme $x \leq 1$ est toujours vérifiée, on cherche un rationnel tel que $x > 1 - \varepsilon$.
Posons $x= \dfrac{p}{q}$ on veut donc $p > q (1-  \varepsilon)$
Mais j'ai l'impression de tourner en rond.

Réponses

  • Modifié (11 Sep)
    Dans cet exercice, considère que les réels n'existent pas et ne manipule que des rationnels.
    Sais-tu expliciter un rationnel simple strictement compris entre les rationnels $a$ et $b$ avec $a<b$ ?
  • Modifié (11 Sep)
    OShine a dit :
     Mr Rombaldi
    Non, pas mister Rombabldi. Il comprend vite, mais il faut expliquer longtemps.
  • Modifié (11 Sep)
    Cela veut dire que X  est l'ensemble des rationnels  de partie entière égale à $0.$
    Comment vas-tu démontrer 5?
  • Modifié (11 Sep)
    Les exemples sont bien choisis, car ce sont les plus importants qu'on rencontre. Ca permet de bien comprendre la notion de borne sup et borne inf et d'éviter les erreurs courantes.
    @bd2017 j'essaie d'aborde de faire les 2 et 3. J'ai fait une démonstration pour la $3$ je ne suis pas sûr à 100%. 
    @JLapin $\dfrac{a+b}{2}$.
    Soit $\varepsilon >0$. On cherche un rationnel dans $[0,1[$ tel que $x > 1 - \varepsilon$. 
    Il suffit de prendre $x= \dfrac{ 1 - \varepsilon + 1 }{2}$ soit $x=\dfrac{2 - \varepsilon}{2}$
    Montrons que $x> 1- \varepsilon$. On a $x-1+ \varepsilon = \dfrac{2 - \varepsilon -2 + 2 \varepsilon}{2} $
    Donc $x-1+ \varepsilon = \varepsilon /2 >0$.
    3) Supposons par l'absurde que $X'=[0,+\infty[ \cap \Q$ admet un plus grand élément $x$. Alors $2x > x$ serait dans $X'$ ce qui est absurde.
    Par l'absurde, si $X'$ admet une borne supérieure $M$ alors $\forall \varepsilon >0 \ \exists  x \in X' \ \ M - \varepsilon < x \leq M$.
    Donc $M=0$ est exclu sinon la borne supérieure serait atteinte, supposons $M>0$, prenons $\varepsilon = M/2$ ce qui donne $M/2 < x \leq M$.
    Mais alors $2x \in X'$ et $2x > M$ ce qui contredit le fait que $\forall x \in X' \ \ x \leq M$.
  • Modifié (11 Sep)
    JLapin a dit :
    Dans cet exercice, considère que les réels n'existent pas et ne manipule que des rationnels.
    D'après ce que dit @JLapin et si on écrit soit $\epsilon >0,$  je me demande ceci: si $\epsilon$ est un réel, n'y a-t-il pas une contradiction avec le fait qu'on considère que les réels n'existent pas ?   
  • Bonjour
    Juste une question 
    Vous parlez de Monsieur Jean-Etienne Rombaldi?
    Mais je ne vois pas qui il est car il n'est pas sur wikipédia (et c'est bien dommage car c'est un professeur d'université et pas le premier venu) 
    Du coup il faut chercher un peu et j'ai trouvé ça:
    Professeur des universités. - Enseigne à l'Institut Fournier, Unité de formation et de recherche (UFR) de mathématiques, Université Joseph Fourier, Grenoble (en 2012). - Agrégé de mathématiques. - Professeur à l'Université d'Aix-Marseille 3 (en 2005)
    Son site web
    Site de Jean-Etienne ROMBALDI - NATH & MATIQUES (free.fr)
  • Modifié (11 Sep)
    Bonsoir
    Ce lien me semble aussi pertinent. http://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~champet/AgregInterne/AgregInterne.html
    Jean-éric.
  • Modifié (11 Sep)
    Pour la 5.

    Soit $A$ une partie non vide de $\N$. 
    Supposons qu'elle n'admette pas de plus petit élément. Montrons alors que $A$ est vide.
    Notons $P(n)$ la propriété : pour tout $i \leq n \ \ i \notin A$.
    • $P(0)$ est vraie car sinon $0$ serait le plus petit élément de $A$.
    • Supposons $P(n)$ vraie. On sait qu'aucun des entiers $0, \cdots, n$ n'est dans $A$, il s'agit de montrer que $n+1$ n'est pas dans $A$ non plus. Mais sinon $n+1$ serait le plus petit élément de $A$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc $P(n+1)$ est vraie.
  • Modifié (11 Sep)
    Bonjour Usine et Jean-Eric,
    Rombaldi qui continue de vieillir est retraité après avoir effectivement enseigné à Marseille et Grenoble. Quand à être sur Wikipédia c'est un peu excessif. Quoi que ! : https://fr.wikipedia.org/wiki/Éditions_Rombaldi
    Les liens des pages web que vous donnez ne sont pas bons. On trouvera quelques unes de mes pensées ici : https://mathsrombaldi.pagesperso-orange.fr/ avec certainement des coquilles et erreurs dans les divers .pdf.
    En cliquant sur la bobine de mon épouse (en haut à gauche) vous pourrez admirer (??) quelques uns de ses travaux assez loin des mathématiques (donc hors sujet).
    Cherchant Rombaldi sur Internet, on peut tomber sur https://www.amazon.fr/ROMBALDI-MODESTE-POMPON-FRANQUIN-AVENTURES/dp/2800115742 alors que mon prénom n'est ni Modeste ni Pompon.
    Bonne journée à tous.
  • Merci pour votre lien monsieur J.E.Rombaldi
    Avec la photo du matou perdu dans les formules de maths.
    J'ai aussi vu les travaux dont vous parlez 
    C'est très beau 

  • J'ai une petite question sur la suite.

    On a $\min(a,b)= \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{|b-a|}{2}$ et $\max(a,b)= \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{|b-a|}{2}$.

    Je ne comprends pas trop la remarque suivante.

    On peut retenir ces égalités en remarquant que $\min(a,b)$ est la borne inférieure de l'intervalle d'extrémités $a,b$ et $\max(a,b)$ est la borne supérieure.
  • Modifié (11 Sep)
    il serait bien de tenir compte des  remarques!    2. est faux.   Quant à 5. C'est plutôt bizarre. La démonstration  ressemble plus à admettre que l'assertion est vraie pour prouver qu'elle est vraie qu'à autre chose. Personnellement, j'irai voir de plus près  la construction des entiers naturels et de l'ordre qu'on y a mis! 

  • OShine, dommage je te l'avais expliqué sur un autre fil, tu as oublié.
  • Modifié (11 Sep)
    Après 5 et 6 découlent des axiomes de Peano. Dans mon livre de prépa de sup, les résultats 5-6 sont admis.
    Mais je ne comprends pas ce qui est faux dans 2). 
  • @zeitnot ok en faisant un dessin du fermé $[a,b]$ je vois. On part du milieu $a+b/2$. Si on veut arriver au max, on rajoute la moitié de l'écart entre $a$ et $b$ et on arrive à $b$.
    Si on veut arriver à l'inf, on retranche la moitié de l'écart entre $a$ et $b$ et on arrive à $a$.

    Exemple $[1,3[$. On a $\max(a,b)=\dfrac{3+1}{2} + \dfrac{3-1}{2} = 3$ et la borne supérieure est bien égale à $3$.

    On a $\min(a,b)=\dfrac{3+1}{2} - \dfrac{3-1}{2} = 1$ et la borne inférieure est bien égale à $1$.
  • 2) est faux,    Relis toi!
  • J'ai relu je ne vois pas d'erreur...
  • Donc Il faut revoir les rationnels..'..
  • Il faut prendre epsilon dans $\Q$ sinon le quotient n'est pas forcément rationnel ?
  • Modifié (12 Sep)
    Quelque soit la façon dont tu vas répondre on  ne dit pas   soit $\epsilon >0$   et on choisit  $x=1-\epsilon /2$  qui n'a aucune chance d'être un rationnel.
    Cela ne te gêne pas d'écrire n'importe quoi.
    Par ailleurs vu l'énoncé, il faut savoir se placer dans le bon contexte. 
    On peut répondre à  2.  et 3.  de 2 façons différentes.  Soir  $\R$  est déjà construit ou pas.  S'il n'est pas construit, qu'est ce que $\Q$   et quel est l'ordre sur cet ensemble. 
  • Je n'ai pas vraiment compris ce que ça veut dire de regarder la borne sup de $[0,1[$ dans $\Q$, dans les définitions $X$ est une partie, il n'y a pas de $X$ vu dans le corps $\Q$.
  • Modifié (12 Sep)
    $\Q$ est un ensemble ordonné et toute partie d'un ensemble ordonné est susceptible d'admettre une borne supérieure. C'est assez délicat à manipuler comme notion...
    Dans cet exercice, il faut vraiment faire comme si $\R$ n'existait pas et éviter les ambiguïtés dans la rédaction telles que
    Soit $\varepsilon >0$...
  • Modifié (12 Sep)
    OShine, tu as du mal car la définition que tu as du sup est probablement celle avec le $\varepsilon$. Il faut prendre celle-ci qui est plus générale : le sup de $X$, lorsqu'il existe, est par définition le plus petit des majorants de $X$. Et là le fait que $X$ soit un sous-ensemble de $\Q$ n'a aucune importance.

    Ta définition avec $\varepsilon$ est équivalente à celle-ci lorsqu'on est dans $\R$.

    PS. Bon même avec $\Q$ tu pourrais utiliser la définition avec $\varepsilon$ mais il faudrait dire qu $\varepsilon$ est dans $\Q$... c'est moche.
  • Modifié (12 Sep)
    D'accord merci mais dans cette définition, on prend $\varepsilon >0$. Il y a une erreur ? 


  • Modifié (12 Sep)
    Ce n'est pas une erreur mais c'est tout de même une perte de généralité assez importante puisque la notion de borne sup ne nécessite pas que l'ensemble ordonné soit muni d'une addition.
    Sans parler du fait que l'on ne sache pas trop où vit cet epsilon strictement positif...
  • Modifié (12 Sep)
    D'accord merci, dans le cours de sup, la propriété de la borne supérieure est donné uniquement pour des parties de $\R$,
    Du coup, je fais sans cette propriété.
    2) Montrons que $1$ est la borne supérieure de $[0,1[$ dans $\Q$. 
    Il faut montrer que $1$ est le plus petit des majorants.
    On a $\forall x \in \Q \cap [0,1[ ,\ \ x  \leq 1$.
    Par l'absurde, si $1-y$ est un majorant de $ \Q \cap [0,1[$ avec $y \in \Q \cap [0,1 [$ aussi petit que l'on veut alors $\dfrac{2-y}{2}$ qui est un rationnel est dans $ \Q \cap [0,1[$ et $1- y/2 $ est strictement supérieur au majorant.
    Donc $1$ est le plus petit des majorants.

    3) Si $[0,+\infty[ \cap \Q$ admet une borne supérieure $M$, alors $M$ est le plus petit des majorants.

    On a donc $\forall x \in [0,+\infty[ \cap \Q ,\ x \leq M$. Mais $M \in \Q^{+*}$ donc $2 M \in \Q^{+*}$ avec $2M \leq M$ ce qui est absurde.
  • une faille encore "aussi petit que l'on veut"..
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