Recherche d'une fonction concave croissante

Question12

Bonjour

Soit $(X, \mu)$ un espace probabilisé et $f$ une fonction $\mu$-mesurable prenant ses valeurs dans $[0; +\infty]$. On suppose que $f$ est telle que $\mu(f = +\infty) = 0$.

Question : comment construire une fonction $h$ concave croissante de $\mathbb{R}^{+}$ dans $\mathbb{R}^{+}$ de limite $+\infty$ en $+\infty$ telle que

$\int_{X} h \circ f d \mu < +\infty$ ?

Tentative de résolution : essayons avec $h : t \mapsto \int_{0}^{t}(h(s)\mu(f > s) ) ds$ (avec $h$ continue décroissante constante au voisinage de $0$ et valant $\frac{1}{s^{2}}$ ailleurs). La dérivée est positive décroissante donc $h$ est concave croissante. Ensuite,
 $\int_{X}h \circ f d\mu = \int_{X} (\int_{0}^{f}\mu(f > s)ds )d\mu = \int_{X} (\int_{0}^{f}h(s)\int_{(f > s)}d \mu ds )d\mu = \int_{X} (\int_{0}^{+\infty} h(s)\mu(f > s) ) d\mu \leq \int_{X} \int_{M}^{+\infty}\frac{1}{s^{2}}ds d\mu + cst < +\infty$ si $M$ est tel que $\mu(f > s) < 1$ pour tout $s > M$ (il est possible de trouver un tel $M$ puisque $\mu(f = +\infty) = 0$) . Problème : $h$ n'a pas forcément une limite $+\infty$ en $+\infty$.

Passez une bonne journée (et merci d'avance).