Centre de symétrie d'une courbe d'une fonction

RaniaTira

Salut tout le monde.

J'ai cette question.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R $ telle que sa courbe admet un centre de symétrie $I(a, b)$.

Est-ce que si $f(x_1)+f(x_2)= 2b$, alors $x_1+x_2=a$ ? Sinon, est-ce qu'il y a des conditions pour que cette propriété soit vraie ?
Merci en avance. 

bisam

Si tu prends pour $f$ la fonction nulle, avec $a=b=0$, alors pour n'importe quel couple $(x_1,x_2)$, tu as $f(x_1)+f(x_2)=2b$ mais très rarement $x_1+x_2=2a$.

Dès que la fonction prend plusieurs fois la même valeur, la propriété sera fausse.

Si elle est injective, il est probable que cela fonctionne... Je te laisse le vérifier.

RaniaTira

Merci pour votre réponse.
Donc, cette propriété est probablement vraie si la fonction est injective. Je suis d'accord avec vous. 

stfj

Voici une preuve (qui se veut) rigoureuse( ): 
On se place dans l'espace affine $\mathbb{R}^2$.
Définissons d'abord la symétrie $s_I$ de centre $I=(a,b)$. C'est l'application affine de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, qui au point $M=(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$ associe la point $M'=(x',y')$ tel que $I$ soit le milieu de $[MM']$. C'est-à-dire $\frac12(M+M')=I$. Or, $$\frac12(M+M')=I \iff M+M'=2I \iff M'=2I-M \iff (x',y')=(2a-x,2b-y)$$remarque 1: notre propos s'applique en particulier au cas où $I=0$, cas classique des fonctions dites impaires.
Nous pouvons alors traduire formellement la première phrase de l'exercice de @RaniaTira : 
$I$ centre de symétrie de $f$ $\iff s_I(\mathcal{C}_f)=\mathcal{C}_f$[, où $\mathcal{C}_f$ désigne le graphe de $f$] $\iff \forall M=(x,f(x)) \in \mathcal{C}_f , s_I(M) \in \mathcal{C}_f \iff \forall x \in \mathbb{R}, (2a-x,2b-f(x)) \in \mathcal{C}_f \iff  \forall x \in \mathbb{R}, f(2a-x)=2b-f(x)$
Soit alors $(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2$ tel que $f(x1)+f(x2)=2b$. On a $f(2a-x_1)=2b-f(x_1)$ et $f(2a-x_2)=2b-f(x_2)$.
Donc $f(2a-x_1)+f(2a-x_2)=2b+2b-f(x_1)-f(x_2)=2b$ par hypothèse.
Donc $f(2a-x_1)=2b-f(2a-x_2)=f(2a-(2a-x_2))=f(x_2)$.
Donc, si f est injective, $2a-x_1=x_2$ et $x_1+x_2=2a$[ne pas oublier le "2" comme l'a fait remarquer @bisam]. qed.
Remarque 2: cette preuve formelle risque de réclamer un peu d'attention car je n'ai pas toujours pris la peine de faire des renvois clairs à ce que j'utilise au cours de la preuve et que j'ai démontré auparavant par un jeu de couleurs par exemple ou encore d'astérisques. Je n'ai pas fait non plus les dessins sur lesquels je me suis appuyé pour la construire. Il m'a semblé utile de la faire in extenso même si cela peut aller à l'encontre d'une règle du site car c'est une occasion simple d'utiliser de la géométrie très élémentaire dans le cadre d'une démonstration élémentaire d'analyse, occasion qui pourrait peut-être convaincre des lecteurs non encore convaincus de la pertinence de l'outil géométrique qu'est l'espace affine $\mathbb{R}^2$ souvent présenté un peu tardivement dans le cadre des études supérieures. J'espère donc qu'elle pourra être de quelque utilité.
Cordialement.

RaniaTira

@stfj
Merci beaucoup. C'est très clair. 

stfj

@RaniaTira : bien . Chez certains auteurs, on remplacera tout mon bla-bla par "En se ramenant par translation au cas où $I=0$, on est ramené à démontrer le résultat dans le cas des fonctions impaires, où le résultat est alors évident." Mais, qu'on utilise cet artifice ou pas, il faut bien savoir ce qu'on appelle "se ramener par translation à..." et rien de mieux pour cela que de l'avoir fait une fois ou deux in extenso. Après, on se ramène par translation à...