Triangle. Un lemme de Poncelet et un autre très semblable

gipsyc

Le centre du cercle inscrit est situé sur le segment reliant avec le lemme de Poncelet :
• le milieu (MAt) de la A-cévienne déterminée par le point de contact (Ta) du cercle inscrit sur BC, 
• au milieu (Ma) de BC
avec l'autre lemme (de John Rigby ?)*
• le milieu (MAh) de la A-hauteur 
• le point de contact (Xa) sur BC du cercle A-exinscrit
et donc à l'intersection de ces deux segments.

* cité dans
Ross Honberger. Episodes in nineteenth and twentieth century euclidian geometry. The Mathematical Association of America. New Mathematical Library, 1995 p.30

pappus

Bonjour à tous

Je ne comprendrais jamais l'acharnement de certains à montrer toujours et toujours et toujours que trois points sont alignés comme si la géométrie se réduisait à cela!

Il y a tellement de configurations plus belles!!

Alors prouvons le premier alignement.

Je considère le faisceau tangentiel des coniques tangentes aux droites $AB$ et $AC$ et à la droite $BC$ au point $D$.

Les centres des coniques de ce faisceau sont alignés sur la droite de (Sir Isaac) Newton $A'A''$ où $A'$ est le milieu de $BC$ et $A''$ celui de $AD$.

Il se trouve que le cercle inscrit est aussi une conique, même si on ne sait plus trop aujourd'hui ce que c'est.

Donc comme un bon petit soldat, le point $I$ est sur la droite $A'A''$.

Amicalement

pappus

.

pappus

Bonjour à tous
Réglons son compte au deuxième alignement.

Sur ma figure, les centres d'homothétie des cercles inscrit et exinscrit dans l'angle $A$ sont les points $A$ et $E$.
On a donc une division harmonique : $$(A,E,I,I_A)=-1$$ puis un faisceau harmonique : $$(DA,DE,DI,DI_A)=-1$$On coupe ce faisceau par la droite $AH_A\parallel DI_A$.
Il en résulte que $H'_A$ est le milieu de $AH_A$.

Ce raisonnement compréhensible autrefois par un lycéen de Seconde est "off limits" aujourd'hui, même pour des agrégatifs puisque la géométrie projective ne fait plus partie de notre culture !
Amicalement.
pappus

PS
Évidemment ça ne veut pas compiler !
Bof !

gipsyc

Grand merci Pappus
Votre deuxième graphique en « clair »

La règle utilisée.
Dans un triangle ABC, droite d par A, d // BC, si M désigne le pied de la médiane issue de A, alors A(B, M, C, d) est un faisceau harmonique
Note : si l'on rajoute
sur BC
• le point T (point de contact du cercle inscrit)
sur AD
• le point F (intersection avec le cercle inscrit proche de A) • le point de Nagel,
nous avons
• l'égalité AF = NaD
• FT passe par I (FT est un diamètre du cercle inscrit)

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol7.html
puis
la ponctuelle (MI)... p. 7 une nagelienne, p. 10 milieu d'une gergonnienne, qui conduit à milieu de la A-hauteur....

Pour l'égalité  AF = NaDhttp://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol7.html
puis 26. 0. Segments,  Problème 1.

Sincèrement
Jean-Louis