Sangaku

poulbot

Bonjour à toutes et tous
Ce sangaku est cité dans le dernier numéro du College Mathematics Journal de la MAA.
Le petit triangle étant équilatéral, exprimer la longueur de son côté en fonction des rayons des deux cercles.




Bien cordialement
Poulbot

Riemann_lapins_cretins

Le petit cercle est la Terre, le triangle le San Gaku et le grand cercle son genkidama ?

cailloux

Bonjour

 J'ai peut-être commis une erreur, mais il me semble que les deux rayons sont liés par la relation :   $$\dfrac{R}{r}=\sqrt{3}+1$$ et qu'on peut exprimer le côté du triangle équilatéral en fonction d'un seul des rayons, par exemple :

$$a=R\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

[Edit] Je confirme : j'ai commis des erreurs.

Soc

C'est louche! Si je fixe $r$ je peux faire varier $a$ et toujours trouver un $R$ qui convient (par construction géométrique, je n'ai pas fait les calculs). Du coup le $a$ ne dépendant que de $r$, je tique.

Pour développer un peu, je dirais que l'on peut prendre 2 rayons quelconques, mais pas à n'importe quelle distance l'un de l'autre.

Ludwig

Ben non Soc, si tu fixes $r$ et que tu fais varier $a$, ce nombre ne dépendra pas de $r$ mais uniquement de lui-même. Par contre on pourra en effet trouver un $R$ qui convient, et alors tu pourra exprimer ce $R$ en fonction de $a$ et $r$. 

J'ai déjà vu ce problème quelque part, je crois bien qu'il figure aussi dans le livre de Géry Huvent sur les sangakus.

Soc

@Ludwig : C'est ce que je dis, et c'est ce qui contredit le fait que R dépende de r uniquement

Pour ceux qui veulent poursuivre les calculs, voici la construction en question:

Ludwig

Une autre construction à partir de $a$ et $r$ (je vous laisse deviner ses étapes).
Elle utilise des alignements (en vert), et le petit triangle qui est lui aussi équilatéral.

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

un début géométrique de résolution

1. le grand triangle rectangle
2. le cercle inscrit dans ce dernier
3. construite M en considérant P comme l'orthocentre d'un certain triangle inscrit dans ce cercle inscrit...d'où la compréhension géométrique  de Q
4. ma perpendiculaire à (BE) est visible (elle passe par Q)...
et le problème se met en place...

Sincèrement
Jean-Louis

bd2017

Bonjour

La réponse est :  $a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}(R+r)$

poulbot

Bonjour bd2017 et merci
C'est effectivement la bonne réponse. Mais comment y parvenir?
On pourrait en profiter pour exprimer en fonction des rayons les longueurs des côtés du triangle rectangle qui, curieusement, n'étaient pas demandées.
Bien cordialement. Poulbot

Ludwig

Bonjour,
Je fixe le côté $a$ du triangle. Ne peut-on pas dire que, pour des raisons de symétrie, la somme des rayons est constante ? Et on conclut en disant que cette somme est égale à la hauteur du triangle. 
Amicalement, Ludwig

Ludwig

Une construction à partir du triangle équilatéral et de la droite support de l'hypoténuse (contrôlée par le point bleu) : 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
je confirme le résultat de Poulbot...
Pour y arriver, il est nécessaire de construire la figure avec les premières indications que j'ai proposées...
Nous pouvons alors remarquer la présence d'une unité géométrique qui conduit à une moyenne harmonique et la conclusion suit...
D'abord la figure avant toute élucubration...

Une question : quel art ce cache derrière ce San Gaku?

Sincèrement
Jean-Louis

Epsilon maths

r

Epsilon maths

r

Jean-Louis Ayme

Bonsoir,
merci pour la référence...

Mon schéma de preuve ne fait pas appel à la trigonométrie...Qu'en est-il du votre?

Sincèrement
Jean-Louis

Epsilon maths

r

poulbot

Bonjour Epsilon maths
et grand merci pour cette belle solution et vos explications.
Bien cordialement. Poulbot

Jean-Louis Ayme

Bonjour Poulbot,
pouvez-vous me communiquer la référence du College Mathematics Journal de la MAA. dans lequel se trouve ce joli problème...
J'espère que tout va bien pour vous...
Merci
Jean-Louis

poulbot

Bonjour Jean-Louis
Il s'agit d'un article de Hiroshi Okumura publié dans l'issue 4 de l'année 2022.
L'auteur commence par citer ce problème en donnant la réponse sans démonstration et développe ensuite plusieurs types de généralisations.
Bien cordialement. Poulbot

Epsilon maths

r

Bouzar

Bonjour,

Voici un résultat qui permet aussi d'aboutir à la solution.

Amicalement.

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
une preuve imagée et non imaginée
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Proof without words 2.pdf

Sincèrement
Jean-Louis