La topologie de Vietoris

Martial

Bonjour à tous,

Je ne sais trop où poser cette question, car elle relève à la fois de la théorie des ensembles et de la topologie. Si un modérateur juge utile de déplacer ce fil dans la rubrique "Topologie" je n'y verrai pas d'inconvénient.

Alors voilà le truc. Je travaille actuellement sur "Positive Set Theory", qui est une théorie alternative des ensembles dans laquelle, pour éviter le paradoxe de Russell, on s'abstient d'utiliser des négations dans les extensions de formules. En d'autres termes on restreint le schéma de compréhension à une collection de formules appelées "generalized positive formulas". Il y a 3 variantes de cette théorie : GPK, GPK$^+$ et GPK$_\infty^+$. Le spécialiste mondial de ces questions est un certain Olivier Esser, de l'Université libre de Bruxelles. Il a écrit un livre en 2004 : "Une théorie positive des ensembles". Mais très vite on s'oriente sur les motivations topologiques de cette théorie, qui est parfois qualifiée de "théorie topologique des ensembles". Et là je n'arrive plus à suivre, par manque de connaissances.

Il y est question d'espaces $\kappa$-topologiques et de $\kappa$-hyperunivers. Si j'ai bien compris, on se donne un cardinal $\kappa > \omega$, et un espace $\kappa$-topologique c'est comme un espace topologique, dans lequel on a remplacé la condition "toute intersection finie d'ouverts est un ouvert" par "toute intersection de $< \kappa$ ouverts est un ouvert". De même, un espace est $\kappa$-compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement de cardinalité $< \kappa$. La définition des $\kappa$-hyperunivers (qui, en gros, sont les modèles de GPK$^+$) n'est pas très claire, mais je pourrais à la rigueur la comprendre si je savais ce qu'est la topologie de Vietoris.

A noter que les bribes d'informations que j'ai trouvées sur Internet au sujet de la topologie de Vietoris et les hyperunivers sont pour ainsi dire incompréhensibles.

Quelqu'un est-il aware of these questions ?

Merci d'avance

Martial

Thierry Poma

@Martial : bonjour. J'espère que tu vas bien. Aurais-tu le livre en ta possession, s'il te plait ? Pour ma part, j'ai téléchargé deux articles écrits par ledit auteur.

Martial

Salut Thierry,

Oui je possède ce livre. Je dois avoir aussi tous les papiers écrits par Olivier Esser, sauf sa thèse de 1997 qui semble introuvable.

Mais c'est comme quand tu veux bricoler dans ta maison : c'est bien d'avoir le matos, c'est encore mieux de savoir s'en servir. Pour l'instant je suis un mauvais ouvrier avec du bon matos.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Ce qu'on peut trouver sur internet en cherchant "Vietoris topology" ne semble pas avoir grand chose à voir avec ce que tu racontes par ailleurs :

https://math.stackexchange.com/questions/2159322/vietoris-topology

Thierry Poma

@Martial : je trouve cette thèse clairement rédigée. Je ne peux pas m'y investir pour l'instant. Ne serait-ce pas une théorie qui s'inscrit dans la lignée de celle de Skala ?

Martial

@Thierry Poma : Merci pour cette thèse. Je vais sans doute devoir faire un détour par là avant d'entrer vraiment dans le vif du sujet.

Non, à ma connaissance il n'y a aucun lien entre GPK et Skala. GPK$_\infty^+$ aurait plutôt tendance à se rapprocher de ZF et MK (Morse-Kelley). Si je vois bien les choses Fackler décrit dans sa thèse une théorie qui est impliquée à la fois par ZF et par GPK$_\infty^+$. De plus, Esser démontre (mais c'est du sport) que GPK$_\infty^+$ est mutuellement interprétable avec MK + "la classe des ordinaux est faiblement compacte", cette hypothèse étant située juste en dessous de "il existe un cardinal faiblement compact".

GaBuZoMeu

Quid de la "topologie de Vietoris" ???? Que vient-elle faire dans l'histoire ?

Martial

@GaBuZoMeu : j'étais tombé moi aussi sur la même discussion. Mais de fait il y a quand même un rapport. En fait ce qui se passe c'est que si $M$ est modèle de GPK$^+$, alors $Exp(M)$, i.e. la collection de toutes les classes (propres ou impropres) de $M$ peut être vu comme un espace topologique. Dans GPK$^+$ tu as un schéma de clôture, qui dit que pour toute classe, il existe un plus petit ensemble qui contient cette classe. On l'appelle la clôture de $A$, et on le note $\overline{A}$. (On n'est plus du tout dans un paradigme à la ZF, une sous-classe d'un ensemble peut être une classe propre). On a clairement $\overline{\overline{A}} = A$, et on dit qu'une classe est fermée si elle est égale à sa clôture. Donc en fait une classe $A$ est fermée ssi c'est un ensemble.  Par ailleurs il est facile de voir que $\emptyset$ et $V$ sont fermées (car $V$ est un ensemble), que la réunion de deux classes fermées est fermée, et que l'intersection des classes fermées de n'importe quelle classe est fermée. Donc les classes fermées se comportent "un peu comme" les fermés d'un espace topologique.

Thierry Poma

@Martial : je te partage ce document, où l'on peut y voir ceci : Skala’s set theory, topological models.

Martial

@GaBuZoMeu toujours : je te recopie la définition que donne Esser de la topologie de Vietoris. Peux-tu me dire si tu y vois un rapport avec ce que raconte le type sur stackexchange ? (ce n'est pas flagrant) :

"La $\kappa$-topologie de Vietoris sur l'ensemble $\mathscr P_{cl} X$ des sous-ensembles fermés d'un espace topologique $X$ est la $\kappa$-topologie ayant comme sous-base des ensembles fermés les ensembles suivants : $\square(a)= \mathscr P_{cl} X \cap \mathscr P(a)$ et $\diamondsuit(a)=\{c\in \mathscr P_{cl} X : c \cap a \neq \emptyset\}$ pour chaque ensemble fermé $a$ de $X$".

Question préliminaire : c'est quoi une sous-base des ensembles fermés ? Une base je devine : c'est une famille $B$ de fermés telle que tout fermé peut être obtenu comme intersection d'un nombre (fini ou infini) de fermés de $B$. Mais une sous-base ?

Thierry Poma

@Martial : pour une sous-base, voir la thèse, page 7.

Martial

@GaBuZoMeu : nos posts se sont croisés. La topologie de Vietoris sert à définir les $\kappa$-hyperunivers, qui eux-mêmes sont en quelque sorte des modèles "canoniques" de GPK$^+$. Mais pour l'instant je suis dans le flou artistique le plus total.

@Thierry Poma :  Ah oui, effectivement, il semble y avoir des liens. En tous cas merci pour ce papier.

Martial

@Thierry : Merci pour cette indication. Si je comprends bien, la différence est la suivante : si $b$ est une sous-base, il faut d'abord prendre les intersections finies des éléments de $b$ pour construire une base $B$. C'est comme pour les pré-bases de filtre. Mais dans le langage courant on dit aussi bien que la topologie de $X$ est engendrée par $b$, ou par $B$. Ce qui m'a planté tout-à-l'heure c'est qu'on travaillait avec des fermés, et mon cerveau n'avait pas réussi à opérer la gymnastique adéquate.

GaBuZoMeu

Une sous-base d'une topologie $\tau$ sur un ensemble $A$, c'est une famille $\mathcal B$ d'ouverts de $\tau$ telle que tout ouvert de $\tau$ est une union (quelconque) d'intersections (finies) d'ouverts de $\tau$. Autrement dit, $\tau$ est la plus petite topologie contenant $\mathcal B$

Ici l'ensemble $A$ est l'ensemble $CL(X)$ des fermés non vides de l'espace $X$. et  $\mathcal B$ est la famille des $\{C\in CL(X)\mid C\subset U\}$ pour $U$ ouvert de $X$ union la famiile des $\{C\in CL(X)\mid C\cap U\neq \emptyset\}$ pour $U$ ouvert de $X$. Ceci revient à dire que la topologie de Vietoris est la plus petite topologie sur l'ensemble $CL(X)$ des fermés non-vides de $X$ telle que :

1) pour tout ouvert $U$ de $X$, $\{C\in CL(X)\mid C\subset U\}$ est ouvert,

2) pour tout fermé $F$ de $X$, $\{C\in CL(X)\mid C\subset F\}$ est fermé.

Martial

Merci @GaBuZoMeu, je crois que les choses commencent à s'éclaircir dans mon cerveau embué. En tous cas ta prose est beaucoup plus agréable à lire que le galimatias d'Esser avec ses $\square$ et ses $\diamondsuit$.

Cyrano

Peut-être utilise-t-il ces symboles car il y a un lien avec la logique modale ? 

Thierry Poma

@Cyrano : bonjour. Il me semble que tu vois juste. Voici un document très instructif écrit par Steve Awodey et Kohei Kishida. Le début de la page 148 semble confirmer ce que tu supposes.