L'Ouvert, revue de l'IREM

Fin de partie

En suivant une référence à un article j'ai découvert la revue l'Ouvert de l'IREM.

Je cherchais à lire l'article : Une preuve lumineuse de la relation $\displaystyle 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+....=2\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)^2$ de Dominique Dumont.

Fin de partie

Une preuve de $\displaystyle 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots=2\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots\right)^2$
(On ne calcule aucune de ces séries)

On montre de façon élémentaire que $\displaystyle A=\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}dx=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...$ \begin{align}A&\overset{u=\frac{1}{x}}=\int_1^\infty \frac{1}{1+u^2}du\\ A&=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{1}{1+u^2}du\\ A^2&=\frac{1}{4}\left(\int_0^\infty \frac{1}{1+x^2}dx\right)\left(\int_0^\infty \frac{1}{1+y^2}dy\right)\\ &=\frac{1}{4}\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}dxdy\\ &\overset{u(x)=xy}=\frac{1}{4}\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{y}{(1+y^2)(u^2+y^2)}dudy\\ &\overset{z=y^2}=\frac{1}{8}\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{1}{(u^2+z)(1+z)}dudz\\ &=\frac{1}{8}\int_0^\infty \frac{1}{1-u^2}\left[\ln\left(\frac{u^2+z}{1+z}\right)\right]_0^\infty du\\ &=-\frac{1}{4}\int_0^\infty \frac{\ln u}{1-u^2}du\\ &=-\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{\ln u}{1-u^2}du-\frac{1}{4}\underbrace{\int_1^\infty \frac{\ln u}{1-u^2}du}_{v=\frac{1}{u}}\\ &=-\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\ln u}{1-u^2}du\\ \end{align} Et il n'est pas difficile de transformer cette dernière expression en la série cherchée.