Isomorphisme de groupes

OShine

Bonsoir,
J'ai laissé de côté l'autre exercice, trop difficile pour moi. Celui-ci me semble plus abordable.
Exercice : 
1) Montrer que le groupe $(\Z[i], +)$ est isomorphe à $\Z^2$.
2) L'anneau $(\Z[i],+,\bullet)$ est-il isomorphe à l'anneau produit $(\Z^2,+,\bullet)$ ? 

1) Soit $\begin{array}[t]{cccc}f :& \Z[i]& \rightarrow &\Z^2 \\& a+ib &\mapsto &(a,b)\end{array}$
Montrons que $f$ est un isomorphisme. $f$ est un morphisme de groupes car $f( a+ib + c+ id)= f( (a+c) + i(b+d))=(a+c,b+d)=f(a+ib)+f(c+id)$.
Injectivité : 
Supposons $f(a+ib)=f(c+id)$ alors $(a,b)=(c,d)$ donc $a=c$ et $b=d$ donc $a+ib=c+id$ d'où l'injectivité.
Surjectivité :
Soit $(u,v) \in \Z^2$. On veut résoudre l'équation $f(a+ib)=(u,v)=(a,b)$. Il suffit de prendre $a+ib=u+iv$.
$f$ est un isomorphisme.
2) Je ne vois pas du tout.

raoul.S

Tu peux voir un isomorphisme comme un "renommage" des éléments, c'est les mêmes mais tu les nommes différemment. Donc ils gardent les mêmes propriétés.

Par exemple dans $\Z[i]$ l'élément $i$ est "spécial" dans un certains sens. Si $(\Z[i],+,\bullet)$ est isomorphe à $(\Z^2,+,\bullet)$ alors $\Z^2$ contiendrait aussi un élément "spécial" dans le même sens que $i$ dans $\Z[i]$ . 

OShine

L'isomorphisme conserve l'inversibilité ? Je n'ai jamais étudié ça. 
On a $\Z[i]= \{ a + i b \mid (a,b) \in \Z^2 \}$.
Ses inversibles sont $1,-1,i,-i$. Donc $i$ est un inversible dans $\Z[i]$. 
On a $f(i)=(0,1)$. Mais $(0,1)$ n'est pas inversible dans $\Z^2$ car on ne pourra jamais obtenir $(1,1)$ à cause du $0$.

lourrran

C'est quand même dommage de ne toujours pas avoir compris la définition d'isomorphisme après tous les exercices que tu as faits sur le sujet.

Je pense qu'avant de tenter de répondre à la question, la première chose, c'est de s'assurer qu'on a compris les définitions.
On a une opération notée $\bullet$, définie dans $\mathbb{Z}[i]$ , et une autre, notée pareil, définie dans $\mathbb{Z}^2$

Peux tu expliciter $(a+ib) \bullet (c+id)$ dans $\mathbb{Z}[i]$
et $(a,b) \bullet (c,d)$  dans $\mathbb{Z}^2$

Et il ne reste qu'à conclure.

raoul.S

OShine a dit :

L'isomorphisme conserve l'inversibilité ? Je n'ai jamais étudié ça. 

Même un morphisme normal conserve l'inversibilité. Si $\phi:A\to B$ est un morphisme d'anneaux et que $a\in A$ est inversible alors $\phi(a)$ est inversible dans $B$. Tu peux le montrer c'est vraiment élémentaire.
Un isomorphisme ne conserve pas seulement l'inversibilité, il conserve toute la structure algébrique on peut dire.

OShine a dit :

On a $f(i)=(0,1)$. Mais $(0,1)$ n'est pas inversible dans $\Z^2$ car on ne pourra jamais obtenir $(1,1)$ à cause du $0$.

Tu ne peux pas utiliser $f$ pour faire ça car $f$ n'est pas un morphisme d'anneaux, c'est juste un morphisme de groupes (un isomorphisme de groupes en fait comme tu l'as montré). Donc il préserve la structure de $(\Z[i], +)$ pas celle de $(\Z[i],+,\bullet)$. Dit autrement, $f$ ne se comporte pas bien vis-à-vis de la multiplication (on n'a pas $f(z_1z_2)=f(z_1)f(z_2)$ pour tout $z_1,z_2$).
Il faut chercher ce que $i$ a de "spécial" et montrer que dans $(\Z^2,+,\bullet)$ il n'y a pas d'élément qui vérifie les mêmes relations algébriques que lui. La "spécialité" de $i$ c'est le truc qui étonne les élèves la première fois qu'ils le voient...

llorteLEG

Pourquoi $f(i)=(0,1)$?

raoul.S

Parce qu'il faut lire sa réponse à la question 1) ICI.

llorteLEG

Je comprends bien mais pour montrer que les 2 anneaux ne sont pas isomorphes, il ne suffit pas de prendre le f qu'il a choisi question 1 et dire que ça ne marche pas pour elle.

OShine

Le problème de mon $f$ est que c'est un morphisme de groupes et non un morphismes d'anneaux.
$i^2=-1$ ? Je ne vois pas trop ce qu'il faut faire.
@lourrran
$(a+ib) \bullet (c+id)= ac-bd + i (bc+ da)$
$(a,b) \bullet (c,d) = (ac,bd)$ (multiplication dans un anneau produit)
Je ne vois pas quoi conclure.

JLapin

$f(i^2)=f(-1)$ donc $f(i)^2 = -f(1)=-(1,1)$ puis $(a^2,b^2)=(-1,-1)$. Absurde.

Julia Paule

@OShine, pour montrer que les anneaux ne sont pas isomorphes, comme le dit très justement @llorteLEG, on ne peut pas utiliser $f$.

Alors tu peux par exemple montrer que :

- l'équation $x^2+1=0$ a une solution dans $\Z[i]$, et n'en a pas dans $\Z^2$ (en prenant bien sûr $x=a+ib$ pour la 1ère équation, et $x=(a,b)$ pour la 2ème, avec $1$ l'élément neutre pour la loi $\bullet$ dans chacun des deux anneaux : c'est lequel pour $\Z[i]$ ? pour $\Z^2$ ?)

ou bien que :

- $\Z[i]$ a un élément d'ordre $4$ pour sa loi $\bullet$ tandis que $\Z^2$ n'en a pas pour la sienne.

OShine

@JLapin ok merci peut être prendre un autre nom car mon $f$ n'est pas un morphisme d'anneaux.
Je n'ai pas compris pourquoi $f(-1)=-f(1)$ ni d'où sort le $(a^2,b^2)$.

$i$ est d'ordre $4$ dans $\Z[i]$. L'équation $x^4=1$ a pour solutions les racines 4ièmes de l'unité et seule la solution $1$ est réelle.

zeitnot

OShine a dit :

L'équation $x^4=1$ a pou solutions les racines 4ièmes de l'unité et seule la solution $1$ est réelle.

Ah ? $-1$ n'est pas un réel ?

N'oublie pas de poser la question à ton professeur particulier pour confirmer, j'ai comme un doute.

"zeitnot, c'est du chinois pour moi, tu expliques mal et tu n'as rien rédigé. Tu ne dis pas pourquoi $-1$ est une solution $x^4=1$ et tu ne démontres même pas que c'est un réel. Tu n'as aucune pédagogie"

lourrran

Ici l'exercice est 'difficile'.
Si on avait dit : montrer qu'il existe un isomorphisme de $\mathbb{Z}[i]$ vers $\mathbb{Z}^2$
 ( ou au contraire, montrer qu'il n'existe pas ... )
On aurait eu un indice.
Déjà, là, il faut deviner si on doit chercher dans la direction 1 ou la direction 2.
Premier obstacle infranchissable pour OShine, à aucun moment il n'a dit : je pense qu'il n'existe pas d'isomorphisme, mais je ne sais pas comment le démontrer.
Pour les 'aidants', c'est tellement évident qu'il n'y a pas d'isomorphisme qu'ils ont tous réagi comme si l'énoncé disait : montrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme ... ...'

Donc considérons que l'énoncé est : montrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme ...
On peut ajouter d'autres questions intermédiaires.
- Si f est un isomorphisme, donner f(1).
- Soit $(x,y) \in \mathbb{z}^2$ , On suppose que f(i) = (x,y)
  Calculer $f(i^2)$ par 2 moyens différents.
Conclure.

llorteLEG

Sinon l'un des deux anneaux est non intègre. Lequel et pourquoi ? Niveau début sup

OShine

• $f(1)=(1,1)$.
• $f(i^2)=f(-1)$. 
• $f(i^2)=( f(i))^2 =f(i) f(i) = (x^2,y^2)$
• Je ne sais pas calculer $f(-1)$ ne connaissant pas $f$.

@zeitnot oui j'ai dit une bêtise. 

Cyrano

$f$ est un homomorphisme donc $f(-1)=-f(1).$

OShine

Le mot homomorphisme n'est plus utilisé dans les cours et livres récents.

lourrran

Même avec des questions intermédiaires aussi précises, tu n'y arrives pas.
Alors que tu viens de faire des exercices sur les isomorphismes pendant au moins 2 semaines.
Je pense que même si tu faisais des exercices sur ce sujet pendant 6 mois, tu ne comprendrais toujours rien.

En fait, quand tu dis : je comprends, ça veut dire : je ne vois pas de truc incohérent, je connais chacun des mots, je n'ai pas d'objection contre ce qui est écrit.
Ca ne veut pas dire que tu comprends, ça veut dire que tu n'as pas d'objection.

OShine

Pas compris le $f(-1)=-f(1)$ comment on l'obtient.

lourrran

$f(u+v)=f(u)+f(v)$
$0=f(0)=f(i^2+1) = f(i^2) + f(1) $

Ou plus direct dès que $k$ est un 'scalaire' et $f$ un isomorphisme, $f(ku) = kf(u)$, conséquence directe de la définition.

Tu ne sais toujours pas ça sur les isomorphismes ????

Est-ce que un jour tu vas apprendre les définitions. Et si tu es incapable de les retenir, tu les gardes sous les yeux, et tu les consultes quand tu bloques. Comme les cancres.

OShine

$\Z^2$ n'est pas un anneau intègre car $(1,0) \times (0,1)=(0,0)$.

$\Z[i]$ est un anneau intègre car c'est un sous-anneau de $\C$ qui est intègre. En effet, pour tout $z_1,z_2 \in \C$  si $z_1 z_2=0$ alors $z_1=0$ ou $z_2=0$. 

OShine

@lourrran je connais ces définitions par cœur mais je n'ai pas pensé à calculer $f(i^2+1)=f(0)$. Maintenant c'est bon j'ai compris.

lourrran

Donc tu dis que tu ne trouves jamais les trucs évidents, même quand tu connais les définitions.

C'est pire. La mémoire, ça s'améliore, la jugeote, c'est beaucoup plus difficile de combler cette lacune, quand on n'a aucune intuition, aucune jugeotte.

Tu dis que tu as compris. Mais ça doit faire au moins le 10ème exercice en 3 mois où tu bloques sur des trucs totalement évidents comme ça. Dès que la même situation va se présenter à nouveau, tu ne sauras toujours pas faire.

JLapin

OShine a dit :

@JLapin ok merci peut être prendre un autre nom car mon $f$ n'est pas un morphisme d'anneaux.
Je n'ai pas compris pourquoi $f(-1)=-f(1)$ ni d'où sort le $(a^2,b^2)$.

Le $f$ de mon message est évidemment un isomorphisme d'anneaux dont je suppose l'existence.

$(a,b)$ désigne $f(i)$. J'espère que tu comprends ensuite d'où vient le $(a^2,b^2)$...

Amédé

OShine a dit :

Pas compris le $f(-1)=-f(1)$ comment on l'obtient.

$f(i^2+1)=f(0)\Longleftrightarrow f(i^2)+f(1)=0...$

Si $A=\Z[i]$ et $B=\Z^2$ sont isomorphes alors il existe un isomorphisme d'anneaux $f:A\longrightarrow B$. En particulier, $i^2+1=0$, donc $f(i^2)+f(1)=0\Longleftrightarrow (f(i))^2+f(1)=0$. Ce qui donne, en posant $f(i)=(a,b)$: $a^2=-1$ et $b^2=-1$. Impossible avec $a,b$ entiers relatifs...

OShine

Oui c'est bon merci c'est compris. 

lourrran

Résumons l'histoire : 
On te demande de prouver qu'il n'existe pas d'isomorphisme.
On t'apporte la solution détaillée
Et tu nous dis : je n'ai pas pensé à utiliser la définition d'un isomorphisme.
Si tu avais un peu de recul, un peu le sens de l'auto-dérision, tu dirais : je suis vraiment nul, je n'ai même pas pensé à utiliser la définition.

Regarde tous les sujets sur lesquels j'interviens. Je ne suis pas aussi doué que les Amédé, Jlapin ou autre. Ces sujets-là sont forcément faciles. Sur au moins la moitié de ces sujets-là, tu as 'oublié d'appliquer la définition' des objets que tu manipules.
Sur tous ces sujets-là, tu aurais dû conclure : je suis vraiment nul, je n'ai pas pensé à appliquer la définition.

Tiens à jour un cahier. Pour chaque exercice que tu postes, tu écris en 3 mots la raison qui explique pourquoi tu n'as pas su faire tout seul. Quand tu verras cette même phrase écrite 100 fois, tu finiras peut-être par identifier tes points faibles. 

OShine

@lourrran
Tu as quand même des capacités de réflexion au-dessus de la moyenne même si tu ne connais pas tous les théorèmes de licence.
On voit sur les probas et le dénombrement que tu as beaucoup d'intuition.
Je ferai ça je compte faire un sujet d'écrit de Mines pont 2020 sur l'algèbre linéaire de première année et à chaque question non réussie je noterai les lacunes.
J'ai un corrigé très détaillé doc solus.

lourrran

Oui, j'ai été très doué en maths, mais tout ça est très très lointain, dans une autre vie. Donc je me souviens juste de quelques bases.
Si je traine sur un forum de maths, c'est parce que c'est un truc que je comprends pas trop mal. En effet.

Et toi, tu es tellement premier degré que tu as senti le besoin de me dire que j'avais des compétences dans le domaine, pour me 'rassurer'.
Lol.
Sur l'exercice en question, normalement tu vas écrire sur ton cahier : 'Mauvais choix d'exercice, exercice pour les génies'.

OShine

Cet exercice est plutôt facile, les exercices difficiles j'ai besoin de 150 messages.