Petit exercice de probas

bd2017

Bonsoir

Le problème est équivalent à tirer 2 cartes sans remise l'une après l'autre dans le paquet des  32 cartes.

On  aura gagné si :  "on a tiré un As en premier et la deuxième n'importe quoi "   ou  " on n'a pas  pas tiré d'As en premier et un As  en second"

D'où $p=1/8+7/8 \times  4/31  =59/248=0.237..$

Soc

@gebrane Le deuxième tirage n'est pas indépendant du premier car il y a une carte en moins. Si tu fais (7/8)x(ce qu'il faut)  tu auras la bonne réponse.

lourrran

Si je tire le 7 de pique au premier tirage, quelle est la probabilité que je le tire une 2ème fois ?
Et donc l'indépendance des 2 tirages ...

lourrran

oups

gebrane

J m'étais convaincu de l'indépendance de la façon suivante. Je calcule P(avoir un non As dans P1)$\cap$( Un non As dans P2),
cela donne  P(avoir un non As dans P1).P(avoir un non As dans P2)|(avoir un non As dans P1)) ( proba conditionnelle)  et je m'étais confiant de dire que 
P(avoir un non As dans P2)|(avoir un non As dans P1))=.P(avoir un non As dans P2) car dans mon esprit tirer une carte dans P2 n'est pas influencé du fait de tirer   une carte dans P1
*
Mon erreur de raisonnement vient du fait que je n'avais pas fait attention au caractère aléatoire des boites P1 et P2  qui stipule que tirer une carte dans P1 va influencer le tirage dans P2

edit j'ai corrigé des coquilles d'un copier coller

lourrran

La carte tirée dans P1 n'influence pas la carte qu'on va tirer dans P2, elle nous informe sur le contenu de P2.
Cette histoire de P1 et P2, c'est un leurre.
Tu as un tas avec 32 cartes et basta. Ou mieux, tu as 32 cartes étalées en vrac sur la table. Tu peux visualiser des lignes sur la table, qui vont diviser les cartes en 2 groupes de 16, ou 4 groupes de 8, ou 32 groupes de 1 ... ces lignes ne vont rien changer aux résultats.

gebrane

Je donne un problème clair sans pièges d'interprétations. On a  un jeu de 32 cartes, je tire une carte au hasard, puis je lance aussitôt une pièce de monnaie. si pile je mets la carte dans une boite P1 et si face je met la carte dans une boite P2. Je continue l'expérience pour les 32 cartes. je fais comme   bd, on  tire une carte dans P1.  Cette carte est soit un AS  ou  n'est pas un AS. Si c'est un As on dira qu'on a gagné. Sinon  on a une seconde chance, c'est de tirer une carte dans P2. Si cette seconde carte est un AS  c'est gagné, sinon c'est perdu.  Donc quel est la proba de gagner?

lourrran

Tu tires une carte dans le premier tas.
La proba que ce soit l'as de pique, ou le 7 de carreau ou le Valet de trèfle ou ... , c'est la même. Et la somme des 32 probas donne 1.
Donc chaque carte a une proba de 1/32
La première carte que tu tires est par exemple le 7 de pique.
Tu tires donc une carte dans le 2ème tas.
On sait que cette 2ème carte n'est pas à nouveau le 7 de pique, et c'est tout ce qu'on sait. 
La proba que cette carte soit l'as de pique, ou le 7 de carreau ou le Valet de trèfle ou ... , c'est la même. Et la somme des 31 probas donne 1.
Donc chaque carte a une proba de 1/31.

Si au lieu de lancer une pièce et de faire 2 tas, tu avais lancé un dé, et tu avais fait 6 tas, le raisonnement serait le même.

bd2017

Bonjour

Concernant l'exercice modifié par @Gebrane la réponse ne change pas.  C'est à dire que $P(G)=\dfrac{59}{248}.$  

gebrane

@bd2017 C'etait le but mais avec un énoncé clair (A mon avis)

gebrane

@bd2017 C'etait le but mais avec un énoncé clair (A mon avis)

lourrran

L'énoncé initial était déjà clair.

Voici un autre énoncé, très similaire : 
On a  un jeu de 32 cartes, je tire une carte au hasard, puis je lance aussitôt une pièce de monnaie. si pile je mets la carte dans une boite P1 et si face je met la carte dans une boite P2. Je continue l'expérience pour les 32 cartes. je fais comme   bd, on  tire une carte dans P1.  Cette carte est soit un AS  ou  n'est pas un AS. Si c'est un As on dira qu'on a gagné. Sinon  on a une seconde chance, c'est de tirer une carte dans P1 à nouveau. Si cette seconde carte est un AS  c'est gagné, sinon c'est perdu.  Donc quel est la proba de gagner ?

C'est la copie conforme de ton énoncé, j'ai juste remplacé P2 par P1 tout à la fin (en gras).

Et la réponse est toujours la même. C'est pour ça que je parle de leurre. Il y a tout un processus pour faire différents tas, etc etc ... et ce processus n'impacte absolument pas la réponse, ni le raisonnement. Si la pièce est truquée et qu'elle sort Pile 8 fois sur 10, ou même 10 fois sur 10... ça n'impacte pas le raisonnement, la pièce ne sert à rien.

Au pire (ou au mieux ?), cette répartition en 2 tas, ça rend l'expérience infaisable si par le plus grand des hasards, un des 2 tas est vide, on ne peut donc pas tirer une pièce dans chaque tas.

gebrane

Continuons notre amusement.

Un diner regroupant Bd, gebrane Lourrran et Soc.

Pour commencer la soirée,  gebrane assis prés de bd  tire  4 cartes d'un jeu de 32 cartes et demande à Lourrran et Soc quelle est la probabilité que les 4 cartes sont soient toutes des rois.  @bd2017 étant à coté de gebrane (ajout pour préciser  il a vu les cartes tirées par gebrane), il chuchote à  l'oreille de  @lourrran que la main de gebrane contient au moins un cœur.
Quelle doit être la réponse de @lourrran si le tirage est avec remise et la réponse de @Soc si le tirage est sans remise 

Les questions ne sont pas destinées exclusivement à Lourrran ou Soc
Merci Lourrrain, une partie du texte a disparu par une mauvaise manipulation 

lourrran

Je suis certainement trop terre à terre.
Bd2017 donne une info à Lourrran, 
Avec cette info, Lourrran doit répondre à une question.
Mais à quelle question ?

gebrane

@lourrran une partie du texte a disparue. Merci

gerard0

Bonjour Gebrane.

Même avec ce texte, la réponse de Lourran à Gebrane est-elle la réponse à Gebrane ("quelle est la probabilité que les 4 cartes sont soient des rois ") ou la réponse à Bd2017 modifiant l'énoncé ?

La réponse à la question de Gebrane n'a aucun lien avec ce qu'il y a effectivement dans sa main, elle ne dépend que du jeu (32 cartes, 52, 54, ..) et de la façon de tirer les 4 cartes (hasard, choix volontaire ...).

C'est très confus !!

Cordialement.

ggg

gerard0 bonsoir, je ne comprends pas  ton confus ta confusion. La question est claire.

ggg

il ya un probleme , car mon pc s'est connecté avec le pseudo ggg

Soc

Sans remise: $ \dfrac{1}{C_{32}^{4}} \approx 2,780.10^{-5}$

Avec remise: $\Big(\dfrac{1}{8}\Big)^4 \approx 2,441.10^{-4}$

gebrane

Les deux sont  justes  (même si j'ai demandé  uniquement le cas d'un tirage sans remise pour Soc)

gebrane

@gerard0 Que doit être la réponse de lourran?

lourrran

Dans un tirage de cartes, quand on parle de 'main', on est clairement dans un contexte de tirage sans remise.
On a les 4 cartes dans la main, en même temps. Par principe, je refuse de répondre à la question 'tirage avec remise' dans ce contexte.
Si j'ai l'info que la main de Gebrane contient au moins un coeur et si le tirage est SANS remise, alors la proba que cette main contienne les 4 rois est $3,947.10^{-5}$
Volontairement, je donne le résultat numérique, et non la formule.

gebrane

@lourrran main pour dire la main de gebrane ou si tu préfères entre les doigts de gebrane. 
Le but de la soiree est de s'amuser avec des questions sur les probas. 

Ajout Je n'ai pas un moyen la où je suis pour avoir une valeur numérique

gebrane

@lourrran Je donne mon raisonnement pour voir si c'est juste ou faux. La question est ce que l'info donnée par bd à lourrran est utile ou non . Soit X le nombre de rois et Y le nombre de cœurs dans la main de gebrane. On cherche ( ok pour un tirage sans remise)

$$ P((X=4)|(Y\ge 1))=\frac{P((X=4)\cap (Y\ge 1))}{P(Y\geq 1)}=\frac{P(X=4)}{P(Y\geq 1)}=\frac{P(X=4)}{1-P(Y=0)}$$ car $(X=4)\subset (Y\ge 1)$  (Si les 4 cartes sont des rois, forcement il y a un cœur parmi ces carte. Donc  $$1\over (1-\binom {24}{4})$$

Une coquille soulevé par @lourrran , j'ai oublié de diviser par $\binom{32}{4}$. Donc à lire 
$$\frac 1{\binom{32}{4}}\over (1-\frac{\binom {24}{4}}{\binom{32}{4}})$$

gerard0

Gebrane,

je disais que c'est confus car Soc a répondu à la "question de Gebrane" ("quelle est la probabilité que la main de 4 cartes contienne 4 as") et toi tu réponds à la question "quelle est la probabilité que la main de 4 cartes contienne 4 as sachant qu'elle contient au moins un cœur". Autrement dit, tu (Gebrane) ne réponds pas toi-même à la question de Gebrane.

L'information donnée par Bd2017 ne change pas la question posée !! Tu fais une confusion classique entre probabilité à priori et probabilité conditionnelle.

Cordialement.

lourrran

Je regarde juste la toute dernière ligne, la formule que tu donnes donne une proba négative.

gebrane

Bonjour,
Merci @lourrran , j'ai corrigé la coquille  ( c'est le même résultat numérique que toi)
@gerard0 Puisque tu parles des AS je vais tenter d'expliquer la question :

gebrane tire 4 cartes et bd assis à coté de gebrane a vu  au moins un coeur tiré  par gebrane , il a passé cette information à lourrain et non pas à Soc: parmi les cartes tirées, il y a au moins un cœur  . Pour laurrran et Soc l'expérience est aléatoire ( Ils ne connaissent pas les  4 cartes tirés). Gebrane pose la question  ; quelle est la proba d'obtenir 4 rois dans mon expérience 

Soc

Réponse Lourrran:

Sans remise: $ \dfrac{1}{C_{32}^{4}-C_{24}^{4}}\approx 3,947.10^{-5}  $

Avec remise:  $ \dfrac{4^4}{32^4-24^4} \approx 3,571.10^{-4} $ (fausse)

Avec remise, version corrigée après la remarque de Lourran: $ \dfrac{4^4-3^4}{32^4-24^4} \approx 2,441.10^{-4} $

gerard0

Effectivement, c'est des rois, pas des as.

La question n'a toujours pas de sens ! S'agit-il de répondre à la question de Gebrane ? Où, si tu préfères, s'agit-il de répondre à la question "quelle est la probabilité à priori qu'il ait tiré 4 rois ?"

En fait, ton habillage pseudo-concret a comme résultat qu'on ne sait pas quelle est la question de probabilité qui est posée ! D'ailleurs, malgré les réécritures, tu ne poses à chaque fois qu'une seule question alors que tu attends deux réponses !!

Pire que ça, tu continues manifestement à confondre deux lois de probabilités ("à priori" et "sachant que") puisque tu poses la même question (une seule) pour deux situations différentes.

En fait, les bonnes questions sont

* " quelle est la proba d'obtenir 4 rois dans mon expérience " ?

* " quelle est la proba d'obtenir 4 rois dans mon expérience sachant que j'ai au moins un cœur ?

Et derrière, la vraie question : Savoir qu'il y a un cœur dans les 4 cartes change-t-il la probabilité d'avoir les 4 rois ?

90% des problèmes des "probas concrètes" viennent du flou des énoncés.

Cordialement.

gebrane

Ok avec Soc.
Gerard0 tu es le seul qui  trouve l'énoncé dépourvu de sens ,  je continue la soirée et une question pour gerard0 (le but n'est pas de piéger quiconque mais de discuter). gebrane tire 13 cartes d'un jeu de 52 cartes.  Quelle est la probabilité que la main de gebrane  contienne au moins 3 cartes de chaque couleur ? 

Soc

$ \dfrac{4.C_{13}^{4}.(C_{13}^{3})^3}{C_{52}^{13}}$

gebrane

Soc j'ai changé le jeu de 32 cartes en un jeu classique de 52 cartes 

Soc

oups. modifié! Comment fait-on pour cacher un spoil dans ce forum ?

gebrane

par l'option révéler .

Soc

Merci, je ne la trouvais pas!

gebrane

Tu cliques sur q  en haut du tableau des commandes et tu vas trouver révéler en bas , exemple 

Bonjour gerard, es-tu d'accord avec la réponse de Soc ?

lourrran

@Soc , @gebrane
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2378363/#Comment_2378363

Gebrane, tu as dit que tu étais d'accord avec cette réponse de Soc.

Pour la 1ère réponse, je suis forcément d'accord, mais pour la 2ème, je ne suis pas d'accord du tout.

gebrane

Pas de problème @lourrran, le but est d'en discuter . 
Es-tu ok que la proba cherchée est $\frac{P(X=4)}{1-P(Y=0)}$ ? 
NB Soc répond à la question posée à lourrran\frac 
Si tu es Ok, puisque le tirage est avec remise X suit la loi binomiale $B(4,\frac 4{32})=B(4,\frac 18)$ et Y suit la loi binomiale $B(4,\frac 8{32})=B(4,\frac 14)$, donc $P(X=4)= (\frac 18)^4$ et $P(Y=0)= (\frac 34)^4$

Soc

lourrran a dit :

Pour la 1ère réponse, je suis forcément d'accord, mais pour la 2ème, je ne suis pas d'accord du tout.

Tu as raison, je n'ai pas traité le fait que les 4 rois pouvaient ne pas contenir le roi de coeur, donc il faut enlever $3^4$ au numérateur.

lourrran

Commençons par vérifier qu'on répond à la même question.
Gebrane prend 4 fois de suite une carte dans un jeu classique de 32 cartes. Tirages avec remise.
Donc Gébrane prend une carte, il note ce que c'est sur une feuille de papier.
Il remet la carte dans le tas. Et il répète l'opération.

$\frac{P(X=4)}{1-P(Y=0)}$
Cette formule est elle correcte ?  Je ne pense pas.

Dans les exercices 'compliqués', il y a parfois des questions intermédiaires qui guident vers la réponse finale.
Je te propose cette question intermédiaire.
Gébrane prend 4 fois de suite une carte dans un jeu classique de 32 cartes. Tirages avec remise.
La première carte qu'il a tirée était un coeur.
Quelle est la probabilité que les 4 cartes soient 4 rois ?

gebrane

@Soc es-tu ok avec ce que j'ai raconté dans https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2378380/#Comment_2378380

Soc

Non, tu ne tiens pas compte du fait qu'il faut éliminer les mains de 4 rois ne contenant pas le roi de coeur.
Au passage, toutes ces questions sont plus simples et plus claires à traiter en faisant du dénombrement plutôt qu'en manipulant des lois de probabilités qui n'apportent pas grand chose ici.

gerard0

"Gerard0 tu es le seul qui  trouve l'énoncé dépourvu de sens ". Plus exactement, je suis le seul qui l'ait dit. Il est vrai que j'ai fait ma formation en probas en corrigeant des corrigés d'examens de fac, donc les interprétations, ça me connaît.

Ton exercice sur la main de 13 cartes correspond à ce qu'on demandait au bac C quand j'y enseignais. L'ordre n'intervient pas, donc les cas possibles sont des combinaisons de 13 des 52 cartes. Pour avoir au moins 3 cartes de chaque couleur, il faut une répartition 4/3/3/3; on commence par choisir la couleur à 4 cartes (4 possibilités), puis 4 cartes dans cette couleur (715) possibilités, puis 3 dans une deuxième (286 possibilités) et dans une troisième (286) et la quatrième (286) ce qui donne, ces choix étant indépendants, 66905856160 possibilités d'où une probabilité de $\frac{836323202}{7937669495}$. Ce qui fait quand même un peu plus d'une chance sur 10. Les bridgeursde haut niveau savent ça par cœur.

Cordialement.

NB. Je sais faire ce genre d'exercice pour lycéen, je n'y trouve aucun plaisir.

lourrran

Une proba, c'est : nombre de cas favorables / cardinal de l'univers.
C'est la seule formule à retenir. La formule sur les probas conditionnelles est redondante avec ça. Il suffit juste de bien définir l'univers, et la liste des cas favorables.

PS : gebrane, ne modifie pas tes messages alors qu'on a déjà répondu. Ca devient illisible.

gebrane

Bonne question de @lourrran.  vérifier qu'on répond à la même question.  

Dans mon esprit voici la question en oubliant les personnages 
4 cartes sont tirées au hasard  d'un jeu de  32 cartes. Au moins l'une est un cœur . Quelle est la probabilité qu'ils soient toutes des rois ?

lourrran

@gebrane
De la rigueur, de la précision SVP
4 cartes sont tirées au hasard, avec remise.
etc etc ...

@Soc
Dans la formule corrigée,  $\frac{4^4-3^4}{32^4-24^4} $, on remarque qu'on peut factoriser le dénominateur : $32^4-24^4=8^4 (4^4-3^4)$
Et donc simplifier la fraction , et obtenir $\frac{1}{8^4} $

Tiens, ça se simplifie drôlement bien ; serait-on passé à côté d'un autre raisonnement qui nous aurait amené plus directement à ce  $\frac{1}{8^4} $ ?

gebrane

@lourrran Mon dernier texte je pense est précis ( à considère le cas d'un tirage sans remise et un tirage avec remise)
Je ne comprends pas ce refus de ma formule 

Soc

...enlever tous les cœurs du paquet. Mais en ayant oublié qu'il était possible d'avoir 4 rois sans avoir de cœur, je ne pouvais pas partir dans cette direction.

gebrane

Soc

gebrane a dit :

 $(X=4)\subset (Y\ge 1)$ Si les 4 cartes sont des rois, forcement il y a un cœur parmi ces cartes.

Pas dans le cas du tirage avec remise.

Par contre dans le cas du tirage sans remise c'est juste (mais pas du tout la façon la plus simple de traiter l'exercice).