Équivalent de $u_{n+1}=1/2(u_n+u_n^2)$

noradan

Bonsoir
Soit $u_{n+1}=\frac12(u_n+u_n^2)$, $u_0\in[0,1]$.
Il est facile de prouver que $u_n$ tend vers $0$, que $u_{n+1}/u_n$ devient $<3/4$ donc que la série $\sum u_n$ converge.

On demande ensuite de déterminer $\lim 2^nu_n$ et là je sèche !
On a bien sûr $v_{n+1}=v_n+v_n^2/2^n$ j'ai donc essayé des choses à coup de sommation mais ça ne donne rien.
Quelqu'un a-t-il une idée
Merci.

Bibix

Peut-être la règle de d'Alembert ?

jandri

Pour cette dernière question il faut prendre $0<u_0<1$.

On montre que $\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)\sim u_n$, cela suffit pour prouver la convergence de la suits $(v_n)$.

En revanche sa limite doit dépendre de $u_0$ et je ne pense pas qu'il existe une formule simple. 

Bibix

D'ailleurs, je n'avais pas vu hier soir, mais si on prend $u_0 = 1$, ta suite est constante. C'est plutôt cocasse pour une suite qui tend vers $0$...

noradan

j'avais un peu oublié ma question
Je suis bien de l'avis de jandri
je me demande si la question d'origine n'était pas plus simplement prouver que la limite existe
des simulation en python ne donne rien de palpitant; ça dépend complètement de u0
Merci quand même

Lars

Bonjour

Vous pouvez étudier la monotonie, continuité, équation fonctionnelle,  équivalent en 0, comportement au voisinage de 1 etc. de cette fonction (celle qui à $u_0$ associe cette limite).