Contre-exemple pour cette condition

Alihalawi196

Bonjour. J'ai besoin de votre aide s'il vous plaît pour résoudre cette question.

Dans ce théorème : comment puis-je donner un contre-exemple que si X n'est pas compact ce théorème ne tient pas.
Notez que le professeur me donne cet indice  mais je ne peux pas continuer.

Merci d'avance pour votre aide. Apprécié

Bibix

Si c'est une intégrale, alors le TCD (ou TCM) est vrai. En appliquant séparément le TC(D ou M) et Cesàro à une suite de fonctions $(f_k)_k$ bien choisie, on obtient une contradiction (c'est le même genre de contre-exemples que ceux de la double limite). Il faut juste trouver une suite de fonction qui convienne.

Alihalawi196

Je sais mais le problème est que je n’ai pas trouvé cette suite de fonctions. Peux-tu m’aider s'il te plaît ?

JLapin

Question bête : où se trouve l'hypothèse de compacité de $X$ dans le théorème ?

gebrane

JLapin ici c'est la compacité locale. Pour un contre-exemple je ne comprends pas les notations de son prof, il suffit @Alihalawi196 que tu tapes dans ton moteur de recherche préféré ceci 
Examples of cases where the Riesz representation theorem does not hold

JLapin

Sauf que $\N$ est bien localement compact me semble-t-il.

gebrane

J'ai dit je ne comprends pas les notations de son prof et son $X$ n'est pas $\N$ sûrement, c'est un espace de suites  peut-être $\ell_1$ ou $\ell_2$.

SkyMtn

Euh pour moi ce n'est pas du tout un contre-exemple. J'imagine que $\mathbb N$ est muni de la topologie discrète, donc ses compacts sont les ensembles finis. Par conséquent, $\mathbb N$ est (séparé) localement compact et les fonctions continues à support compact sur $\mathbb N$ sont les suites qui stationnent à zéro... donc les moyennes de Césaro sont nulles...

edit : je n'ai pas d'idée de contre-exemple, peut-être que $a \in \ell^1(\mathbb N) \longmapsto \sum_{n\ge 0} a_n$ marche ?