Les notations sont celles de l'énoncé en précisant les applications plutôt que l'écriture confuse de type $x[n]$ pour désigner la projection de $x$ dans $\Z/n\Z$. La complexité de la solution correspond à la complexité de la question.
Je n'ai jamais compris tes solutions, elles ne sont pas adaptées à mes capacités. C'est trop technique pour moi. Elles sont réservées aux personnes ayant un niveau brillant, pas aux personnes ayant un niveau moyen.
Tu n'as pas un niveau moyen pour ce genre d'exercices. Tu as un niveau très insuffisant pour ces exercices, c'est pourquoi tu galères même devant des corrigés tout cuits et que la plupart de tes solutions contiennent des réponses incohérentes (des ensembles de relatifs au lieu d'ensembles de classes etc). Mais bon, ça ne sert à rien de te le dire il me semble, n'est-ce pas ?
Je reformule la solution de troisqua. Notons $d$ le pgcd de $x$ et $y$. (Edit : je voulais dire de $m$ et $n$)
Soient $x,y,z\in\Z$. Si $(x[m],y[n])=\varphi(z [mn])$ alors $m\mid x-z$ donc $d\mid x-z$ et de même $d\mid y-z$ donc $d\mid x-y$.
Réciproquement, si $d\mid x-y$ alors d'après Bézout il existe $u,v\in\Z$ tels que $x-y=um+yn$. Posons $z=x-um=y+vn$ alors $(x[m],y[n])=\varphi(z [mn])\in\mathrm{Im}(\varphi)$.
$\newcommand{\pgcd}{\mathrm{pgcd}}\newcommand{\ppcm}{\mathrm{ppcm}}$Ce qui est particulièrement intéressant dans la démonstration détaillée (et très bien expliquée, j'insiste) de troisqua est le fait qu'il démontre un résultat général pour l'utiliser ensuite dans l'exercice en question.
Il faut simplement s'approprier les notations et le raisonnement.
Ce que je vais faire pendant les trois jours qui suivent est de réécrire sa preuve avec mes mots. Il faut lire entre les lignes et identifier les points clés et réécrire toutes les étapes (même les plus évidentes) à mon avis.
Pour résumer (dans les grandes lignes) :
- troisqua commence par prouver que $\frac{J}{I}$ est bien un idéal de $\frac{A}{I}$ puisque le but est de quotienter ensuite par $\frac{J}{I}$ donc il faut impérativement prouver que $\frac{J}{I}$ est un idéal de $\frac{A}{I}$ avant d'aller plus loin.
- Ensuite, quand on veut quotienter un anneau par un idéal, on veut fortement appliquer le premier théorème d'isomorphisme (par exemple mais c'est souvent le cas j'ai l'impression). Pour cela, on aimerait prouver que $\frac{J}{I}$ est le noyau d'un morphisme d'anneaux bien choisi.
C'est ce que fait troisqua ensuite : il prouve tout simplement par double inclusion que $\ker(\bar{\pi_{J}}) = \frac{J}{I}$ .
Et ainsi, c'est gagné et on a notre isomorphisme avec $Im(\bar{\pi_{J}})$ .
Troisqua applique ensuite ce résultat à la question c) (et il utilise aussi notre théorème d'isomorphisme bien connu pour a)).
- Pour c), il détermine d'abord le noyau du morphisme en question.
- Puis, il utilise ce qu'il a prouvé juste au-dessus dans le cas général (ce qui est vraiment génial car cela montre que l'on peut quotienter deux ensembles quotients donc merci beaucoup car je ne savais pas si c'était possible ou non ! Je suis très content tout de même d'avoir eu cette intuition dans un de mes posts précédents).
La suite est un peu plus technique mais il faut bien s'approprier les notations quitte à les reformuler pour nous, passer par des exemples si on bloque et tout écrire surtout sans recopier au mot près en identifiant toujours toutes les étapes (se poser la question : pourquoi j'ai le droit de passer de l'étape A à l'étape B? Qu'est-ce que j'utilise?).
Donc courage OShine, je ne suis pas du tout brillant pour tout ce qui touche à l'agreg comme ce genre d'exercice (au moins d'agreg interne, j'étais sans doute brillant quand j'ai passé le CAPES qui est d'un niveau bien plus abordable car j'ai eu un super rang) donc tout le monde peut y arriver en se posant bien sur ça et en approfondissant le tout ! Ce que j'ai l'intention de faire, merci beaucoup troisqua !!!
Il y en a une où je peux écrire des choses. Si $x =y [\pgcd(n,m)]$ alors $x-y = 0 [\pgcd(n,m)]$ donc $\pgcd(n,m)$ divise $x-y$ mais après je ne vois pas.
Ok, tu pouvais dire non alors parce que dire << $1+2=3$ et après je ne vois pas >>, ça ne va pas nous amener très loin.
C'est une super preuve @bd2017 , merci beaucoup !!!
Petite question de rédaction : si je veux repasser par les classes pour bien faire le lien avec notre morphisme disons $f : \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , est-il mieux d'écrire :
1) $(x[m],y[n]) \in Im(f) \Rightarrow \exists$ $a[mn] \in \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ | $f(a[mn] )=(x[m],y[n])$ puis la suite est la même en prenant $a$ en tant que représentant "principal" de $a[mn]$ (ce qui me semble maladroit car aucune info sur $a$ en tant qu'entier, en fait $a$ a-t-il été défini proprement en tant qu'entier si on parle juste de $a[mn]$? Après tout, $a$ peut valoir un entier plus grand que $mn$ mais sa classe modulo $mn$ sera entre $\bar{0}$ et $\overline{mn-1}$ donc ça ne me semble pas super rigoureux au final).
Ou
2) $(x[m],y[n]) \in Im(f) \Rightarrow \exists$ $z[mn] \in \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ | $f(z[mn])=(x[m],y[n])$. Ainsi, pour tout $a \in z[mn]$, $a \equiv x \pmod m$ et $a \equiv y \pmod n$ et la suite est la même. Cela me semble bien mieux je dirais niveau rédaction !!!
Ou peut-être que je me prends la tête pour rien aussi hahaha, je suis peut-être trop méticuleux pour le coup ? ^^'
@NicoLeProf Pour moi, je te conseillerai la rédaction du 2). C'est à dire que tu utilises sans le dire (et ce n'est pas nécessaire de le dire) la factorisation $(\pi_m,\pi_n)= \pi_{mn} \circ f.$
Avec des mots simples, cela signifie que l'image d'un élément de $\Z/mn\Z$ ne dépend pas de son représentant. A partir de là, on travaille plus facilement avec les éléments de $\Z$ qu'avec les éléments de $\Z/mn \Z.$
Ainsi " on fait comme les élèves moyens".
Edit. Concernant "je me prends la tête," je ne le pense vraiment pas. Se poser des questions sur la rédaction d'un tel exercice a vraiment son intérêt.
Tu n'as pas un niveau moyen pour ce genre d'exercices. Tu as un niveau très insuffisant pour ces exercices, c'est pourquoi tu galères même devant des corrigés tout cuits et que la plupart de tes solutions contiennent des réponses incohérentes (des ensembles de relatifs au lieu d'ensembles de classes etc). Mais bon, ça ne sert à rien de te le dire il me semble, n'est-ce pas ?
Je comprends les corrigés Doc Solus même d'épreuves d'un très bon niveau comme Mines Ponts.
@NicoLeProf il y a des méthodes plus simples que des quotients de quotients compliqués. J'ai découvert les groupes/anneaux quotients il y a deux mois, je n'ai pas de recul sur ces notions et je ne veux pas m'embrouiller encore plus sur les petites choses que j'ai retenues. Si j'arrive à appliquer le théorème d'isomorphisme sur des cas simples je suis content.
Tu comprends les corrigés, mais quand tu as fait 5 exercices sur le même thème, et que tu fais le 6ème, qui est toujours sur le même thème, tu as toujours besoin de lire le corrigé et de demander des explications. Donc tu as compris un truc, mais tu ne sais pas l'appliquer ni le reproduire. Comme un gamin qui dit qu'il a compris les reproches de ses parents, mais qui continue à faire les même conneries.
Comprendre, ce n'est pas ça.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@Oshine : j'ai expliqué comment on résout ce système et JLT te l'a reformulé et tu l'as remercié. Mais visiblement tu n'as pas compris donc pourquoi l'avoir remercié alors ?
C'est tout de même un peu ballot de ne pas voir que 8 est solution particulière et aussi de laisser la solution sous la forme 43+35 k alors que 45 est plus grand que 35. De même dans le dernier cas 49 est solution évidente, les nombres ne sont pas très grand....et encore si on ne réfléchit pas, tu poses la question à un élève qui fait preuve d'initiative, il ne va attendre une recette miracle mais il va poser les équations et il va s'en sortir tout seul et encore plus facilement s'il a fait les questions précédentes. En résumé pose les équations ...et cherche ..
@Amédé je sais répondre à la question quand on prend des valeurs numériques pour $m$ et $n$.
Je l'ai remercié pour la solution de la question $c$. La question $c$ donne juste une condition pour avoir une solution, elle ne donne pas la méthode permettant de la trouver.
Oui tu as expliqué mais je n'ai rien compris du début à la fin à ta solution, donc ça ne va pas m'aider.
@bd2017 je ne suis pas habitué à résoudre ce genre de système je n'ai donc pas de réflexes. Le cours donne la méthode pour $m$ et $n$ premiers uniquement. Par exemple que faire avec l'information $49$ est solution évidente ? Je ne vois pas comment l'utiliser.
Un brouillon : On a $x \equiv 4 [45]$ donc il existe $u \in \Z$ tel que $x=4 + 45 u$ et $x \equiv 1 [6]$ donc il existe $v \in \Z$ tel que $x=1 + 6 v$
Ce qui donne $4+ 45 u = 1+ 6v$ donc $45 u +3 =6v$. On simplifie ce qui donne $\boxed{15 u +1 =2v}$
Je n'ai pas avancé je ne connais pas la technique pour résoudre ce genre de système.
@OShine : tu écris "Je l'ai remercié [JLT] pour la solution de la question c. La question c donne juste une condition pour avoir une solution, elle ne donne pas la méthode permettant de la trouver."
Donc tu n'as rien compris à la reformulation par JLT de la solution que j'ai donnée puisque cette solution explique comment on résout le système. J'imagine que tu connais le programme de Terminale (donc que tu sais déterminer une relation de Bézout entre deux entiers) vu que tu comprends les corrigés de Mines/Ponts. Bref, je quitte ce fil.
OShine a en effet l'air d'être un curieux personnage hahaha, il ne faut pas être de mauvaise foi non plus, la méthode pour résoudre un tel système (que $m$ et $n$ soient premiers entre eux ou non) a été donnée très clairement par troisqua et JLT (de manière encore plus explicite en utilisant le pgcd de $m$ et $n$ et une égalité de Bézout).
Ta démarche est d'ailleurs quasiment ce que je fais au début de mon post avec d'autres lettres donc tu peux y arriver tout de même ! C'est notamment le lemme de Gauss qui va te permettre d'avancer puisque tu te ramènes à des entiers premiers entre eux ($15$ et $2$ ici)...
Par exemple que faire avec l'information $49$ est solution évidente ? Je ne vois pas comment l'utiliser.
C'est fort dommage d'être resté sur un exercice plusieurs jours et d'avoir oublié les questions précédentes.
Première méthode (celle que je préconise.) On veut résoudre $x=4 mod [45]$ et $x=1 mod [6].$ La première équation a pour solutions positives 4,4+45=49,... et je m'arrête car $49=1 mod[6].$
On en déduit d'après les questions précédentes que l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers $x=49 + 90 k$ ( 90 étant le ppcm de 45 et 6 ).
Deuxième méthode. Je fais l'aveugle, je ne vois pas que $49$ est solution évidente.
C'est à dire que fait-on si les nombres étaient grands? Encore une fois la méthode est dans la réponse de la question précédente (question c) je pense...)
On a $4-1=3= pgcd(6,45)$ On applique Bezout: On cherche deux entiers a et b tel que $2 a + 15 b=1$........ $(a,b)=(-7,1)$ convient et on multiplie par $3$ pour avoir la relation cherchée. Cela donne donc
$ 6 \times (-7) + 45 \times 1= 3=4-1 $ ou encore $ 1 + 6 \times (-7) =4-45\times 1=-41$
On a notre solution particulière qui passe donc par l'Algo. d'Euclide. A noter que $-41 +90=49$ puis on conclut que les solutions sont de la forme $49+ 90 k, k \in \Z$
System := proc(x, y, m, n) local d, M, N, z, a, b, u; d := igcd(m, n); if irem(x - y, d) = 0 then M := iquo(m, d); N := iquo(n, d); igcdex(N, M, 's', 't'); z := NumberTheory:-ChineseRemainder([x, y], [M, N]); a := iquo(z - x, M); b := iquo(z - y, N); u := -a*s - b*t; (z + u*M*N) mod ilcm(m, n); end if; end proc
>System(303,3,450,600) 1203
@troisqua : Tu vois, ma méthode se code facilement
@NicoLeProf ok merci pour la méthode terminale c'est bon j'ai compris. Pour a méthode JLT je n'ai pas compris c'est où qu'il explique comment résoudre le système ni quelle est cette méthode.
@bd2017 rien compris je ne comprends pas ce que tu fais. Je n'ai pas compris à quoi servent les questions précédentes pour résoudre le système.
Je reviens sur cette preuve. Je ne comprends pas la ligne : "D'après le théorème chinois, il existe $\alpha,\beta\in\Z$ tels que $x+\alpha m'=y+\beta n'$ qu'on note $z$." Puis dans la ligne suivante, qui est $u$ ? Il n'est pas défini... Il sort d'où ce $u=-a\alpha-b\beta$ ?
Notons $d$ le pgcd de $x$ et $y$. (Edit : je voulais dire de $m$ et $n$)
Soient
$x,y,z\in\Z$. (...)
si $d\mid x-y$ alors d'après Bézout il existe $u,v\in\Z$ tels que
$x-y=um+yn$. Posons $z=x-um=y+vn$ alors $(x[m],y[n])=\varphi(z
[mn])\in\mathrm{Im}(\varphi)$.
On applique ce qui précède à $x=4$, $y=1$, $m=45$, $n=6$.
@OShine : en vertu du lemme des restes chinois, nous avons\[\Z/6\Z\simeq\Z/2\Z\times\Z/3\Z\]de sorte que\[x\equiv1\qquad(\mod\,6)\Longleftrightarrow(x\equiv1\qquad(\mod\,2)\text{ et }x\equiv1\qquad(\mod\,3))\]Vu que $\mathrm{pgcd}(6,\,45)=3$, nous constatons que $x\equiv1\qquad(\mod\,3)\Longleftrightarrow(\exists\,y)(x-1=3y\text{ et }y\in\Z)$. Supposons donc que nous ayons trouvé $z$ tel que $x-1=3z\text{ et }z\in\Z$. Alors, d'une part\[x\equiv1\qquad(\mod\,6)\Leftrightarrow{}z\equiv0\qquad(\mod\,2)\]d'autre part\[x\equiv4\qquad(\mod\,45)\Leftrightarrow{}3z\equiv3\qquad(\mod\,45)\Leftrightarrow{}z\equiv1\qquad(\mod\,15)\]Si un tel $z\in\Z$ existe, tout revient donc à résoudre le système\[z\equiv1\qquad(\mod\,15)\text{ et }z\equiv0\qquad(\mod\,2)\text{ et }x=1+3z\text{ et }z\in\Z\]Réciproquement, vu que $\mathrm{pgcd}(2,\,15)=1$, déterminons les solutions du système\[z\equiv1\qquad(\mod\,15)\text{ et }z\equiv0\qquad(\mod\,2)\]en n'oubliant pas que $x=1+3z\text{ et }z\in\Z$.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
@OShine : la solution que je propose est juste du brouillon, sans aucune rigueur. L'avantage est que je me suis servi du lemme des restes chinois. Cette partie de l'exercice s'inscrit dans un contexte particulier, où nous avons étudié deux cas de figure.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
De rien @OShine, content que tu aies compris et cette méthode fonctionne toujours bien qu'elle soit longue à rédiger et assez "scolaire" !
Pour faire le lien avec ce qui précède et pour reformuler la méthode de JLT qui est très abordable (je te jure, je l'ai comprise en moins de 2 minutes littéralement donc tu peux y arriver aussi !) et bien plus efficace, voici (ci-dessous) ce que tu peux faire après avoir posé : $m=45$ (donc $x=4$ car nous sommes sur le dernier système de ton exo) puis $n=6$ et $y=1$ (et si $x$ te gêne car déjà défini en tant que solution du système, tu changes de lettre : $x_1=4$ par exemple) :
-> trouver le $PGCD$ de $45$ et $6$ .
-> Trouver une relation de Bézout entre $45$ et $6$ (i.e : trouver deux entiers $u$ et $v$ tels que : $45u+6v = PGCD(45;6)$) de préférence sans appliquer l'algorithme d'Euclide étendu car un couple $(u;v)$ est très simple à trouver ici !
-> Tu poses $z=x-um=y+vn$ et tu vérifies que c'est cohérent au passage : que tu trouves le même résultat à chaque fois pour $z$.
-> C'est terminé, la preuve de JLT te garantit que les solutions du système sont congrues à $z$ modulo $\dfrac{45 \times 6} { PGCD(45;6)}=PPCM(45;6)$ (qui donne bien $90$) .
Je te laisse vérifier que ça marche et pourquoi pas t'entraîner sur d'autres systèmes de congruences en utilisant la méthode de JLT qui est bel et bien une méthode générale et rapide.
Et bien sûr, JLT voulait dire que $d$ est le $PGCD$ de $m$ et $n$ et non de $x$ et $y$ puisque ces derniers sont définis après dans son raisonnement. C'est peut-être cela que tu n'avais pas compris OShine mais essaie d'avoir un esprit critique quand tu lis et d'utiliser tes propres notations. Il faut lire activement en maths avec un stylo et un brouillon à côté pour écrire des choses !!!
Ce n'est pas méchant bien sûr mais tu sembles manquer de méthode et peut-être un peu de ténacité (reformuler l'énoncé, s'approprier les notations, réfléchir sur des exemples simples, ne pas lire passivement un corrigé mais au contraire : comprendre ce qu'on utilise à chaque étape de la preuve au brouillon etc.)... Puis tout remettre au propre de manière bien clean et en rédigeant parfaitement quand tu as tout compris afin de s'entraîner dans les prochains jours pour ne rien oublier.
Ce qui est dommage car tu comprends des choses et tu as l'air motivé !
Edit : j'ai relu et corrigé quelques coquilles/oublis, désolé ! ^^'
J'ai trouvé une autre méthode qui m'a l'air bien plus simple pour résoudre un système d'équations avec des congruences à l'aide du théorème des restes chinois. Cette technique n'était malheureusement pas expliquée dans mon livre. Si $x \equiv 4 [45]$ alors $x \equiv 4 [5]$ Donc on a $x \equiv 4 [5]$ et $x \equiv 1 [6]$. On a $pgcd(5,6)=1$ Le théorème des restes chinois permet d'affirmer que $x \equiv 4 \times 6 \times u + 1 \times 5 \times v [30]$ avec $ 6 \times u \equiv 1 [5]$ et $ 5 \times v \equiv 1 [6]$ $6 u \equiv u [5]$ donc $u=1$ et $5 v \equiv -1 [6]$ donc $v=-1$. Finalement $x \equiv 24 -5 [30]$ soit $\boxed{x \equiv 19 [30]}$
C'est bien ! Tu appliques une méthode plus simple qui conduit à un résultat faux. Il faut oser encadrer la solution fausse alors que 3 intervenants ont déjà donné la solution qui, par ailleurs, se trouve en une mn, si on a fait les questions a,b etc.
Disons que ce n'est pas fini. Ce que j'ai dit permet de trouver que -41 satisfait le système de congruences mais pour trouver toutes les solutions il faut utiliser que l'ensemble des solutions est une classe de congruences modulo PPCM(m,n).
Je ne vois pas d'erreur dans mon raisonnement @bd2017 j'ai mis 30 min à la faire. Je ne comprends pas à quoi servent les questions a b c avec les réductions, isomorphismes et noyaux.
@JLT dans ce cas je n'ai pas compris comment faire avec cette méthode, je ne vois pas d'où sort le ppcm.
On a trouvé une solution $z\in\Z$. Si $z'$ est un autre entier, alors $z'$ est solution si et seulement si $z'$ est congru à $z$ modulo $m$ et $n$, c'est-à-dire modulo $\mathrm{ppcm}(m,n)$.
Si tu n'as pas su faire les questions a-b-c il y a possibilité de recommencer à zéro.
C'est à dire que tu oublies tout ce qui a été dit (en particulier les questions a-b-c et toute recette miracle, sortie de nulle part, comme par exemple ton théorème, qui par ailleurs n'explique pas comment on résout l'exercice).
Ensuite tu fais comme un élève de Lycée qui a comme bagage le théorème de Bezout et à qui on donne l'exercice.
Il a un système à résoudre, alors il va commencer par raisonner: Soit x une solution du système. Alors x vérifie ..... et puis il continue jusqu'à trouver toutes les solutions.
J'essaye de me mettre dans la peau d'un élève de terminale (qui connait Bezout)
Soit $x$ une solution du système. Il existe deux entiers $u,v$ tels que $x=4-45u = 1 - 6 v$ Ce qui implique $3 = 45 u- 6v.$
On divise par $3$ donc $1=15 u -2 v .$ Par Bezout, l'ensemble des solutions de cette précédente équation dans $\Z^2$ est: $(u,v)=(1+ 2 k , 7 + 15 k), k \in \Z$ (car il saute au yeux que $1= 15 - 2\times 7$)
Ainsi $x=1-6 v = 1- 6(7+ 15 k)=-41+ 90 k ,k \in Z$ ou (je préfère $x=49+ 90 k' , k' \in \Z$)
On vérifie sans peine que les nombres qui précédent sont bien solutions. Les solutions sont bien $x=49 [ 90]$.
Cela ne peut pas être bon. Regarde ce qui a été fait avant (mon post explique la technique de JLT).
Regarde les questions précédentes : nous avons prouvé que l'image est isomorphe à $\mathbb{Z}/PPCM(m,n)\mathbb{Z}$ . Voilà d'où sort cette histoire de $PPCM$ .
@bd2017 c'est clair merci. Je fais la dernière question quand même pour l'honneur. d) On prend l'application $g : \Z / (6 \times 45) \Z \longrightarrow \Z / 45 \Z \times \Z / 6 \Z \\ (x [6 \times 45] \mapsto (x[45],x[6])$ ce n'est pas un isomorphisme d'anneaux. En effet, elle n'est pas surjective car $( 1[45],3[6])$ n'est pas dans l'image car $1 \not\equiv 3 [3]$. En effet, $3$ ne divise pas $2$.
Dire que l'image est isomorphe à $\Z / ppcm (m,n) \Z$ pour moi ça ne signifie rien. C'est comme lire un truc théorique sans comprendre à quoi il sert dans la pratique.
$(4[45], 1[6])$ est dans l'image qui est isomorphe à $\Z / ppcm (6,45) \Z$ et après on fait quoi de cette information ? Comme on la transforme en information pratique ?
Bon, j'avais mal lu. Il n'y a pas équivalence logique entre $x \equiv 4 \pmod {45}$ et $x \equiv 4 \pmod 5$ .
Si $x \equiv 4 \pmod {45}$ alors $x \equiv 4 \pmod 5$ : oui ça c'est bon, pourquoi d'ailleurs @OShine ?
La réciproque est clairement fausse car $9 \equiv 4 \pmod 5$ mais $9 \equiv 9 \pmod {45}$ .
La suite est donc fausse puisqu'un système se résout (ou plutôt se "simplifie") par équivalences logiques (si tu gardes une implication, tu changes l'ensemble des solutions ou tu risques de le faire. Ce qui est le cas ici).
Bon, j'avais mal lu. Il n'y a pas équivalence logique entre $x \equiv 4 \pmod {45}$ et $x \equiv 4 \pmod 5$ .
J'ai utilisé une technique dans la vidéo de Maths Adultes qui transforme les modulo pour avoir que des nombres premiers. Une condition nécessaire n'a pas besoin d'équivalence : $x \equiv 4 [45] \implies x \equiv 4 [5]$ car $45$ est un multiple de $5$.
Réponses
Elles sont réservées aux personnes ayant un niveau brillant, pas aux personnes ayant un niveau moyen.
J'ai découvert les groupes/anneaux quotients il y a deux mois, je n'ai pas de recul sur ces notions et je ne veux pas m'embrouiller encore plus sur les petites choses que j'ai retenues.
Si j'arrive à appliquer le théorème d'isomorphisme sur des cas simples je suis content.
Cet exercice est de niveau CAPES à mon avis.
@bd2017 merci aussi.
Donc tu as compris un truc, mais tu ne sais pas l'appliquer ni le reproduire.
Comme un gamin qui dit qu'il a compris les reproches de ses parents, mais qui continue à faire les même conneries.
Comprendre, ce n'est pas ça.
x \equiv 1 [7] \\
x \equiv 3 [5] \end{cases}$
On a la relation de Bezout $ 7 \times 3 + 5 \times (-4)=1$
On a $21 \equiv 1 [5]$ et $-20 \equiv 1 [7]$
Donc $x_0 =3 \times 21 -20 = 43 \equiv \begin{cases}
1 [7] \\
3 [5] \end{cases}$
$x_0$ est une solution particulière, d'après le cours l'ensemble des solutions sont les $43 + 35k , k \in \Z$.
Pour le système $\begin{cases}
x \equiv 1 [45] \\
x \equiv 3 [6] \end{cases}$
On a $pgcd(6,45)=3$ et $2 \not\equiv 3[3]$ donc $( 1[45],3[6])$ n'est pas dans l'image du morphisme de réduction donc aucune solution.
Pour le dernier système $\begin{cases}
x \equiv 4 [45] \\
x \equiv 1 [6] \end{cases}$
$( 4[45],1[6])$ est dans l'image du morphisme de réduction mais comment résoudre le système en utilisant la question c) ?
En résumé pose les équations ...et cherche ..
Je l'ai remercié pour la solution de la question $c$. La question $c$ donne juste une condition pour avoir une solution, elle ne donne pas la méthode permettant de la trouver.
Oui tu as expliqué mais je n'ai rien compris du début à la fin à ta solution, donc ça ne va pas m'aider.
Le cours donne la méthode pour $m$ et $n$ premiers uniquement.
Par exemple que faire avec l'information $49$ est solution évidente ? Je ne vois pas comment l'utiliser.
Un brouillon :
On a $x \equiv 4 [45]$ donc il existe $u \in \Z$ tel que $x=4 + 45 u$ et $x \equiv 1 [6]$ donc il existe $v \in \Z$ tel que $x=1 + 6 v$
Ce qui donne $4+ 45 u = 1+ 6v$ donc $45 u +3 =6v$. On simplifie ce qui donne $\boxed{15 u +1 =2v}$
Je n'ai pas avancé je ne connais pas la technique pour résoudre ce genre de système.
local d, M, N, z, a, b, u;
d := igcd(m, n);
if irem(x - y, d) = 0 then
M := iquo(m, d); N := iquo(n, d);
igcdex(N, M, 's', 't');
z := NumberTheory:-ChineseRemainder([x, y], [M, N]);
a := iquo(z - x, M); b := iquo(z - y, N);
u := -a*s - b*t;
(z + u*M*N) mod ilcm(m, n);
end if;
end proc
1203
Pour a méthode JLT je n'ai pas compris c'est où qu'il explique comment résoudre le système ni quelle est cette méthode.
@bd2017 rien compris je ne comprends pas ce que tu fais.
Je n'ai pas compris à quoi servent les questions précédentes pour résoudre le système.
Je ne comprends pas la ligne : "D'après le théorème chinois, il existe $\alpha,\beta\in\Z$ tels que $x+\alpha m'=y+\beta n'$ qu'on note $z$."
Puis dans la ligne suivante, qui est $u$ ? Il n'est pas défini... Il sort d'où ce $u=-a\alpha-b\beta$ ?
Si $x \equiv 4 [45]$ alors $x \equiv 4 [5]$
Donc on a $x \equiv 4 [5]$ et $x \equiv 1 [6]$. On a $pgcd(5,6)=1$
Le théorème des restes chinois permet d'affirmer que $x \equiv 4 \times 6 \times u + 1 \times 5 \times v [30]$ avec $ 6 \times u \equiv 1 [5]$ et $ 5 \times v \equiv 1 [6]$
$6 u \equiv u [5]$ donc $u=1$ et $5 v \equiv -1 [6]$ donc $v=-1$.
Finalement $x \equiv 24 -5 [30]$ soit $\boxed{x \equiv 19 [30]}$
$3 = 45 \times 1+ 6 \times (-7)$ donc $u=1$ et $v=-7$.
Donc $\boxed{z = -41 [270]}$
Je ne comprends pas à quoi servent les questions a b c avec les réductions, isomorphismes et noyaux.
@JLT dans ce cas je n'ai pas compris comment faire avec cette méthode, je ne vois pas d'où sort le ppcm.
Je ne sais pas pourquoi cet exercice m'a posé autant de difficultés, ça arrive parfois.
@JLT d'accord merci.
@bd2017 c'est clair merci.
Je fais la dernière question quand même pour l'honneur.
d) On prend l'application $g : \Z / (6 \times 45) \Z \longrightarrow \Z / 45 \Z \times \Z / 6 \Z \\ (x [6 \times 45] \mapsto (x[45],x[6])$ ce n'est pas un isomorphisme d'anneaux.
En effet, elle n'est pas surjective car $( 1[45],3[6])$ n'est pas dans l'image car $1 \not\equiv 3 [3]$. En effet, $3$ ne divise pas $2$.
Dire que l'image est isomorphe à $\Z / ppcm (m,n) \Z$ pour moi ça ne signifie rien. C'est comme lire un truc théorique sans comprendre à quoi il sert dans la pratique.
$(4[45], 1[6])$ est dans l'image qui est isomorphe à $\Z / ppcm (6,45) \Z$ et après on fait quoi de cette information ? Comme on la transforme en information pratique ?
Je ne vois pas comment être plus précis.
Une condition nécessaire n'a pas besoin d'équivalence : $x \equiv 4 [45] \implies x \equiv 4 [5]$ car $45$ est un multiple de $5$.