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Radical

Modifié (12 Sep) dans Algèbre
Bonjour
S'il vous plaît j'essaie de calculer le radical de Jacobson de Z/nZ pour n >1, y a un stade qui me bloque...
Les idéaux maximaux de Z/nZ on les connaît bien ; c'est les I = pZ/nZ (avec p premier et p | n ), j'obtiens une intersection de ses derniers puis je remplace le n par le produit de k nombres premiers naturels distincts 2 à 2  (th. fondamental de l'arithmétique).
À ce stade j'obtiens une intersection avec un produit en bas, je n'arrive pas trop à manipuler, je vois qu'il aura un PPCM...
Quelqu'un aura une idée s'il vous plaît ?

Réponses

  • Bonjour,
    Tu as pourtant tous les éléments qu'il te faut. Les idéaux de $\Z/n\Z$ correspondant aux diviseurs de $n$. Quel diviseur de $n$ pour le radical de Jacobson ? Tu peux traiter des petis cas, comme $n=12, 36, 60 ...$
  • Ce qui te pose problème n'est pas clair ("intersection avec un produit en bas" ?). Tu sembles être arrivé à la conclusion que ton idéal de Jacobson est $$\bigcap_{p \mid n} p \mathbb Z/n \mathbb Z.$$ Il reste à trouver à quoi correspond cette intersection. Il y a effectivement un lien avec le PPCM des premiers $p$ divisant $n$ : quel est ce PPCM ? Le nom qu'on lui donne n'est pas sans rappeler pourquoi on parle du radical de Jacobson. ;-)
  • Modifié (8 Sep)
    Oui effectivement Poirot, je suis arrivé à l'égalité que vous avez écrit et j'ai remplacé le n par le produit de k nombre premiers ; c'est ce que je voulais dire en fait par "intersection avec produit en bas " (je m'excuse je me suis mal exprimé).
    À ce stade que j'arrive pas à manipuler les calculs.
  • Ne peux-tu pas répondre pour $n=12,36, 60$ ?
    Quels sont les idéaux maximaux ? Quelle est dans chaque cas leur intersection ?
  • Modifié (8 Sep)
    Pour n= 12 on a : 2Z/12Z , 3Z/12Z l'intersection
    c'est 6Z/12Z

    Pour n= 36 on a : 2Z/36Z , 3Z/36Z l'intersection
    c'est 6Z/36Z

    Pour n=60 on a : 2Z/60Z , 3Z/60Z , 5Z/60Z l'intersection c'est 30Z/60Z

    J'espère que je me suis pas trompé 
  • Modifié (8 Sep)
    Bien. Si $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ avec les $e_i\geq 1$, que se passe-t-il ?
  • C'est là où je me suis bloqué quand je remplace le n en bas je trouve une intersection et un produit des p_i
  • Modifié (9 Sep)
    Que veux-tu dire ? Essaie de t'exprimer plus clairement !
    La situation générale n'est pas différente des exemples que tu as traités.
    Quels sont les idéaux maximaux ? Quelle est leur intersection ?

  • Modifié (12 Sep)
    Apparemment, @don_juanes2 , ton problème est que tu ne sais pas dire quels sont les nombres premiers $p$ qui divisent $n= p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ (décomposition en facteurs premiers de $n$) ?
    Plutôt que de m'envoyer des messages privés, écris sur le fil en essayant d'être clair !
  • Bonjour ,

    Merci pour votre réponse , oui exactement c'est ça mon problème.
  • Alors, revois les bases de l'arithmétique !
  • Modifié (12 Sep)
    Ne vous projetez pas dans une discussion dont vous avez pas les capacités/envie  pour expliquer !
    Merci.
  • Modifié (12 Sep)
    La décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, c'est au programme de la classe de 5e !!!
    Pour ta gouverne : un nombre premier $q$ divise $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ (décomposition en facteurs premiers) si et seulement si $q$ est égal à l'un des $p_i$.
    Je renouvelle mon conseil : revois les bases de l'arithmétique. S'attaquer au radical de Jacobson sans savoir cela, c'est mettre la charrue avant les boeufs.
  • Modifié (13 Sep)
    Ce n'est pas ça le problème qui m'avait bloqué, mais merci pour votre réponse, j'ai réussi à le résoudre.
  • Modifié (13 Sep)
    "oui exactement c'est ça mon problème. "
    "C'est pas ça le problème qui m'avait bloqué"
    Va comprendre !
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