Somme de deux carrés

celrek19
Modifié (August 2022) dans Algèbre
j'aimerais de l'aide pour demontrer cette propriété svp

Réponses

  • Dire que $A$ est la somme de deux carrés, c'est dire que $A$ est le carré du module d'un complexe de la forme $x+\mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ entiers. Que peux-tu dire de $A^n$ dans ce cas ?
  • une récurrence ? sachant que   (a² + b²)(c² + d²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • A puissance n est la puissance n-iéme du module d'un complexe de la forme x+iy
  • lourrran
    Modifié (August 2022)
    Passer par les complexes me semble compliqué. Surtout si l'idée est d'expliquer aux camarades en difficulté.
    $x^2+y^2=A^2$
    ... et on cherche des entiers $x'$ et $y'$, qui donneraient $x' ^2+y' ^2 = (A^n)^2$
    $(A^n)^2$ , c'est $A^{2n}$, ou aussi $A^{2(n-1)} \times A^2  $

    Si on multiplie l'égalité initiale par $A^{2(n-1)}$ ... on  aura notre $(A^n)^2$ à droite, et on aura quoi à gauche ? la somme de 2 carrés ?


    Edit suite à la remarque de JLT:  
    Mauvaise lecture de l'énoncé : $x^2+y^2=A$ et non $x^2+y^2=A^2$
    pour n impair, l'idée proposée fonctionne, mais pas pour n pair. 
    Tout faux.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • celrek19
    Modifié (August 2022)
    En fait l'exercice en lui me est une situation d'évaluation donnée après notre cours de complexes du coup je pense que @Math Coss rentre bien dans ma situation d'évaluation.
  • @lourrran relis l'énoncé.
  • Comme lourrran, je ne vois pas ce qu'il y a de complexe là-dedans. On a : 
    $A^{2 n} = (A^n)^2 + 0^2$
    $A^{2 n + 1} = A (A^n)^2$
    Du coup, la propriété est évidente, non ?
  • Oui comme ça ça marche.
  • Math Coss
    Modifié (August 2022)
    Je poursuis sur ma lancée, même si c'est moins efficace que ce que propose @Bibix : la puissance $n$-ième du module est le module de la puissance $n$-ième.
  • Quant à leur professeur, il pourrait améliorer ses connaissances sur l'orthographe, et en particulier sur l'accentuation française ainsi que sur les notations françaises ($\geqslant$ et non pas $\ge$).
  • J'ai proposé un raisonnement par recurence simple et rapide.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Qui repose sur une identité classique, qu'il est bon de connaître mais difficile à inventer, qui traduit exactement que le module du produit est le produit des modules.
  • gebrane
    Modifié (August 2022)
  • Pas besoin de connaissances particulières sur les nombres pour l'exercice en distinguant puissance paire et impaire. L'écriture complexe est utile tout de même pour le problème similaire de vérifier que les polynômes sommes de deux carrés sont stables par produit (et ainsi obtenir leur caractérisation).
    Pourquoi l'exercice est-il posé sous une forme si "CAPESienne" au fait ?
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