Petit problème de proba

bd2017

Bonjour

Soit  $ABCD$  un carré.  On choisit 3 côtés  disons $[AB]$, $[BC]$  et $[CD].$  Sur chacun des côtés on choisit un point aléatoire (loi uniforme)  de façon à obtenir un triangle  (que l'on nommera $MNP$). 

Quelle est la probabilité pour que le centre du carré soit à l'intérieur du triangle $MNP\ ?$

P.S  Je tiens à préciser que je ne suis pas un pro de la probabilité et que le sujet est issu de mon imagination. Je n'ai pas traité le problème, il se peut qu'il soit indigeste à résoudre. Mais au minimum on peut se contenter d'une simulation numérique

GaBuZoMeu

Bonjour,

Un petit moment de réflexion montre que la probabilité est 1/2 (sans calcul)

Julia Paule

D'accord avec ça.

bd2017

En effet c'est assez facile.  Alors je change la règle:  on choisit 2 points $M$ et $N$ sur  le même côté et le troisième point sur le côté d'en face.

La question est inchangée.

raoul.S

1/6 ?

Soc

1/3 ?

Julia Paule

Je dirais 3/8 (j'ai rectifié, j'avais fait une erreur).

raoul.S

Trois réponses et trois résultats différents...

Est-ce que quelqu'un peut départager sans ajouter un résultat supplémentaire ?

raoul.S

Je viens de revoir mon calcul et je me suis rendu compte que je n'avais traité que la moitié des "possibilités" par conséquent mon 1/6 est à multiplier par 2 et j'obtiens 1/3 comme Soc.

Calli

Bonjour,
Je trouve $\frac13$.

Titi le curieux

Bonsoir

Aussi, il faut faire un dessin pour voir qu'une fois les points de la première face posés, la probabilité devient dépendante de la distance entre eux (et après, intégrer comme un cochon).

Julia Paule

Je peux expliquer 3/8 : deux cas de figure selon que $M$ et $N$ se trouvent ou non du même côté de la moitié du côté (probabilités égales) :

- de part et d'autre : $P$ doit se trouver entre $M$ et $N$ (distance moyenne : 1/2) en face : probabilité 1/2.

- du même côté : probabilité = distance moyenne entre $M$ et $N$ : probabilité 1/4.

Cela fait : 1/2*1/2+1/2*1/4=3/8.

Quelqu'un peut expliquer 1/3 ?

Où est mon erreur ?

gebrane

@raoul.S mon ami permet moi de revenir au premier problème car je ne vois pas ce 1/2 mais à la place 1/4, alors je demande à @Julia Paule pourquoi elle est d'accord avec gabu. 
Mon raisonnement, je place les deux points M et N sur 2 cotés voir dessin et je trace les droites MO et NO et je note les points M' et N' voir dessin. Alors en fixant M et N, visiblement pour que O est dans le triangle MNP il faut placer le P dans la partie en bleu de mon dessin.
Question cette partie représente quoi " en moyenne" par rapport au périmètre du carré. Dans la situation où MO et NO sont perpendiculaires , , la partie bleue représente le 1/4 du périmètre du carré. Apres je ne sais pas conclure . 

Julia Paule

Merci @Titi le curieux, mon erreur vient de ce que j'ai fait une moyenne au lieu d'intégrer.

Julia Paule

Pour le 1er problème, placer $M$ n'importe où, puis $P$ en face. En fonction de la position de $P$ (en fonction de $M$), alors $N$ n'importe où fonctionnera.

gebrane

@Julia Paule si je remplace le carré par un cercle, tu trouve quoi comme proba ?

Julia Paule

Très vite parce qu'il est tard, je dirais que la probabilité est la distance moyenne entre 2 points sur le cercle (en prenant la plus petite des 2 !), si ce cercle a un périmètre de 1. Je dirais 1/4.

yawp

...

bd2017

Bonsoir

Je n'ai pas le temps de tout lire ce soir mais je vois que la bonne réponse est donné par @soc @calli.  C'est-à-dire que la proba est 1/3.    

Je ne sais pas  s'il y a un argument plus rapide mais  si on désigne par $x_1$  et $x_2$  les abscisses des points qui sont sur le même côté et $x_3$  l'abscisse du point opposé,  avec  des arguments de symétries  on voit que la probabilité cherchée est égale à  $P(x_3\in [\min(x_1,x_2), \max (x_1,x_2)] )$  Ce calcul de probabilité  est assez standard et on trouve $1/3.$ 

Comme une erreur de calcul est toujours possible, c'est confirmé numériquement.  

bd2017

Plus direct:  voici  la réponse donné par @Lou16.

 $x,y$ désignent les abscisses des points situés sur le même côté , $z$ celle du point situé sur le côté opposé et $p $ la probabilité cherchée.

Soit $\Delta = \Big\{ (x,y,z) \in [0;1]^3 \mid x\leqslant y, \: 1-y \leqslant z \leqslant 1-x \Big \} \cup \Big \{ (x,y,z) \in [0;1]^3 \mid y\leqslant x, \: 1-x \leqslant z \leqslant 1-y \Big\}.$

Alors: $ \quad p=\displaystyle \int_{\Delta} \mathrm dx \:\mathrm dy\:\mathrm dz = 2 \int _0^1 \mathrm dx \int_0 ^x\mathrm d y \int_{1-x}^{1-y}\mathrm dz = \dfrac 13.$

Titi le curieux

Re-bonsoir

  Pour le cercle, en considérant les trois points posés n'importe où sur le cercle, indépendamment les uns des autres et considérant une probabilité uniforme pour chaque point sur une "variable angle" (c'est mal dit, mais on se comprend... Enfin ... J'espère que ça se comprend):

J'ai $\frac{1}{4}$. L'astuce que j'ai utilisé : la probabilité que le troisième point soit dans la bonne zone est de $\frac{\alpha}{2\pi}$ où $\alpha$ est l'angle $xOy$ ($x$ place premier point, $y$ place premier point, $O$ centre du cercle), sachant qu'il ne s'agit pas d'un angle orienté (probabilité uniforme sur  son domaine de définition: $[0,\pi]$). Bref, ça revient à intégrer x/2 sur [0,1].

@Julia Paule De rien, j'aime bien partager les astuces, parce que de mon côté, je trouve rageant qu'on me dise que quelque chose est évident et que je ne sais pas pourquoi.

bd2017

Pour le premier problème c'est plus immédiat:  Le centre du carré  est dans le triangle ssi  les  2  points qui  sont sur les côtés opposés  (chaque côté du carré   étant identifié à  [0,1]  ) ont une moyenne inférieure à $1/2$      (ou supérieur à 1/2 cela dépend du troisième côté choisi).  La proba est donc bien 12.  

gebrane

Merci a tous, c'est instructif. Je ne pratiquais pas les probas géométrique.  Ce fil est un tutoriel

bd2017

bd2017

Bonjour

Voici comment trouver $1/3$  sans calculs. On désigne $M N P$  le triangle aléatoire en question.  Soit $O$  le centre du carré  $M''$ et $N''$  les  symétriques respectifs de $M$ et $N$ par rapport à $O$ .  On voit  que $O$ est dans $MNP$  ssi $P$ est entre $M''$ et $N''$.  Par symétrie les  points $M''$ et $N''$ suivent la même loi uniforme que $M$  et $N.$ 

Donc si on désigne par $x_1$ la position de $M'',$ $x_2$ la position de $N''$  et $x_3$ la position de $P,$ la probabilité cherchée est la probabilité d'avoir

"$x_3$ entre $x_1$ et $x_2.$"   C'est à dire il faut calculer $Proba( x_3 \in [\min(x_1,x_2) ,\max (x_1,x_2) ] ).$

En exercice on peut s'amuser à faire les calculs :  calculer la loi de $\min(x_1,x_2)$, ... c'est assez standard...  et trouver $1/3$.

Sinon, sans calculs :  nous avons trois points  $M'',N''$ et $P$  positionné sur $[0,1]$  aléatoirement selon la même loi et de façon indépendante:

Alors la probabilité que l'un d'entre eux soit entre les deux autres ne dépend pas de ce point.  D'où la proba ''d'avoir $P$ entre $M''$ et $N''$ égale à $1/3$.

GaBuZoMeu

Un moment de réflexion (un peu plus long que pour la première question) convainc que c'est l'espérance de la distance entre deux points "pris au hasard" sur le segment unité : la somme des volumes de deux pyramides de hauteur 1 et de base un demi-carré unité.

Soc

Pour le premier problème, le point de départ est de comprendre qu'un des points n'a aucune influence. Ensuite on prend le symétrique d'un des deux restants par rapport au centre du carré et on regarde si le troisième point est "avant" ou "après" ce symétrique. Pour finir on calcule $ P = \int_0^1 t dt = \dfrac12$. Ou de façon plus élégante on invoque des arguments de symétrie (comme le calcul de volume proposé par Lou16).

Pour le deuxième problème, on prend le symétrique du point seul et on veut que les deux autres soient de part et d'autre de ce symétrique. Pour finir on calcule $ P = \int_0^1 t(1-t) dt = \dfrac13$. Ou de façon plus élégante on invoque des arguments de symétrie.

Pour le troisième problème (le cercle) on place 2 sommets n'importe où sur le cercle, et le troisième doit alors être sur le symétrique, par rapport au centre, du plus petit arc de cercle défini par les deux premiers. Cela revient à prendre n'importe qui pour le premier, puis le deuxième sur un demi-cercle d'extrémité le premier, puis le dernier entre les deux premiers sur ce demi-cercle. Pour finir on calcule $ P = 2 \int_0^{1/2} t dt = \dfrac14$. J'imagine que là aussi on a de beaux arguments de symétrie pour conclure sans calculs, mais pour l'instant ils m'échappent...

Julia Paule

Alors, il est inutile de faire aucun calcul, puisque :

- pour le 1er problème : étant donné deux points $M$ et $P$ situés au hasard sur un segment, la probabilité que $M$ soit situé plus près que $P$ d'une extrémité donnée du segment étant la même que celle où il est situé plus loin, cela fait $1/2$,

- pour le 2ème problème : étant donné trois points $M$, $N$, $P$ situés au hasard sur un segment, la probabilité que $P$ soit situé entre $M$ et $N$ étant d'1/3, cela fait $1/3$,

- pour le 3ème problème : étant donné trois points $M$, $N$, $P$ situés au hasard sur un cercle, on place $M$ au hasard sur le cercle et on partage le cercle par le diamètre issu de $M$ ; il faut que $N$ et $P'$ le symétrique de $P$ par rapport au centre soient situés sur le même 1/2 cercle (proba : 1/2) avec $P'$ entre $M$ et $N$ (proba : 1/2), cela fait 1/2*1/2=$1/4$.

gebrane

OK bon remplacer le  cercle par une sphère, faut-il faire les calculs ?

Julia Paule

On doit pouvoir s'en sortir sans calcul, par le même type de raisonnement.

GaBuZoMeu

Précise ton énoncé, gebrane.

bd2017

Bonjour Pour le 3ème problème la probabilité vaut  $1/4$.  Pour s'en convaincre, il suffit de faire le calcul qui n'est pas bien compliqué:

Chaque point $M$ (resp. , $N, P$)  est  repéré par l'angle $x$ (resp. , $y, z$) qu'il forme  avec le demi-axe Ox.  Choisir un point sur le cercle correspond à choisir l'angle qui lui  correspond de façon uniforme  sur $[0, 2\pi].$ Vu la question  et comme dit plus haut, on peut supposer que $x=0,$  $y\in [0,\pi]$  et  $z\in [0,2\pi].$   O est dans le triangle $MNP$  ssi $z\in [\pi, \pi+ y].$

Puisque $y$ et $z$ sont indépendants, le couple $(y,z)$  suit la loi uniforme sur le rectangle $[0, \pi] \times [ 0 , 2 \pi].$

Il reste à faire un petit dessin  pour représenter l'ensemble des  $z\in [\pi, \pi+ y]$  qui sont dans le rectangle $[0 ,\pi] \times [ 0 , 2 \pi]$ et c'est facile de voir que cet ensemble est un triangle dont l'aire est le quart de l'aire  du rectangle $[0, \pi] \times [ 0 , 2 \pi]$. La proba cherchée est bien égale à $1/4.$

Julia Paule

@bd2017, je ne vois pas comment représenter le rectangle.

Le problème de @Gebrane, je suppose que c'est :

Etant donnés $4$ points $M, N, P, Q$ sur une sphère, quelle est la probabilité que le centre de la sphère soit situé à l'intérieur du tétraèdre de sommets les $4$ points.

Julia Paule

@bd2017 Ah c'est ok pour le rectangle et le triangle, joli.

GaBuZoMeu

Surgénéralisons : soit $S^n$ la sphère standard de dimension $n$. On prend $n+2$ points $A_0,\ldots,A_{n+1}$ au hasard sur $S^n$. Quelle est la probabilité pour que le centre de $S^n$ soit à l'intérieur du simplexe $[A_0,\ldots, A_{n+1}]$ ?

Pour $n=0$ : $1/2$

Pour $n=1$ : $1/4$

Pour $n=2$ : ?

Julia Paule

....

GaBuZoMeu

Allons, voyons, pour $n=2$ c'est $1/8$ bien sûr !

Serait-ce $2^{-n-1}$ pour tout entier $n$ ?

bd2017

Rebonjour Pour la sphère je pense que c'est 1/8 mais un calcul me semble difficile mais ici j'ai triché puisque le problème existe déjà sur internet

https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84&ab_channel=3Blue1Brown.

GaBuZoMeu

Pas besoin de calcul, il suffit de connaître la formule qui donne l'aire d'un triangle sphérique en fonction de ses angles.

gebrane

Une de ma copine qui ne se trouve ni sur le net ni dans les livres ni dans les forums

Deux points sont choisis 
au hasard dans un carré unité.
 Quelle est la probabilité que 
le cercle formé à partir du 
diamètre des 2 points contienne
 le centre du carré ?

GaBuZoMeu

@gebrane : 1/2, bien évidemment.

gebrane

Oui exact

Soc

Julia Paule a dit :

- pour le 3ème problème : [...] il faut que $N$ et $P'$ le symétrique de $P$ par rapport au centre soient situés sur le même 1/2 cercle (proba : 1/2) avec $P'$ entre $M$ et $N$ (proba : 1/2), cela fait 1/2*1/2=$1/4$.

Merci, je ne sais pas pourquoi je me compliquais la vie sur ce calcul.

@GaBuZoMeu : A-t-il déjà été au programme du secondaire que les points à l'intérieur du cercle font un angle obtus avec les extrémités du diamètre et ceux à l'extérieur un angle aigu?

gerard0

Bonjour Soc.

"A-t-il déjà été au programme du secondaire que les points à l'intérieur du cercle font un angle obtus avec les extrémités du diamètre et ceux à l'extérieur un angle aigu ?"

C'était classique au siècle dernier jusque vers 1970 (*).

Pour le point M intérieur au cercle de diamètre [AB], on utilisait le point où la demi-droite [AM) coupe le cercle. Même idée pour le point extérieur (un peu moins évident, il fallait savoir que [AM] ou [BM] coupe le cercle.

Cependant, la géométrie n'était évidemment qu'en partie axiomatisée.

Cordialement.

(*) on a fortement abandonné la géométrie synthétique avec les "maths modernes", sans vraiment y revenir même après 1980.

lourrran

Tous ces exercices sont ils des exercices de probabilités, de géométrie, d'analyse, d'autre chose ?

gebrane

Version 3 de la question initiale de @bd2017

3 points sont choisis au hasard le long du contour du carré pour former un triangle  non vide  ( les points ne doivent pas se placer sur un même coté). Quelle est la probabilité que  le triangle  contient le centre  du carré ?

Soc

@gerard0 : Merci! je suis passé après j'ai dû découvrir ça seul sans jamais l'avoir vu utilisé, ici pour une fois ça sert!

@gebrane: Un barycentre bien choisi de 1/2 et 1/3 Je dirais 6 pour 1/2 et 9 pour 1/3 ce qui donnerait 2/5 ?

Titi le curieux

Soc a dit :

@gebrane: Un barycentre bien choisi de 1/2 et 1/3 Je dirais 6 pour 1/2 et 9 pour 1/3 ce qui donnerait 2/5 ?

Salut... pas tout à fait, il faut aussi prendre en compte le cas où 2 points sont sur le même côté et le troisième sur un côté adjacent (auquel cas le triangle ne contient pas le centre du carré). J'ai pu faire une erreur, mais j'ai comme coefficient 2 pour 0, 1 pour 1/3 et 2 pour 1/2, ce qui fait 4/15.

gebrane

$\cancel{Les\, deux\, réponses\, sont\, fausses}$

bd2017

Bonjour

Je trouve que la proba= $5/24$  (si j'ai bien compris l'énoncé)

GaBuZoMeu

La réponse 4/15 est correcte, si l'énoncé est bien "sachant que le triangle formé n'est pas aplati".

Sans le "sachant que", la probabilité est 1/4.