Équation linéaire diophantienne à 7 variables

Fibonacci

Je me suis amusé, avec une méthode que j'ai imaginée, à résoudre une équation linéaire diophantienne à 7 variables et à en fixer la solution. Je n'ai trouvé nulle part une méthode pour résoudre des équations à plus de 3 variables. Quelqu'un peut-il me donner des indications ? Merci d'avance.
Je ne poste pas la solution car il est possible  que je l’envoie à un magazine, mais je peux volontiers l'envoyer en mail privée à quelqu'un qui donnera ensuite son avis sur le forum.

etanche

@ Fibonacci poste ta méthode pour cette exemple. Et envoie une autre équation du même genre 
au magazine. Merci 

GaBuZoMeu

Bonjour,

On connaît depuis longtemps une méthode algorithmique pour résoudre en entiers un système linéaire à coefficients entiers (quel que soit le nombre d'équations et le nombre d'inconnues). Voir par exemple https://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/alglinent.pdf

noix de totos

Quant à l'aspect théorique de ces questions, il est, lui aussi, bien connu depuis longtemps : c'est la théorie des dénumérants, un terme créé par Sylvester qui aimait bien inventer de nouveaux mots.

Soient $a_1,\dotsc,a_k$ des entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble. Le dénumérant $D_k(n)$ est le nombre de solutions entières naturelles de l'équation diophantienne  $a_1 x_1 + \dotsb + a_k x_k = n$.

Comme c'est très bien expliqué dans ce livre https://www.amazon.fr/Arithmetic-Tales-Advanced-Universitext-English-ebook/dp/B08P6VCK68/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=2FWFEGFO2BI30&keywords=arithmetic+tales&qid=1661499667&sprefix=arithmetic+tales%2Caps%2C77&sr=8-1, la fonction génératrice du dénumérant $D_k(n)$ associé à l'équation diophantienne linéaire $a_1 x_1 + \dotsb + a_k x_k = n$ est assez facile à calculer. Cette fonction ayant $1$ comme pôle d'ordre $k$ est des racines de l'unité d'ordre $< k$, il est usuel de la développer en fractions rationnelles, puis d'en déduire la formule (théorique) suivante :
$$D_k(n) = \frac{1}{a_1 \dotsb a_k} {n+k-1 \choose n} + \frac{a_1 + \dotsb + a_k - k}{2 a_1 \dotsb a_k} {n+k-2 \choose n} + \sum_{j=1}^{k-2} c_j {n+j-1 \choose n} + \sum_{j=1}^k \sum_{h=1}^{a_j-1} A_{a_j}(h) \zeta_{a_j}^{-nh}$$
où les coefficients $c_j$, $j=1, \dotsc,k-2$ sont difficiles à calculer, mais on a une formule, 
$$A_{a_j}(h) := \frac{1}{a_j} \prod_{\substack{\ell=1 \\ \ell \neq j}}^k \left( 1 - \zeta_{a_j}^{a_\ell h} \right)^{-1}$$
et $\zeta_{a_j}$ sont des racines $a_j$-èmes de l'unité.

Fibonacci

J'aimerais beaucoup voir comment la méthode s'applique à l'équation que j'ai postée. Je l'ai résolue facilement et avec un peu plus d'une page de calculs. Si vous le souhaitez je peux vous envoyer la solution en mail privé mais je n'ai pas l'intention de la divulguer pour le moment (même si cela me semble impossible [que] personne n'ait encore pensé à une procédure aussi simple). Vous pourrez commenter le Forum sans divulguer la procédure (que j'aimerais envoyer à un magazine italien pour professeurs de mathématiques). Le magazine n'accepte que les documents non publiés.

GaBuZoMeu

Peux-tu modifier ton message pour qu'il soit lisible ? Merci.

[C'est fait. AD]