Morphisme de réduction

OShine

$\newcommand{\ppcm}{\mathrm{ppcm}}$Bonjour.
Je n'ai pas très bien compris la première question. Voici ce que j'ai fait mais aucune idée si c'est juste. 
Je commence par la question $2$ qui est une question de cours.
b) Soit $m$ et $n$ premiers entre eux et $f : \Z  / mn \Z \rightarrow \Z / m \Z \times \Z / n \Z$ définie par $f (k [mn])=(k[m],k[n])$.
Montrons que c'est un isomorphisme d'anneaux.
Les applications $r_m : \Z / mn \Z \rightarrow \Z / m  \Z$ et $r_n : \Z / mn \Z \rightarrow \Z / n  \Z$ (morphismes de réduction) sont des morphismes d'anneaux, $f$ est un morphisme d'anneau (la somme et le produit dans un anneau produit se font composante par composante).
Cherchons le noyau de $f$. 
$f(x)=0$ si et seulement si $k [m]= 0[m] $ et $k[n] = 0[n]$ si et seulement si $k$ est multiple de $m$ et $n$ si et seulement si $k$ est multiple du $\ppcm(m,n)=mn$ si et seulement si $k [mn] = 0 [mn] $ si et seulement si $x=0$.
Ainsi $f$ est injectif, et puisque les ensembles de départ et d'arrivée de $f$ ont tous les deux $mn$ éléments $f$ est bijective.
a) Si $x [n] = y [n]$ alors $x-y$ est multiple de $n$ et comme $n$ est multiple de $d$ c'est aussi un multiple de $d$. Donc $x [d] = y [d]$ l'application est bien définie.
$Im f = \{ x [d] \mid x [n] \in \Z / n \Z \} = \{ \bar{0} , \bar{1}, \dots , \bar{d-1} \}$.
Noyau.
C'est un morphisme d'anneau donc un morphisme additif de groupes. 
Soit $x$ un élément du noyau. Alors $x [d]= 0 [d]$ donc $x$ est un multiple de $d$.
Le noyau est l'ensemble des multiples de $d$.

Homo Topi

Je t'avais expliqué en privé ce qu'est une "application bien définie". Utilise ça pour la première question. Rapppel grossier : $f$ est bien définie si $x=y \Longrightarrow f(x)=f(y)$. Essaie d'écrire quelque chose avec ça, pour l'instant c'est la seule aide que je te donne.

OShine

L'application bien définie je l'ai traitée non ?

bd2017

Bonjour

@HT :   Soit $f : \ \R ^*\rightarrow   {]}0 , \infty [  ,\quad    x\mapsto f(x)= \dfrac{1}{x}$    contredit -elle  $(x=y)\implies (f(x)= f(y))$ ?

Bien entendu ici, le problème ne vient pas de l'ensemble de départ, ni de l'ensemble d'arrivée mais du fait que la règle qui définit $f$ pourrait dépendre  du représentant  $x$ que l'on a  choisi pour l'élément de l'ensemble de départ $\Z/n \Z$   et je suppose que ton implication sous-entend qui faut vérifier que ce n'est pas le cas. 

Visiblement la rédaction d'@Oshine c'est du chinois.

Par exemple dire  $f(x)=0$ ssi $k[m]=\ldots$   comprenne qui pourra.    

Edit. Quel est le lien entre $x$  et $k[m]$ ?  Par ailleurs lorsque je lis la suite de la phrase, il y a un emploi  incorrect  des  "ssi". 

Homo Topi

@bd2017 l'histoire du représentant est en effet sous-entendue dans mon implication, puisqu'elle est développée en plusieurs paragraphes dans un message privé que je lui avais envoyé et dont je sais qu'il l'a lu. L'implication se suffit à elle-même quand on sait la lire : si $\overline{x}=\overline{y}$... d'où les représentants.

Riemann_lapins_cretins

Ce serait quand même bien d'écrire explicitement l'expression "car m et n sont premiers entre eux" à un endroit de la preuve pour voir que l'hypothèse est fondamentale...

OShine

$m$ et $n$ sont premiers entre eux permet de dire que le $pgcd(m,n)=1$.
La question b) j'ai recopié le cours par contre la suite n'est pas dans le cours à partir de la question c il faut réfléchir.

Rescassol

Bonsoir,

> OShine. La question b) j'ai recopié le cours par contre la suite n'est pas dans le cours à partir de la question c il faut réfléchir.

Tu avoues donc que tu ne réfléchis pas quand tu recopies le cours ???...
Cordialement,
Rescassol

Thierry Poma

@OShine : en fait, tu n'as fait que recopier ce qui se trouve consigné aux pages 92 et 93 du Liret. Ce n'est pas une question, mais une affirmation. Je voudrais que tu montres que $f:\Z/mn\Z\rightarrow\Z/m\Z\times\Z/n\Z$ est surjective, sans utiliser l'argument de cardinalité.

OShine

Pour la question c), le noyau de $f$ est réduit à $0$. C'est évident qu'elle est surjective. 
Soit $(\bar{x}_{[m]} , \bar{x}_{[n]}) \in \Z / m \Z \times \Z / n \Z$. On cherche $\bar{k}_{[mn]} \in \Z / mn \Z$ tel que $f( \bar{k}_{[mn]} ) = (\bar{x}_{[m]} , \bar{x}_{[n]}) $. Il suffit de prendre $k=x$.
Montrons que l'image est isomorphe à $\Z /\ppcm(m,n) \Z$.

Soit $g : Im (g) \longrightarrow \Z /\ppcm(m,n) \Z \\ (\bar{x}_{[m]} , \bar{x}_{[n]}) \mapsto \bar{x}_{[ppcm (m,n)]}$

Il suffit de montrer l'injectivité car il y a $mn$ éléments dans les ensembles de départ et d'arrivée.

On a $ g( \bar{x}_{[m]} , \bar{x}_{[n]})  = \bar{0}_{[ppcm (m,n)]} \Leftrightarrow \bar{0}_{[ppcm (m,n)]} = \bar{x}_{[ppcm (m,n)]}  \\
\Leftrightarrow  x \ \text{est multiples du ppcm (m,n)} \Leftrightarrow  x \  \text{est multiple de m et n} \Leftrightarrow  (\bar{x}_{[m]} , \bar{x}_{[n]})=(\bar{0}_{[m]} , \bar{0}_{[n]})$

D'où l'isomorphisme. 

Je bloque sur le dernier point à montrer dans la question $c$.

Thierry Poma

@OShine : je me permets de reformuler ta phrase plus exactement, à savoir :

Soit $(\bar{u}_{[m]} ,\, \bar{v}_{[n]}) \in \Z / m \Z \times \Z / n \Z$. On cherche $\bar{x}_{[mn]} \in \Z / mn \Z$ tel que $f( \bar{x}_{[mn]} ) = (\bar{u}_{[m]} ,\, \bar{v}_{[n]}) $. L'on pourra poser plus simplement $\bar{u}_{[m]}=u+m\Z$ et $\bar{v}_{[n]}=v+n\Z$ pour certains entiers naturels $u$ et $v$ tels que $0\leqslant{}u\leqslant{}m-1$ et $0\leqslant{}v\leqslant{}n-1$ (il est toujours possible de se ramener à ce cas, moyennant deux divisions euclidiennes traditionnelles).

Riemann_lapins_cretins

OShine a dit :

$m$ et $n$ sont premiers entre eux permet de dire que le $pgcd(m,n)=1$.
La question b) j'ai recopié le cours par contre la suite n'est pas dans le cours à partir de la question c il faut réfléchir.

Je ne suis pas débile : je ne t'ai pas demandé de recopier la définition de m et n premiers entre eux, mais de dire à quel moment de ta preuve du théorème chinois tu devrais écrire "car m et n sont premiers entre eux" pour bien montrer au lecteur que tu as compris qu'on utilisait cette hypothèse à un moment ou à un autre.

Tu es OS, je veux que tu justifies le plus rigoureusement possible chaque affirmation que tu écris. Notamment, si un énoncé fait des hypothèses et te demande d'en déduire un résultat, je veux voir toutes les hypothèses écrites explicitement au moment où tu t'en sers dans ta preuve.
Ça ne peut que t'aider à progresser de toujours expliciter ce qui a besoin de l'être, plutôt que d'insister sur des détails triviaux et de passer sous silence les moments pendant lesquels on utilise les hypothèses de l'énoncé : ainsi tu pourras peut-être comprendre le squelette des preuves, ce qui les fait tourner, plutôt que d'y voir une suite de lettres que tu recopies bêtement.

Personne sur ce forum ne sait pas redémontrer le théorème chinois sans avoir besoin de relire une source extérieure (ou disons que 99% des membres savent le redémontrer, pour parler comme le journaliste de les-mathematiques.net parlant du journaliste de quotidien).
Certains membres auront peut-être besoin de salir légèrement un brouillon, mais sauront reproduire la preuve de façon totalement autonome.
Et c'est parce qu'ils comprennent la preuve, ils l'ont sans doute analysée, ils ont été capables de dire à quel moment chaque hypothèse du théorème est utilisée dans la preuve, en plus d'avoir compris suffisamment la structure des groupes cycliques pour pondre facilement l'isomorphisme canonique par eux-mêmes.

Bref, comprends plutôt que de recopier bon dieu !

OShine

$\newcommand{\pgcd}{\mathrm{pgcd}}$C'est vrai que c'est le genre de preuve pas compliquée que je pourrais savoir refaire. 
On utilise que $m$ et $n$ sont premier entre eux pour justifier que $\ppcm(m,n)=mn$ car on formule générale est $\ppcm(m,n) \pgcd(m,n)=mn$. 

@Thierry Poma je ne comprends pas pourquoi tu compliques, un morphisme de réduction ce sont des $x$ partout, pourquoi tu mets des $u$ et des $v$ ?
Je ne comprends pas ce que tu fais.
Dans le cours l'application est avec des $x$ partout. 
Je ne vois pas comment montrer que $(\bar{x}_{[m]},\bar{y}_{[m]})$ est dans l'image si et seulement si $x \equiv y [\pgcd(n,m) ]$.

Amédé

a) Le noyaux $d\Z$ de la projection canonique $\pi_d:\Z\longrightarrow\Z/d\Z$ contient $n\Z$. Donc cette projection canonique induit un unique morphisme d'anneau $g_d:\Z/n\Z\longrightarrow\Z/d\Z$ tel que $\pi_d=g_d\circ\pi_n$ (voir le fil de 300 message sur les théorèmes de factorisation de morphismes...). $\ker(g_d)=\pi_n(d\Z)=d\Z/n\Z$ et $g_d$ est surjective...

Amédé

b) Classique.

Thierry Poma

@OShine : considérons le morphisme d'anneaux $f:\Z/15\Z\rightarrow\Z/3\Z\times\Z/5\Z$. Sais-tu déterminer ce qui suit, s'il te plait ?

$f(6+15\Z)=\cdots$

$f(10+15\Z)=\cdots$

$f(13+15\Z)=\cdots$

$f(-11+15\Z)=\cdots$

OShine

@Amédé tu me parles chinois mais il n'y a pas besoin de sortir l'artillerie lourde pour résoudre la question a).

On a $6+ 15 \Z = \bar{6}_{[15]}$ donc $f( 6+ 15 \Z ) = (  \bar{0}_{[3]} ,  \bar{1}_{[5]})$

 $10+ 15 \Z = \bar{10}_{[15]}$ donc $f( 10+ 15 \Z ) = (  \bar{1}_{[3]} ,  \bar{0}_{[5]})$

 $13+ 15 \Z = \bar{13}_{[15]}$ donc $f( 13+ 15 \Z ) = (  \bar{1}_{[3]} ,  \bar{1}_{[3]})$

 $-11+ 15 \Z = \bar{4}_{[15]}$ donc $f( -11+ 15 \Z ) = (  \bar{1}_{[3]} ,  \bar{-1}_{[5]})$

Pour la surjection, pour tout couple $(\bar{a}_{[m]} , \bar{b}_{[n]}) \in \Z / m \Z \times \Z / n \Z$ , trouver un entier $x \in \Z$ tel que $f(\bar{x}_{[m n]}) =(\bar{a}_{[m]} , \bar{b}_{[n]})$ revient à résoudre le système $x \equiv a [m]$ et $y \equiv b [n]$ ce système a une solution d'après le cours d'où la surjectivité.

Je bloque toujours sur la dernière partie de la question c.

JLapin

OShine a dit :

@Thierry Poma je ne comprends pas pourquoi tu compliques, un morphisme de réduction ce sont des $x$ partout, pourquoi tu mets des $u$ et des $v$ ?

Parce que si tu ne mets pas des $u$ et des $v$, ta preuve de la surjectivité est foireuse.

En gros, tu nous démontres que toute image admet un antécédent et que donc ton l'application est surjective...

OShine

Oui j'ai modifié voir mon dernier message pour la surjectivité. 

OShine

Pour l'image je n'arrive pas à montrer l'équivalence avec le $x \equiv y [\pgcd(n,m)]$.

lourrran

On utilise que $m$ et $n$ sont premiers entre eux pour justifier que $\ppcm(m,n)=mn$ car on formule générale est $\ppcm(m,n) \times \pgcd(m,n)=m \times n$

Non.
Si on prend ce cours de terminale, https://www.educastream.com/fr/ppcm-terminale-s#:~:text=Gr%C3%A2ce%20%C3%A0%20la%20relation%20entre,deux%20entiers%20naturels%20non%20nuls.&text=Propri%C3%A9t%C3%A9%20n%C2%B0%204%20%3A%20soient,de%20a%20et%20de%20b.

On démontre dans cet ordre : 
- si a et b sont premiers entre eux alors $\ppcm(a,b)=ab$
Et plus tard, on démontre que $\ppcm(m,n) \times \pgcd(m,n)=m \times n$

Et j'imagine que c'est pareil dans à peu près tous les cours sur le pgcd et le ppcm.

Ceci-dit, comme tu commences toujours par la fin, pour toi, la propriété  $\ppcm(m,n) \times \pgcd(m,n)=m \times n$ arrive avant la propriété "si a et b sont premiers entre eux alors $\ppcm(a,b)=ab$".

OShine

J'étudie dans un livre de niveau L1 à L3 cette propriété est rapidement rappelée sans détail ni démonstration, c'est un résultat classique à connaître.

Je ne comprends pas pourquoi s'attarder sur ça et la preuve du lemme chinois qui ne comporte pas de difficultés alors que je bloque sur la fin de la question c.

OShine

Je saute la fin de la question $c$ je n'ai pas compris.

J'ai réussi à résoudre le premier système mais le second je n'y arrive pas.
Dans mon livre la technique n'est donnée que pour des nombres premiers.

d) $7  \times (-2) + 5 \times 3=1$ donc $ 15 \equiv 1 [7] , 0 [5]$ et $-14 \equiv 1 [5] , 0 [7]$

L'entier $x_0 = 1 \times 15 + 3 \times (-14) = -27$ est solution. Puisque $ppcm (7,5)= 7 \times 5 =35$ les solutions sont de la forme $\boxed{-27 + 35 k}$ où $k \in \Z$.

$45 \times 1+ 6 \times (-7)= pgcd(45,6)=3$.

Thierry Poma

@OShine : bonjour. Tu te fiches de qui.

Dans mon livre la technique n'est donnée que pour des nombres premiers.

Faux. Tu fais dire à l'auteur ce qu'il ne dit pas. Au début de sa technique, comme tu dis, il précise : soient $n$ et $p$ des entiers premiers entre eux.

D'autre part, dans son exemple, il considère un système de congruences où l'on voit $\mathrm{mod}\,8$ et $\mathrm{mod}\,21$. Je ne savais pas que $8$ et $21$ étaient des entiers premiers. C'est nouveau, ça vient de sortir.

Sais-tu lire au moins ? Comprends-tu ce que tu sais lire ? Ne fais pas dire à autrui ce qu'il n'a jamais affirmé, cela peut conduire à de graves problèmes. Assume ton incompréhension du concept. On n'est pas obligé de tout savoir ou tout comprendre.

Tu ferais bien mieux de t'occuper consciencieusement des tes futurs élèves, en leur dispensant d’excellents cours. Je pense que c'est utopique.

PS : j'avais prévu d'écrire une démonstration complète, mais c'est inutile. Tu serais capable de me faire dire ce que je n'ai pas dit, voire de ne rien comprendre. Je précise que tu es supposé être enseignant en Mathématique et pas un étudiant de première année d'université.

troisqua

J'ai l'impression d'avoir déjà lu tout ça. Et c'est amusant, parce que c'est même une sensation systématique...

Thierry Poma

troisqua : bonjour. J'en ai vraiment marre de voir un individu comme OS débiter des insanités. Il écrit des choses en prétendant que ce sont les siennes et il fait dire à autrui ce qu'il ne dit pas. Il est vraiment de mauvaise foi. Dire que Gérard nous avait averti en 2020. Deux années d'investissement pour rien ; je pense surtout aux autres qui ont perdu leurs temps précieux.

OShine

@Thierry Poma ce sont des choses nouvelles que je n'ai jamais étudiées dans ma scolarité.

Mais je vais relire le cours .

troisqua

@Thierry Poma  : tout cela n'a rien à voir avec les mathématiques, cela pourrait être de l'histoire géographie, on en serait au même point. Il y a un problème psychologique chez un membre du forum et tout le monde ne veut se borner qu'à parler de math sous prétexte qu'ici on parle de math. Donc, ne voulant pas voir le véritable problème, on "parle" de math à OShine avec toute l'inutilité habituelle, l'énervement qui en découle, les mots blessants, et toujours la même certitude que c'est la seule attitude qu'il faut avoir (répondre à ses "questions"). Il y a, je pense, une autre attitude à avoir mais ce sujet, comme les questions d'OShine finalement, n'avance pas. Tout le monde semble enfermé dans sa vision (et moi aussi du coup !! )

lourrran

Thierry, je crois que tu es le seul à encore croire par épisodes qu'il peut progresser.

Ici, https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2377924/#Comment_2377924
tu disais 

Tu vois bien que lorsque tu cherches consciencieusement, tu trouves.

Je dirais plutôt que quand il y a 2 réponses possibles, et qu'on lui a dit que sa première réponse est fausse, alors, il finit par trouver la bonne réponse. Certes, le résultat est le même, il finit par trouver. Mais le message est assez différent.

On est très inquiet pour ses élèves.
Ce forum est un forum d'intérêt général. On doit tous penser à ses élèves avant tout.

OShine

Vous êtes hors-sujet avec l'exercice encore une fois.

troisqua

Démontre-le.

Amédé

OShine a dit :

@Amédé tu me parles chinois mais il n'y a pas besoin de sortir l'artillerie lourde pour résoudre la question a).

Ah? Parce que tu avais pourri le forum avec un fil de 300 message sur la factorisation des morphismes... Mais maître Oshine à parlé et préfère donner 20 lignes fausses pour résoudre cette question.

OShine a dit :

C'est un morphisme d'anneau donc un morphisme additif de groupes. 
Soit $x$ un élément du noyau. Alors $x [d]= 0 [d]$ donc $x$ est un multiple de $d$.
Le noyau est l'ensemble des multiples de $d$.

Non, l'ensemble des multiple de $d$, c'est $d\Z$ qui n'est pas inclus dans $\Z/n\Z$. Ça ne peut pas être le noyau que tu cherches. $n$ divise $d$ et diviser c'est contenir en terme d'idéal... Le noyau est l'idéal $d\Z/n\Z$ de $\Z/n\Z$... Peut-être reprendre les bases et lire un cours de terminale maths expertes...

troisqua

Ça ne sert à rien de parler "math" avec OShine. C'est même psychologiquement très mauvais pour lui (enfin c'est mon avis). Mais comme on est sur un forum de "math", on est fortement invités à ne parler que de "math". Imparable, certes. Et si on s'abstient de répondre, quelqu'un d'autre le fera et relancera la machine infernale.

OShine

Amédé les idéaux ne sont pas au programme de maths expertes. Et les morphismes de réduction non plus. 
Un idéal quotient ? Jamais vu ça.
Pas compris ta solution avec le noyau.

On bien l'hypothèse n et p premiers entre eux dans le cours.
Je ne disais pas n'importe quoi.

lourrran

Vous êtes hors-sujet avec l'exercice

Oui, mais on est en plein dans le sujet de ton problème.

Thierry Poma

@OShine ; tu te fiches du monde. Voici une copie écran de ce que tu as écrit, avant toute modification possible de ta part, par mauvaise foi. Je pense que tout le monde lira la même chose que moi, ce qui est différent de ce qu'affirme l'auteur du livre.

[Edit : merci à dp pour son message.]

Amédé

OShine a dit :

Amédé les idéaux ne sont pas au programme de maths expertes.

Sans blagues... Je parlais d'aller dans le plus basique.

OShine a dit :

Un idéal quotient ? Jamais vu ça.

Un idéal est avant tout un sous groupe et j'ai souvenir d'un fil à rallonge sur les groupes quotient. Ça fait un mois que tu inondes le forum avec ces structures quotient. Ça ne rentre pas, alors pose toi les bonnes questions. Reprend les bases.

Tu gagnerais du temps en allant préparer les séances pour tes classes.

OShine

Je maîtrise les bases sur les groupes quotients. 

Le cours ne s'applique pas sur les deux derniers systèmes. 6 et 45 ne sont pas premiers entre eux.

troisqua

Non, tu ne maîtrises pas la notion de groupe quotient, ni de quotient d'ailleurs.

JLapin

OShine a dit :

Je maîtrise les bases sur les groupes quotients. 

Le cours ne s'applique pas sur les deux derniers systèmes. 6 et 45 ne sont pas premiers entre eux.

Le paragraphe du cours que tu cites non mais as-tu pensé que la question d) pouvait avoir un lien avec les questions précédentes ?

Thierry Poma

@OShine : effectivement, 6 et 45 ne sont pas premiers entre eux. Ne peux-tu pas trouver un système de congruences équivalent à celui qui est donné ? Bonne journée !!

AD

Puisque vous ne pouvez pas vous arrêter par vous-même, on va fermer jusqu'à demain.
AD

On ré-ouvre.

Éviter les conseils à OShine, bien que justifiés, ils ne servent à rien. Il ne les lis pas et n'en teint aucun compte. 

Répondre mathématique, en donnant une solution.

AD

NicoLeProf

OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2378049/#Comment_2378049

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Tout d'abord, un grand merci à AD d'avoir ouvert de nouveau ce fil ! En effet, cela m'intéresse car cet exercice est pertinent pour les agrégatifs... ! Et il permet de mieux assimiler les bases pour le concours.

Donc je me permets de répondre mais purement mathématiquement !

Je pense que ce que Oshine a écrit ci-dessus n'est pas correct (mais je peux me tromper aussi bien sûr) car il me semble que tu parles de la question c) en écrivant cela.

Le noyau de $f$ ne peut pas être réduit à $\{\bar{0}\}$ sinon $f$ serait injective donc bijective (avec l'égalité des cardinaux). Alors que $m$ et $n$ ne sont plus supposés premiers entre eux dans cette question.

Le cas où $m$ et $n$ sont premiers entre eux a été traité dans b).

Ainsi, ce n'est pas aussi facile que cela. Et la suite de la question nous montre bien que l'image de $f$ n'est pas l'ensemble d'arrivée.

Je pense plutôt que :

-> le noyau est : $\ppcm(m,n)  \mathbb{Z} /mn \mathbb{Z}$ (en étudiant des exemples et en essayant de généraliser. J'ai une "preuve" mais je dois encore la travailler niveau rédaction, j'aimerais au moins savoir si je pars correctement)...

-> Du coup, pour montrer que l'image est isomorphe à $\mathbb{Z}/\ppcm(m,n) \mathbb{Z}$, j'ai très envie d'utiliser le premier théorème d'isomorphisme en quotientant par le noyau. Cela donne directement le résultat souhaité si : $\dfrac{\mathbb{Z}/mn \mathbb{Z}}{\ppcm(m,n)  \mathbb{Z} /mn \mathbb{Z}}$ donne bien  $ \mathbb{Z} /\ppcm(m,n) \mathbb{Z}$ (je n'ai encore jamais vu d'ensemble quotient, quotienté par un autre ensemble quotient hahaha, j'ai seulement été tenté de faire comme si c'était une division de fractions qu'on apprend au collège haha ! Si j'ai écrit n'importe quoi ici, je suis vraiment désolé... Et je n'ai pas vraiment d'autres idées pour le coup).

-> Enfin, pour la dernière partie de la question c), je pense que cela revient à dire que le système :

$ \begin{cases} z \equiv x   \pmod m \\z \equiv y    \pmod n \end{cases} $

admet une solution modulo $mn$ . Si je vois juste, c'est abordable : ce système se traduit facilement sous la forme d'une équation diophantienne et on conclut facilement que cette équation admet une solution si et seulement si $\pgcd(m,n)$ divise $x-y$ .

-> D'ailleurs pour la résolution des systèmes ensuite, tu peux toujours te ramener à une équation diophantienne de la forme : $am+bn = c$ (où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers donnés) qui a une solution si et seulement si $\pgcd(m,n)$ divise $c$ .

Edit : besoin d'un modérateur pour la commande cases qui ne donne pas le résultat voulu... Et je ne vois pas l'erreur, désolé !

Edit 2 : merci pour les corrections !

bd2017

Bonjour

Pour la question d) je préfèrerai utiliser ce qui a été fait avant. En effet tout est prouvé, il n'y a plus rien à faire sinon que de trouver une solution particulière. Et comme elles sont évidentes:  Par exemple pour la 1)  8  est solution-   2 )  pas de solution - 3)  49.

Julia Paule

Pour rester dans les maths.

Si $n$ et $m$ sont premiers entre eux :

$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}  \cong m \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z} $ (théorème d'isomorphisme)

$\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}  \cong n \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z} $

$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \cong m \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z} \times n \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z} $

$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \cong m \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z} + n \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z} $ (car la somme est directe)

$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \cong (m \mathbb{Z} + n \mathbb{Z}) / nm \mathbb{Z} $

$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / nm \mathbb{Z}$  (car $n$ et $m$ sont premiers entre eux)

Si $pgcd(n,m)=d$, on adapte.

Julia Paule

Sinon, de manière plus intuitive, essayons par exemple de résoudre le système, on peut le faire de tête :

$x \equiv 3  (\mod 4)$

$x \equiv 5 (\mod 7)$

On voit facilement que s'il existe une solution, alors l'ensemble des solutions est une classe d'équivalence modulo $28$ (car si $y$ est solution, alors $x$ et $y$ sont congrus modulo $4$ et $7$ donc modulo $28$).

Existe-t-il une solution ? On peut chercher dans l'intervalle $[0;27]$.

$x \equiv 3  (\mod 4) \Rightarrow x=3,7,11,15,19,23$ ou $27.$

$x \equiv 5  (\mod 7) \Rightarrow x=5,12,19$ ou $26$.

On voit qu'on a une solution dans l'intervalle : $19$, donc l'ensemble des solutions est $19 +28 \mathbb{Z}$.

Pourquoi existe-t-il une solution ?

Car il faut qu'il existe $(u,v)$ tel que $x=3+4u=5+7v$, donc $(3-5)$ est une combinaison linéaire de $4$ et $7$, donc doit être multiple de leur pgcd (qui est $1$) ; donc ça marche toujours si $pgcd(n,m)=1$, sinon il faut que $b-a$ en soit un multiple.

Peut-être pour mieux comprendre ce qui se passe : on peut imaginer un ensemble d'objets identiques qu'on regroupe par paquets de $28$ objets, puis le restant, par paquets de $4$ et de $7$, et ce qu'il reste à chaque fois : $3$ et $5$, le seul dénominateur commun est $19$.

Ceci n'est pas un conseil à O'Shine, mais lui montre (j'espère) ce qu'il y a derrière des symboles mathématiques.

[Utilisateur supprimé]

OShine a dit :

@Thierry Poma je ne comprends pas pourquoi tu compliques, un morphisme de réduction ce sont des $x$ partout, pourquoi tu mets des $u$ et des $v$ ?
Je ne comprends pas ce que tu fais.
Dans le cours l'application est avec des $x$ partout. 
Je ne vois pas comment montrer que $(\bar{x}_{[m]},\bar{y}_{[m]})$ est dans l'image si et seulement si $x \equiv y [\pgcd(n,m) ]$.

@lourrran et d'autres t'ont déjà dit pourquoi @Thierry Poma a raison là dessus et que ta remarque est naïve. Sinon pour répondre à ce que @Thierry Poma te demandait, il suffit de connaître un vieux bonhomme qui s'appelle Bézout. Le problème est accessible aux premières S.

OShine

Je laisse tomber l'exercice trop d'informations sur le fil je suis perdu.

En plus je ne comprends pas la logique de l'exercice ni à quoi servent les questions a b et c.
Je le ferai en cours particulier.

[Utilisateur supprimé]

C'est l'un des exos les plus simples en algèbre, vaut mieux ne pas laisser tomber.

NicoLeProf

OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2378280/#Comment_2378280

Ah @Oshine, si cela ne te dérange pas, j'aimerais du coup bénéficier de la correction si possible, au moins de la question 1. c) car je ne suis ni convaincu par mes réponses ni par ma rédaction... Donc si tu peux me fournir un corrigé après ton cours particulier, je t'en serai très reconnaissant ! ^^'

troisqua

@NicoLeProf: tu peux montrer la proposition plus générale suivante:

Soit $\pi$ la projection canonique d'un anneau $A$ sur l'anneau quotient de $A$ par un idéal $I$ de $A$ ($\pi$ est un morphisme surjectif d'anneaux). Soit $f$ un morphisme de $A$ vers un anneau $B$ tel que $I\subset\ker f$. Alors il existe un unique morphisme $\overline{f}:\frac{A}{I}\to B$ tel que  $f=\overline{f}\circ\pi$.

L'unicité est très simple. J'imagine que c'est définir proprement $\overline{f}$ qui peut questionner un peu. Personnellement, je dirais que si $c\in\frac{A}{I}$ alors $f$ est constante sur cette classe $c$ (facile à voir) et qu'on peut donc associer à $c$ cette constante qu'on va noter $\overline{f}\left(c\right)$. On a alors pour tout $x\in c$, $f\left(x\right)=\overline{f}\left(c\right)=\overline{f}\left(\pi\left(x\right)\right)$ et le reste est alors très facile à montrer.