Un angle

Ludwig

Bonjour,
Le point $A$ est variable sur le cercle de centre $o(0,0)$ et de rayon $3$. On note $B(-1,0)$, $C(1,0)$, $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et $G$ son centre de gravité. La droite $(OG)$ recoupe le cercle trigonométrique en $M$. Lorsque $A$ fait un tour du cercle orange le point $M$ décrit le cercle trigonométrique en changeant quatre fois de sens. Les positions angulaires du point $M$ où ce sens s'inverse peuvent être notées $\alpha$, $-\alpha$, $\pi - \alpha$ et $\alpha - \pi$, avec $0<\alpha<pi/2$.
Déterminer la valeur de l'angle $\alpha$.

Ludwig

Je pensais que c'était infaisable je ne sais pas pourquoi. Mais en fait les calculs se font assez bien. On part de $A(x,y)$ et on commence par calculer les coordonnées de $O$. On trouve $O(0,4/y)$ et bien sûr on a aussi $G(x/3,y/3)$. On écrit l'équation de la droite $(OG)$ et on cherche les intersections de cette droite avec le cercle trigonométrique. On obtient des équations du second degré pour chacune des coordonnées solutions. Mais on sait que $G$ est une intersection. Alors pas de discriminant ! Bon ok j'ai failli le faire, et peut-être même bien que j'ai commencé à le faire. Non, la somme des racines bien sûr ! Les calculs sont beaucoup plus simples.

On trouve : $x(M) = \frac{x(y^2 - 16)}{5y^2 - 48}$ et $y(M)=\frac{y(1-x^2)}{5y^2-48}$. Et alors $\tan(\widehat{COM})=\frac{y(x^{2}-1)}{x(x^2 + 7)}$.
Vu qu'on cherche l'angle entre $0$ et $\pi/2$ on remplace $y$ par $\sqrt{9-x^{2}}$ et on est amené à étudier la fonction $ \arctan (\frac{(x^2 - 1) \sqrt{9-x^2}}{x(x^2 + 7)})$ pour $x$ entre $0$ et $3$.
Pour ne pas s'égarer on dérive et on trouve que le maximum est atteint en $x=\frac{1}{5} \sqrt{105}$.
On en déduit l'angle demandé : $\alpha=\arctan(\frac{4}{49} \sqrt{14})=\frac{1}{2} \arccos(\frac{311}{375})$.

Ah oui ! Ce $M$ c'est $X_{468}$.

Ludwig

Bonsoir
Je propose un petit prolongement à ce problème. 

Soit $o(0,0)$, $B(-1,0)$, $C(1,0)$ et $A$ un point du cercle de centre $o$ et de rayon $r>1$. $[oA]$ coupe le cercle trigonométrique en $G$ et $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. La droite $(OG)$ recoupe le cercle trigonométrique en $M$. 

Lorsque $A$ varie sur son cercle le point $M$ se déplace sur le cercle trigonométrique d'une façon qui dépend de $r$, ce qui assez amusant je trouve. Si $r$ est plus grand qu'une certaine valeur $r_0$ le point $M$ se comporte comme dans le premier message de ce fil, et il vous faudra donc déterminer la valeur de l'angle $\alpha_r$ correspondant. Bien sûr il faut aussi calculer cet $r_0$. Et enfin il faudra décrire les mouvements du point $M$ pour $r=r_0$ et pour $1<r<r_0$.

Bon courage ! Ludwig

Ludwig

Les calculs sont à peu près les mêmes. En utilisant le calcul formel de GGB je trouve : $$\cos(2 \alpha_r)=\frac{r^{8} - 4 \; r^{7} + 20 \; r^{6} - 28 \; r^{5} - 50 \; r^{4} + 28 \; r^{3} + 20 \; r^{2} + 4 \; r + 1}{8 \; r \; \left(r^{2} - r - 1 \right)^{3}}.$$ Formule valable pour $1+\sqrt{2} \leq r \leq 2+\sqrt{5}$. Il y a donc deux valeurs de $r$ qui conditionnent le mouvement de $M$, et non pas une comme la manipulation expérimentale de la figure me l'avait suggéré.
Si $1<r<r_0=1+\sqrt{2}$ le point $M$ fait exactement trois tours du cercle trigonométrique pendant que $A$ fait un tour de son cercle, dans le même sens que $A$ mais avec une vitesse variable.
Si $r=r_0$ alors $\alpha_r=\pi/2$ : la droite $(OG)$ n'est autre que la tangente au cercle trigonométrique en $G$ et le point $M$ (confondu avec $G$) décrit ce cercle dans le même sens et à la même vitesse angulaire que $A$.
Si $r_0 < r < r_1=2+\sqrt{5}$ le point $M$ décrit le cercle trigonométrique en changeant quatre fois de sens. Les positions angulaires du point $M$ où ce sens s'inverse sont $\alpha_r$, $-\alpha_r$, $\pi - \alpha_r$ et $\alpha_r - \pi$.
Si $r = r_1$ l'angle $\alpha_r$ est nul. Le point $M$ tourne dans le sens contraire de $A$, il fait un tour quand $A$ en fait un, mais sa vitesse et son accélération angulaires deviennent nulles lorsque $A$ se rapproche de $(r_1,0)$ ou $(-r_1,0)$. J'ai mis ce sympathique mouvement en ligne sur le tube GeoGebra.
Et pour $r > r_1$ le mouvement de $M$ est le même que pour $r = r_1$ sauf que sa vitesse ne s'annule pas.
Bonne journée ! Ludwig

jelobreuil

Ludwig, est-ce une coïncidence ? La valeur du rayon (2 + rac5) qu'on retrouve dans ton fil "un millionième" ...

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2331031/un-millionieme#latest 

Bien amicalement, JLB