Convergence de cette série ?

Julia Paule

En effet @SkyMtn, je n'ai plus pensé au critère de Cauchy pour les intégrales impropres. Mon laïus était juste un essai d'approximation pour m'exercer, que j'ai écrit avec beaucoup de précautions.

@gebrane, pas de problème pour ça, l'intégrale est absolument convergente pour $Re(z)>0$ comme vu plus haut.

Julia Paule

Oups, en poussant un peu plus loin et sans faire d'approximation au départ, avec $Im(z)=1$ et avec le changement de variable $x=\ln u$, l'intégrale avec le $\sin$ devient : $- \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac {\sin x} {e^{x Re(z)+e^{-x}} }\text{d}x$ qui est visiblement divergente pour $Re(z) \leq 0$, le $e^{x Re(z)-e^{-x}}$ au dénominateur étant trop faible pour contrebalancer les oscillations du $\sin x$ au numérateur, et même, venant l'amplifier (pour $Re(z)=0$ et en négligeant $e^{e^{-x}} \rightarrow 1$, l'intégrale $- \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin x \text{d}x$ est notoirement divergente).

En espérant ne pas avoir dit des bêtises cette fois.

gebrane

Bonjour Julia, je reconnais je ne suis pas ce fil mais la tu t'intéresses à quelle question là?

Homo Topi

On se demandait si l'intégrale était peut-être semi-convergente en dehors de la zone $\text{Re}(z)>0$, puisque la convergence de l'intégrale sur justement cette zone se démontre par une convergence absolue. Elle a eu le courage de se lancer dans les calculs, moi je me suis occupé avec autre chose exprès pour avoir une excuse de ne pas les faire.

gebrane

Ok merci @Homo Topi, on a donc pour z=a+ib une fonction $f_z : \R_+ \to \C $ définie par 
$\forall t>0, f_z(t)=t^{z-1}e^{-t}=t^{a-1}t^{ib}e^{-t}=t^{a-1}e^{ib\ln(t)}e^{-t}
=t^{a-1}e^{-t}\cos(b\ln t)+it^{a-1}e^{-t}\sin(b\ln t)$
Par définition l 'intégrale $\int_0^{+\infty} f_z(t) dt$ est convergente ssi les deux intégrales $\int_0^{+\infty} t^{a-1}e^{-t}\cos(b\ln t) dt$ et $\int_0^{+\infty} t^{a-1}e^{-t}\sin(b\ln t) dt$ sont convergentes .

C'est cela ou bien je me gourre ?

Homo Topi

C'est ça.

gebrane

Merci, normalement il suffit de démontrer pour $a\leq 0$ que $\int_0^{1} t^{a-1}e^{-t}\cos(b\ln t) dt$ est divergente. Sûrement la preuve serait très technique avec le critère de Cauchy. Le courage me manque aussi.

Julia Paule

Il s'agit d'établir : $\exists \varepsilon >0,\ \forall c >0,\ \exists x,y \geq c$ tels que $\Big|\displaystyle \int_x^y \dfrac {\sin t} {e^{t Re(z)+e^{-t}} }\text{d}t\Big| \geq  \epsilon$.

Cela doit pouvoir se montrer en prenant un intervalle $[x,y],\ x\geq c$ tel que $\sin(t) \geq 1/2$ sur l'intervalle. Alors, on l'obtient vu le dénominateur $<1$.

gebrane

Ta preuve est approximative, pourquoi
tu as pris im(b)=1?
il faut préciser ton $\epsilon$  et tes x,y qui dépendent de ton c pour minorer le sinus?
Pourquoi tu dis que le dénominateur est < 1 ?

Julia Paule

J'ai donné l'idée, la preuve s'écrit ensuite facilement, et je suis passée à autre chose.

Merci de ton intérêt !

gebrane

Bonsoir Julia, j'ai une critique pour le bien des étudiants qui nous lisent 

Julia Paule a dit :

J'ai donné l'idée, 

Ton critère ci-dessous n'est pas correct.

Il s'agit d'établir : $\exists \varepsilon >0,\ \forall c >0,\ \exists x,y \geq c$ tels que...

Voir wiki sur le critère de Cauchy  . Ici l’intégrale pose problème en 0 donc Il s'agit d'établir : $\exists \varepsilon >0,\ \forall c>0 ,\ \exists x,y \in ]0,c]$ tels que...

Julia Paule

gebrane, où vois-tu que le problème de l'intégrale : $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac {\sin (Im(z) t)} {e^{t Re(z)+e^{-t}} }\text{d}t$ est en $0$ ?

gebrane

J'ai parlé du mien  c'est-à-dire $\int_0^{1} t^{a-1}e^{-t}\sin(b\ln t) dt$, donc erreur de ma part ( j'avais zappée que tu as fait un changement de variable et donc tu as transformée le problème en l'infini). Je retire ma critique, et à la même occasion je viens de comprendre pourquoi tu as dit que le numérateur est <1 ( tu prends t assez grand pour que t Re(z)+e^{-t} soit négatif