Centenaire des k-Tuple conjectures

stfj

Bonjour. 
   Les k-Tuple conjectures* ont été, sauf erreur, énoncées par Hardy et Littlewood en 1923. Bientôt donc leur centenaire.
A leur propos sans doute, il y a la fameuse phrase qu'on trouve au début de An introduction to the theory of numbers : 
"Such conjectures, with larger sets of primes, may be multiplied, but their proof or disproof is at present beyond the ressources of mathematics."(1938, si je me réfère à la première édition)
Cette phrase portait sur ce qu'on appelle parfois en français les constellations du type $(p,p+2,p+6)$ et $(p,p+4,p+6)$.
   Conscient que ces problèmes d'énoncés extrêmement simples suscitent parfois des "délires" d'amateurs des mathématiques sans intérêt, je voulais néanmoins tenter ici un échange constructif d'informations sur les k-Tuple conjectures.
   Il y a de nombreuses voies pour aborder les k-Tuple conjectures, les voies élémentaires auxquelles j'ai fait allusion plus haut, et les voies des spécialistes de la théorie des nombres. Entre les deux, un large éventail de voies en fonction des connaissance de chacun, devrait nous permettre de nous enrichir les uns les autres, si chacun veut bien tenir compte des éventuelles lacunes des autres ou au contraire de ce que les autres peuvent apporter sur les k-Tuple conjectures.
   Au plaisir de lire vos échanges et d'y participer dans la mesure de mes moyens. Bon centenaire avec un peu d'avance .
   Cordialement.
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* Désolé, je ne sais pas le dire en français. Peut-être les "conjectures concernant les constellations de $k$ nombres premiers". 

Sylvain

"Conjectures portant sur les $k$-uplets".

stfj

@Sylvain : salut . J'ai une question/réponse "bête". Même en se limitant aux $2$-uplets, une question simple d'importance se pose dès le départ : par exemple, doit-on considérer $(7,37)$ comme un $(p,p+30)$ ou doit-on l'exclure de l'étude des $(p,p+30)$ en limitant l'étude des $(p,p+30)$ aux couples de nombres premiers $(p,p+30)$ tels que $p$ et $p+30$ sont consécutifs ? En ce qui me concerne, l'intérêt mathématique du caractère consécutif des nombres premiers me paraît contestable. Par exemple, une affirmation vraie si l'on adopte dans la définition d'un $(p,p+30)$ l'exigence du caractère consécutif, une affirmation telle que : $$(4831,4861)\text{ est le premier couple de (p,p+30)}$$ est d'un intérêt mineur en mathématiques.
Et pourtant, cette définition est adoptée non seulement par des amateurs, mais aussi par des chercheurs  tels que Odlyzko, A.; Rubinstein, M.; and Wolf, M. cités dans l'article de Wolfram. Ce qui les a obligés à faire des recherches sur des nombres entiers gigantesques, alors qu'on peut observer les phénomènes qu'ils ont mis en évidence sur des petits entiers.

stfj

Par exemple, considérons l'intervalle $[\![5{,}000{,}000;10{,}000{,}000 ]\!]$ [Les virgules pour séparer les paquets de trois chiffres sont un humble hommage à Hardy-Wright qui procèdent parfois ainsi dans leur livre]. Il y a $26{,}517$ couples $(p,p+2)$ dans cet intervalle. Il y a $35{,}132=\frac43\times 26{,}349$ couples de $(p,p+10)$. Ce qui confirme les conjectures de 1923, où il est bien prévu $\prod_{q \text{ prime}, q|5}\frac{q-1}{q-2}=\frac43$, puisque $26{,}517\approx 26{,}349$.

Boécien

Bon anniversaire! Attention shtam
Soit la suite $z_{1}=1$ et

$$z_{n+1}=z_{n}+\gcd\left(n,z_{n}(z_{n}+2)(z_{n}+6)\right)$$ alors il y a une infinité de $n$ tels que $z_{n}=2(n+1)$ et pour ces $n$ là on a $n+1$,$n+3$ et $n+7$ qui sont simultanément premiers.
Un petit programme donne comme premiers de ces $n$:$$10,~40,~100,~1\,426,~8\,860,~19\,990,~59\,440,~127\,030,~257\,860,~515\,770,~1\,105\,336$$

stfj

Ici, vous trouverez la définition des constellations avec l'exigence du caractère consécutif des nombres premiers envisagés ("un $k-$uplet est une suite de $k$ nombres premiers consécutifs").

stfj

Ici, il est question des jumping champions (terme inventé par John Conway en 1993). Odlyzko, Rubinstein et Wolf (1999) ont utilisé un argument heuristique pour estimer que $6$ reste le seul champion de $947$ à environ $1.7427.10^{35}$, où $30$ devient le champion. De plus, ils estiment que $30$ est remplacé comme champion par $210$ autour de $x=10^{425}$. Erdös et Straus ont montré que cette deuxième conjecture découle d'une forme de la conjecture portant sur les $k-$uplets.
Ce que j'ai constaté avec l'aide de collègues, c'est que l'on peut observer des résultats similaires sur de petits entiers, à la seule condition d'abandonner dans la définition d'un $(p,p+30)$ par exemple le caractère consécutif et de considérer par exemple $(7,37)$ comme un $(p,p+30)$. Nous considérons même, en dépit des grands noms associés à ces travaux (Conway et Erdös par exemple) qu'il n'est pas pertinent de conserver le caractère consécutif dans les études à venir.

LEG

Bonjour 
il y a sur le site du Sayrac de R L Clerc un bon travail qui a été fait au sujet de ces conjectures.

http://sayrac.rlc.free.fr/constellation0.php

http://sayrac.rlc.free.fr/rarete.php.

D'autre part on peut remarquer que le modulo 6 , n'apporte rien de plus que le modulo 30 , si ce n'est que les multiples de 3 ou 5 en plus, donc qui n'ont aucun intérêt..

Je m'étais amusé , à regarder la densité de ces nombres par Famille "série" 30k + 11 et 30k +13.

Pour moi , la répartition de ces k_uplets est ""algorithmique"" , que ce soit pour les nombres premiers jumeaux , cousin , sexy...etc etc et tendent vers l'infini lorsque l'algorithme modulo 30,  tend vers l'infini.

Ce petit fichier permet de se rendre compte de la densité de ces k_uplet par tranche de 100 nombres premiers dans ces suites arithmétiques de raison 30,

c'est à peu près équivalent et oscillatoire ...

lourrran

Les mathématiciens considèrent qu'étudier les nombres premiers, c'est 'utile' pour tenter de voir ce qui se passe dans les zones qu'on ne connaît pas. Ils s'intéressent aux propriétés qui vont devenir vraies pour les grands nombres, peu importe qu'elles soient vraies ou pas pour les nombres accessibles.
Les amateurs ont une démarche inverse. Ils s'intéressent aux propriétés vérifiables sur des petits nombres, sans se soucier de savoir si elles resteront vraies pour les nombres très très grands.

Rescassol

Bonjour,

Hardy, Littlewood, Conway, pour ne citer que ceux là, étaient loin d'être des amateurs.
Et si l'on ne regardait jamais les nombres "accessibles", la notion de conjecture n'existerait peut-être pas.
Fermat était il un amateur ?

Cordialement,
Rescassol

lourrran

Je n'ai aucun problème avec le fait de regarder les nombres 'accessibles'. Comme tout le monde, j'ai fouillé aussi parmi les petits nombres premiers.

Mais les gens que tu cites sont dans la première catégorie. Ils regardent les propriétés vérifiables, en se focalisant sur celles qui peuvent/doivent rester vraies pour les plus grands nombres.
S'il voient un truc vrai pour 2x3x5, ils se disent qu'il est probablement vrai aussi pour 2, 2x3, 2x3x5x7 etc etc. Ils ne font pas un blocage sur 2x3x5, sous prétexte que dans l'ensemble des nombres facilement manipulables, on n'arrive pas à constater les mêmes choses sur 2x3x5x7.
Ils vont conjecturer que ce qui est vrai pour 30 l'est également pour 210

stfj

@lourran : lourrran a dit :

 dans l'ensemble des nombres facilement manipulables, on n'arrive pas à constater les mêmes choses sur 2x3x5x7.

Est-ce que tu pourrais être plus précis, s'il te plaît, sur au moins "une chose" qu'on n'arrive pas à constater sur $2\times3\times5\times7$ ? 
Cela fait quelques temps que je ne m'y suis pas replongé sérieusement, mais il me semble me rappeler que nous observions, sur des petits nombres, des résultats intéressants concernant $2\times3\times5\times7\times11\times13\times17$ au moins, voire $9{\,}699{\,}690$. En outre, ces résultats ne sont pas uniquement liés à des conjectures associées à des noms plus ou moins célèbres, mais aussi à des propriétés mathématiques démontrées.

Boécien

Reprenons mon petit algorithme shtamesque du haut inspiré d'un article en ligne. Pour avoir des quadruplets de premiers $(p,p+2,p+6,p+8)$ il suffit de partir de $z_1=1$ et de calculer $z_{n+1}=z_{n}+\gcd\left(n,z_{n}\left(z_{n}+2\right)\left(z_{n}+6\right)\left(z_{n}+8\right)\right)$.

Lorsque $z_{n}=2(n+1)$, ce qui devrait arriver une infinité de fois, alors $(n+1,n+3,n+7,n+9)$ est un quadruplet de premiers.

Avec pari gp j'obtiens ainsi
z=1;for(n=2,1000000000,z=z+gcd(n,z*(z+2)*(z+6)*(z+8));if(z==2*n+2,print1(n+1,"")))

$11,101,15641,490571,1798631,6156971,12382631,25117241,50693051,104051111, \ldots$
et on a bien $(11,13,17,19),\ (101,103,107,109),\ (15641,15643,15647,15649),\ (490571,490573,490577,490579)$ etc.
qui sont des quadruplets de premiers.

La preuve du fait que $z_{n}=2(n+1)$ implique $(n+1,n+3,n+7,n+9)$ premiers est déjà difficile je pense.
Alors montrer que cela arrive une infinité de fois je n'en parle pas !

stfj

@Boécien : $(490571,490573,490577,490579)$. C'est en effet un $(p,p+2,p+6,p+8)$ . 

LEG

@Rescassol Je ne pense pas , mais je pense que dans le domaine de la répartition des nombres premiers petits ou grands,  lourrran en est probablement un...

D'autant qu' il y a plus de deux siècles il bien fallu commencer par ces nombres accessibles, surtout sans informatique...! Pour en tirer des lois mathématiques, toujours utilisées à l'heure actuelle !

Ensuite, où est le problème pour les grands nombres premiers ou leur densité par Famille 30k +i ou autre... 

Qu'elle zone ? $10^{40}$ par exemple ? Qu'elle propriété ? Il suffit de supposer vraie HR pour en avoir une idée, car il serra impossible de prouver le contraire..! Ou encore d'utiliser les fonctions asymptotiques du TNP et leur variante ... pour se faire une idée de leur densité par famille !

Il est à noter la remarque suivante, qui à mon avis n'a aucun sens :

Comparer le nombre de premiers sexy avec le nombre de premiers jumeaux ... puisqu'il n'y a pas le même nombre de familles jumelles Fj de nombres premiers, de la forme  30k + i  ayant un écart de 2 
Avec les  familles jumelles de la forme  30k + i , ayant un écart  de 6.

Fj tel que $p$ et $p+2$  soit premiers , 3 Fj=  30k +11 et 30k +13 ; 30k +17 et 30k +19  ; 30k +29 et 30k +31

Fj tel que $p$ et $p+6$  soit premiers , 4 Fj=  30k +31 et 30k +7 ; 30k +11 et 30k +17  ; 30k +17 et 30k +23 ; 30k +23 et 30k +29 .

Sachant que l'algorithme modulo 30 Ératosthène va extraire la même densité de nombres premiers pas famille, selon le même principe de fonctionnement, quelque soit une de ces 8 famille de 1 à n

ou de 1  à n , avec l'algorithme modulo 30 de Goldbach , utilisant les congruences et selon le même principe de fonctionnement , qui indiquera les nombres premiers de n à 2n par famille... 

La seule différence par Famille 30k +i , c'est l'index de démarrage du crible des 8 nombres premiers qui criblent,  créant ces écarts entre nombres premiers... Le petit fichier joint au dessus en exemple , l'illustre très bien.

Prenez les deux F j =  30k +11 et 30k +13  et dites moi, si il y a moins de premiers jumeaux que de premiers sexy
 dans les deux F j = 30k + 11 et 30k +17 , inférieur à la limite n = 3 000 000 000 000 ?  par tranche de 1000 , ainsi que leur densité ...

Calculez pour cet exemple, l'estimation asymptotique de ces deux couples de F j  ...

Bonne journée .

Boécien

C'est quoi cette lubie du modulo 30?

stfj

Entre $0$ et $5{\,}000{\,}000$, il y a $32\,308$ $(p,p+4)$ et $124\,724$ $(p,p+30{\,}030)$ à condition évidemment de définir un  $(p,p+30{\,}030)$ sans exiger le caractère consécutif de $p$ et de $p+30{\,}030$ [par exemple, $(17,30\,047)$ EST un $(p,p+30\,030)$].
D'après les conjectures d'Hardy-Littlewood - je préciserai volontiers pour ceux qui les connaissent mal ou pas du tout-, il y a $\frac{128}{33}=3,878787...$ de fois plus de $(p,p+30{\,}030)]$ que de $(p,p+4)$ : on le vérifie ici puisque $\frac{124\,724}{32\,408}=3,860...$
Pour ceux qui comme moi sont peu enclins aux conjectures sans fondement mathématique, je signale qu'il existe un résultat théorique simple, démontré où ce coefficient $\frac{128}{33}$ apparaît.

[En $\LaTeX$ \, fait un petit espacement utile pour séparer les grands nombres par tranches de milliers. AD]

lourrran

Oui, il y a beaucoup de couples (p,p+30) avec p et p+30 tous les 2 premiers.
Mais regarde les couples (p,p+180), (p,p+210) et (p,p+240).  Tu vas voir que les couples (p, p+210) sont plus nombreux que les couples (p,p+30), alors que les (p,p+180) ou les (p,p+240) sont moins nombreux que les (p,p+30).
Enfin je suppose. Je n'ai fait aucune vérification, mais c'est juste de la logique.  Et on peut même estimer le résultat : quasiment $(7/6)*124724$ couples (p,p+210) où p et p+210 seraient tous les 2 premiers.
Et rebelote, les (p,p+2310) seront encore plus nombreux.
Pour les couples (p,p+2x3x5x7x11x13), ça risque de ne pas être vrai, parce que la limite à 5000000 va peut-être être trop basse. Mais en mettant une limite plus haute, ce serait également vrai.

Ceci pour illustrer mon précédent message, ou pour répondre à la question de Boécien sur cette lubie autour de 30.
Tout ce qu'on constate autour du nombre 2x3x5=30, ça se reproduit à coup quasi-sûr pour n'importe quel nombre de la forme $p_1 \times  p_2 \times  ... \times  p_k$

On peut même généraliser encore plus.
On a beaucoup de couples (p,p+30) qui sont premiers.
On a aussi beaucoup de couples $(p, p+2 \times 3 \times  7)$ qui sont premiers ou $(p, p+2 \times  5 \times  7)$ ou $(p, p+2 \times 3 \times  11)$
Ce qu'on constate sur le nombre 30 reste quasi-vrai pour 42, mais ne marche plus du tout pour 32 ou 38 par exemple.

stfj

Ce que dit @lourrran est un cas particulier des $k-$Tuple conjectures(le cas où $k=2$). D'après Hardy et Littlewood, le ratio entre les $(p,p+2310)$ et les $(p,p+2)$ par exemple, tend vers $\frac{32}{9}$. Quant aux $(p,p+38)$ par exemple, il y en aurait autant à la limite que de $(p,p+2)$. Quant aux $(p,p+2,p+6,p+8)$ cités par @Boécien, toujours d'après Hardy et Littlewood - personne à ma connaissance ne remet en question ces conjectures et tout le monde s'accorde à les penser vraies - , il y en aurait deux fois moins que de $(p,p+4,p+6,p+10)$ par exemple.

lourrran

La dernière conjecture s'explique très facilement 'avec les doigts' : 
Regardons p modulo 5. 
La première configuration va choper uniquement parmi les p égaux à 1 modulo 5.
Alors que la 2ème va choper parmi les p égaux à 2 ou 3 modulo 5.
Un parc 2 fois plus grand.

Modulo 3 ou modulo 7,  ou modulo n'importe quel autre nombre premier, ces 2 configurations peuvent choper des p dans le même périmètre.

stfj

cool 'avec les doigts' : j'ai vérifié - sur des droites graduées tout de même - , ça marche !

stfj

De façon formelle, en utilisant  $(\mathbb{Z}/p_n\#\mathbb{Z})_{n \geq 1}$, on a le théorème : $$\forall n \geq 4,\quad \frac{\text{Card}(\{\big(u,\ u+4,\ u+6,\ u+10)\in ((\mathbb{Z}/p_n\#\mathbb{Z})^\times)^4\}\big)}{\text{Card}\big(\{(u,\ u+2,\ u+6,\ u+8)\in ((\mathbb{Z}/p_n\#\mathbb{Z})^\times)^4\}\big)}=2,$$ presqu'en comptant sur ses doigts aussi .

Boécien

Il n'intéresse personne mon algo   Il n'est pas si inintéressant que ça à étudier car il se généralise aisément à toute sorte de n-uplet.

LEG

Avec l'algorithme modulo 30    qui se généralise aussi ...même si c'est une lubie bien pratique 

Voila ce que cela donne par exemple de comparaison entre le nombre de premiers $P$ et $P+30030 = P'$ Fam $30k +17$ par rapport au nombres de premiers Fam $30k +13$ , $P$ et $P+4 = P'$ Fam $30k +17$
on peut regarder aussi le nombre de Pj Fam $30k +11$ p et p+2 = p' , fam 30k+13

J'ai modifié le fichier joins , pour regarder à une limite des nombres P > 1 600 000 000 en rajoutant les Premiers jumeaux.

Par famille afin de comparer la même densité de premiers pour une limite n et n+100  dans les 4 familles disjointes :
les P et P+30030 ne sont pas 3 fois supérieur aux nombres de nombres P et P+4 .

En définitive la répartition est une conséquence de l'algorithme qui crible ces 8 Familles en progression arithmétique, selon le même principe avec les mêmes bases de ces 8 Nombres premier de [7;31].

Les résultats seront oscillatoires, lorsque l'on tend vers des limites $n$ nettement supérieur , par exemple aux alentours de
6 000 milliards, ce n'est plus les mêmes densités par tranche de 100 il faut  passer à des tranches de 1000 ...etc 

Cela est dû aussi au décalage de l'algorithme en fonction des Familles choisies, ce qui se constate facilement, en regardant le nombre de nombres premiers qui viennent s'intercaler entre deux couples de ces nombres premiers (p et p+30030 ; p et p+4 ; ou p et p+2) .

Trouver des ""chaines"" de 4 premiers consécutifs par exemple ne sert pas à grand chose,  tel que [p + 4 ; +2 ; +4 ] fam [30k+7; 30k +11; 30k +13 et 30k +17] serra de plus en plus rare, dû au décalage des nombres premiers qui viennent s'intercalent par famille entre ces couples ,  lorsque l'algorithme progresse...

ou encore avec :

 [p ; +2 ; +4 ;+6] fam [30k+ 17; 30k +19; 30k +23 et 30k +29] ;  ce qui donne : $(p, p+2 ; p+6; p+12)$

 [p ; +6 ; +2 ;+6] fam [30k+ 23; 30k +29; 30k +31 et 30k +37]        .....  $(p, p+6 ; p+8; p+14)$

Bonne continuation .

lourrran

J'ai dû mal comprendre ton algorithme, je ne trouve pas la même chose que toi, par exemple pour n=10

from math import gcd
z1 = 1
for n in range ( 1,20 ):
    print("n=", n , "z=", z1 )
    z1 = z1 + gcd(n,  z1*(z1+2)*(z1+6) ) 

n= 1 z= 1
n= 2 z= 2
n= 3 z= 4
n= 4 z= 7
n= 5 z= 8
n= 6 z= 13
n= 7 z= 16
n= 8 z= 17
n= 9 z= 18
n= 10 z= 27
n= 11 z= 28
n= 12 z= 29
n= 13 z= 30
n= 14 z= 31
n= 15 z= 32
n= 16 z= 33
n= 17 z= 34
n= 18 z= 51
n= 19 z= 60<br>

Boécien

Doit y avoir un décalage au départ. Mon code pari gp:

z1=1;for(n=2,100000,z1=z1+gcd(n,z1*(z1+2)*(z1+6));if(z1==2*n+2,print(n,"   ",z1,"   ",isprime(n+1)*isprime(n+3)*isprime(n+7),"")))

10   22   1
40   82   1
100   202   1
1426   2854   1
8860   17722   1
19990   39982   1
59440   118882   1

stfj

Pour en revenir à l'étude de $[\![0;5\,000\,000]\!]$, voici une étude partielle qui rappelle des résultats déjà énoncés mais de façon plus complète [ les coefficients intervenant dans les $k-$Tuple conjectures sont notés Coeff(C) où C désigne un $2-$uplet]:

LEG

Bonjour 
As tu essayé de [920 000 000 à 999 000 000] ?

j'ai 4 fichiers de nombres premiers pour cette limite fixée,  Fam : [30k +7 , 30k +11 , 30k +13 et 30k +17]

si cela t'intéresse , chaque fichier pdf fait 8,3 MB.. on trouve des couples , voir des triplets , mais des quadruplets ....?
Avec $P, P+4 , P+6 ,P+10$ , ainsi que P et P+mod 30 ; mod 210 ; mod 30 000 ou encore P et P+ mod 30030.

Je n'ai pas de programme qui charge ces 4 fichiers pour tester ces constellations... ni sur le Sayrac.

lourrran

@stfj,
je vois que les grands esprits se rencontrent ! 
Je prédisais que pour 210, on aurait environ 7/6 fois plus de cas que pour 30, et c'est le cas (et la logique continue pour les cas suivants).
Par contre, je prédisais qu'on aurait un ratio légèrement inférieur à 7/6, et il est légèrement supérieur. Ceci me turlupine.

stfj

@lourran : d'après les $k-$Tuple conjectures, $\frac{\frac{16}{5}}{\frac83}=\frac65=1,2$ de fois plus de $210$ que de $30$. Par exemple, entre $0$ et $5\,000\,000$, $\frac{103\,323}{86\,112}=1,1998...$ Pas $\frac76$ mais bien $\frac65$.
@LEG : j'ai fait plusieurs explorations autour de $1000\,000\,000\,000$ : elles sont toutes concluantes. De toutes façons, personne ne remet en question les $k-$Tuple conjectures et tout le monde s'accorde à les penser vraies.
Mais j'ai fait une remarque sur le caractère consécutif des nombres premiers au sein d'une constellation qui est pertinente et motivée par des observations sur les petits entiers jusqu'à $1000\,000\,000\,000$.

LEG

@stfj : ok pour cette limite et effectivement il serait impossible de prouver le contraire concernant cette conjecture .

Je viens de regarder sur les 100 nombres premiers Fam 30k +7 

de 920 000 647 à la position 5 872 488  ;  jusqu'à 920 001 687 à la position 5 872 588 dans cette Famille 

On a : 21/100 de premiers $P$ et $P+30$ ; 26/100 de premiers $P$ et $P+150$ ; 25/100 de premiers $P$ et  $P+210$.

le modulo 150 correspond à la somme du nombre de pas que font les 8 nombres premiers P $\in{[7 ; 31]}$ par boucle , lorsqu'ils criblent ....

stfj

@LEG : pourquoi ne pas adopter des notations standard? Si je comprends bien ton commentaire, tu t'y intéresses aux nombres premiers $p \in 7+30\mathbb{Z}$ compris entre $p_{5\,872\,488}=920\,000\,647$ et $p_{5\,872\,488+100}=920\,001\,687$. Et dans cet intervalle très petit, tu fais des statistiques. Qu'appelles-tu au juste "premier $p$ et $p+30$"? S'agit-il d'un nombre premier $p$ tel que $p+30$ est aussi premier ? S'agit-il d'un nombre premier $p$ tel que le nombre premier le suivant immédiatement est $p+30$?... Comme tes notations ne sont pas standards, il te faudrait le préciser à chaque fois.

LEG

Bonjour
@stfj : Je m'intéresse effectivement aux nombres premiers uniquement dans les 8 suites arithmétiques de raison 30, de premier terme $i\in{(1,7,11,13,17,19,23,29)}$, car pour moi c'est beaucoup plus simple pour analyser leur densité jusqu'à une limite $n$ fixée ou entre deux limites, en choisissant une seule Suite car elles sont de même densité...etc.
C'est pour cette raison que j'ai construit deux algorithmes modulo 30, que j'ai fais programmer il y a plusieurs années.
Pour ta question , c'est effectivement un nombre premier (un couple de nombres premiers) $p$ tel que $p+30$ est aussi un nombre premier , donc pas nécessairement le suivant immédiat. 
J'utilise un petit intervalle 100 , ou parfois 300 , afin de regarder leur répartition par Famille (suite) .
Dans l'intervalle que j'ai indiqué ci-dessus , tu peux vérifier par famille , leur densité est équivalente en moyenne générale .

Ce qui est tout à fait logique , puisque c'est le même algorithme qui crible avec les 8 nombres premiers de base $(7,11,13,17,19,23,29,31)$ et dont tu as le principe de fonctionnement  pour la Fam 11 et la Fam 13 , dans le premier petit fichier joint au dessus (série_2 , 11 mod 30 < 300 000 000).

J'ai pris plusieurs intervalles les premiers jumeaux $(p\; et\; p+2)$ , puis les premiers $(p\; et\; p+246)$ ; mod 30, mod 150...etc.

Faire programmer le même principe de fonctionnement modulo 210 ça ne fonctionne pas... !
Cela ne veux pas dire que l'on ne peut pas cribler modulo 210 ou autre, en utilisant une autre méthode que celle utilisée modulo 30 ... (mais qui serra moins rapide et utilisera beaucoup plus de mémoire ram), pour un résultat identique mis à par  $p=7$ et ses multiples...

Surtout si on veut cribler entre $n\; et\; 2n$ pour la même limite $n$ et la même famille fixée, ce qui permet de doubler la limite du crible pour une limite $n$ fixée...

jelobreuil

Bonsoir à tous,

A l'invitation de Sylvain, je me permets d'attirer votre attention sur la discussion que j'ai ouverte il y a quelques jours :

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2331565/developpements-a-partir-dune-identite-de-ramanujan#latest

A vrai dire, je ne sais pas trop si le petit travail que j'y ai mis en pièce jointe a vraiment quelque rapport avec cette conjecture, mais comme il s'agit, du moins dans la première partie, d'une tentative de classement de triplets de nombres, dont certains triplets de nombres premiers, vérifiant une relation inspirée d'une identité de Ramanujan portant sur les nombres 7, 11 et 19, peut-être y trouverez-vous matière à réflexions ? J'ose l'espérer, sans trop y croire ...

Bien cordialement, JLB

LEG

Bonjour
 Ce n'est pas en rapport avec la $K $-tuple conjecture ; qui porte sur les "constellations" de nombre premiers.
 Les couples de premiers jumeaux, les triplets de premiers avec un écart $k$ entre $p , p+k$ , ...  etc. comme cela est précisé plus haut dans les posts...   Y en a-t-il une infinité ?
Alors que tu cherches des triplets d'entiers, pas nécessairement premiers, mais qui vérifient ta propriété celle de (Ramanujan).

jelobreuil

Merci LEG, je m'en doutais bien ...

Bien cordialement, JLB