Spirale d'Anna Kinzler
Bonjour
$ABCDE $ un pentagone régulier convexe,
$R $ le rayon du cercle circonscrit à ce pentagone.
Montrer que la spirale rouge constituée d'une infinité de segments est de longueur
$R\times \sqrt {11\varphi +7}$, avec $\varphi $ le nombre d'or.
Ce problème est donné Anna Kinzler. [*** Modéré, propos sans rapport. AD]
$ABCDE $ un pentagone régulier convexe,
$R $ le rayon du cercle circonscrit à ce pentagone.
Montrer que la spirale rouge constituée d'une infinité de segments est de longueur
$R\times \sqrt {11\varphi +7}$, avec $\varphi $ le nombre d'or.
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Réponses
J'ai déjà vu passer un calcul du même genre sur le forum et j'ai procédé de la même façon. Mais je n'ai pas regardé en fonction du rayon car cela fait davantage de calculs ! J'ai pris $AB=1$. La figure ci-dessous montre que la longueur de la spirale est solution de l'équation : $$x = \frac{x}{\varphi^{4}} +\varphi + 1 + \frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi^{2}},$$ c'est-à-dire : $$x = \frac{x}{\varphi^{4}}+ \frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} + 5 \right).$$
Pour ce pentagone la longueur de la spirale est $2+\sqrt{5}$.
Ces derniers temps je n'ai pas trop le temps de faire des maths
[*** Modéré. Propos sans rapport avec les maths de la discussion. AD]
Ci -dessous tu as des calculs qui servent pour obtenir ce résultat
Je les avais posté sur maths-forum comme azf (usine azf ça doit te dire un truc) [*** Modéré. Propos sans rapport avec les maths de la discussion. AD]
une autre approche est de constater que deux segments consécutifs de la spirale sont dans un rapport 1/phi . On a donc une suite géométrique de raison phi - 1 . En final la longueur de la spirale est A0 (1+phi) avec A0 la longueur du premier segment
Cordialement