Le corps $\Bbb{F}_p$ et les congruences...
Bonjour.
C'est l'exercice 8.4.
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas dire que x est d'ordre 8 dans $F_p$ donc $p$ est un multiple de $8$.
Pour la suite j'ai relu le cours sur les groupes cycliques mais je ne trouve pas pourquoi il existe un élément $x$ dans $F_p ^{*}$ d'ordre $8$.
Je sais que si un groupe G cyclique est d'ordre n alors il existe un élément d'ordre n.
Mais je n'arrive pas à adapter ici avec le multiple.
C'est l'exercice 8.4.
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas dire que x est d'ordre 8 dans $F_p$ donc $p$ est un multiple de $8$.
Pour la suite j'ai relu le cours sur les groupes cycliques mais je ne trouve pas pourquoi il existe un élément $x$ dans $F_p ^{*}$ d'ordre $8$.
Je sais que si un groupe G cyclique est d'ordre n alors il existe un élément d'ordre n.
Mais je n'arrive pas à adapter ici avec le multiple.
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Réponses
Pour la suite les multiples de $8$ non nuls sont $8,16,24$ etc...
D'après le théorème sur les sous-groupes d'un groupe cyclique il existe un élément d'ordre $8$ car $8$ divise tous les multiples non nuls de $8$.
Là tu es sur un cours qui ne parle presque exclusivement que du groupe multiplicatif de ces corps, tu pardonneras le/la/les auteurs de ne pas avoir mis la sainte étoile.
Soit $x$ d'ordre $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$.
Posons $C_n= <x>$. Il contient alors $n$ éléments et il est cyclique.
Alors on peut écrire $n=d d'$.
Comme $x$ est générateur de $C_n$, l'ordre de $x^d$ vaut $\dfrac{n}{ pgcd(n,d) }$
Mais $d \mid n$ donc $pgcd(n,d)=d$. Finalement $\boxed{o(x^d)=\dfrac{n}{d} =d'}$
Je suis content de savoir utiliser le cours.