Fonction croissante

Besma bissan

 Salut
$f$ fonction définie sur $I$ à valeur réel.
$f$ est croissante sur $I$, c' est-à-dire 
$$ \forall x, y \in I,  \quad \text{si }\ x\leq y \quad \text{alors} \quad f(x)\leq f(y).$$
Ma question.
Est-ce que le sens inverse de l'implication précédente reste vrai ?  (autrement dit la définition d'une fonction croissante est un équivalence ou seulement une implication).
Existe-t-il un contre-exemple ?  
Sous quelles conditions la définition précédente est donnée par une équivalence ? 

NicoLeProf

Bonjour,

oui la définition d'une fonction croissante sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ peut être formulée comme une équivalence logique :

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x,y \in I$, $x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$ .

Après c'est rare que tu la trouves sous la forme d'une équivalence. Dans un cours, on écrira plutôt : $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si :

$\forall x, y \in I$, $x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$ .

En espérant avoir répondu à tes questions !

Kcg

Bonsoir.
 Comme vous l'avez dit, une fonction est croissante ssi 
 $$\forall x,~y, \quad x≤y~\Rightarrow~ f(x)≤f(y),\qquad(R)$$ 
 C'est une définition et dans cette définition, il n'y a pas d'équivalence dans la relation $(R)$. En revanche, la contraposée de la relation $(R)$ donne : 
$$\forall x,~y, \quad f(x)<f(y)~\Rightarrow~ x<y,\qquad (R_1)$$ 
 Remarque que dans $(R_1)$ les inégalités sont strictes.
 Il existe bien des fonctions croissantes qui ne vérifient pas la relation $(R)$ lorsqu'on remplace l'implication par l'équivalence. Exemple : la fonction nulle.
  Une condition suffisante pour qu'il y ait équivalence dans $(R_1)$ est que $f$ soit bijective.
 Edit : apparemment j'ai mal compris ta question et donc j'ai commenté autre chose. Il me semble que NicoLeProf a par ailleurs bien répondu.

Besma bissan

@Kcg
Merci beaucoup pour votre réponse. C'est ce que je voulais dire. 

Si $f$ est strictement croissante, est ce que on peut voir un équivalence dans la définition ? 

D'autre part,  si $f$ est bijective alors elle est inversible et alors ?? 

Kcg

Si f est strictement croissante, alors on aura une équivalence. Supposons $f$ strictement croissante, alors on a : $$\forall x,~y, \quad x<y~\Rightarrow~ f(x)<f(y).$$ 
 Par contraposé, on obtient : 
 $$\forall x,~y,\quad ~f(x)≤f(y)~\Rightarrow~ x≤y,\qquad (R_2)$$
 On a alors $f$ qui est croissante et qui vérifie cette dernière relation. D'où le résultat.
 Bon le fait que $f$ soit bijective est une hypothèse trop grande parce que toute fonction croissante et bijective est strictement croissante. Quand je donnais cette condition, je pensais plus à raisonner ainsi : 
 $f$ est croissante et bijective, donc sa bijection réciproque est croissante. On a alors :
$\begin{align} f(x)≤f(y) &\Rightarrow f^{-1}(f(x))≤f^{-1}(f(y))\\ &\Rightarrow x≤y \end{align}$

Bibix

Si $f$ est injective et croissante (elle est alors strictement croissante mais peu importe), alors la contraposée donne $\forall x, y, f(x) < f(y) \Longrightarrow x < y$.
On a aussi :
$\forall x, y,\ f(x) = f(y) \Longrightarrow x = y$

On en déduit :

$\forall x, y, \ f(x) \leq f(y) \Longrightarrow x \leq y$

Donc on peut voir une équivalence dans la définition de la croissance de $f$.

Si $f$ est strictement croissante, c'est le même principe (cf. plus haut).

NicoLeProf

Ah j'avais en effet mal compris la question, désolé !

Les preuves citées au-dessus me semblent claires en effet !

Je ne comprends juste pas un élément de vos réponses @Kcg et @Bibix : la contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $(\text{non} Q) \Rightarrow (\text{non} P)$ donc la contraposée de (pour tous $x, y \in I$) $x < y \Rightarrow f(x) < f(y)$ est : $f(x) \geq f(y) \Rightarrow x \geq y$, non ? (car $\mathbb{R}$ est un ensemble totalement ordonné)

Même si ensuite, les preuves sont valables.

Kcg

@NicoLeProf c'est effectivement celà la contraposée. Comme x et y ce sont juste des variables, alors dire que $$\forall x,~y, \quad~f(x)≥f(y)\Rightarrow x≥y~$$ équivaut à dire que $$\forall x,~y,\quad ~f(y)≥f(x)\Rightarrow y≥x~$$(on a juste changé le nom des variables) donc $$\forall x,~y,\quad~f(x)≤f(y)\Rightarrow x≤y$$

NicoLeProf

Oui c'est vrai qu'ils sont interchangeables en effet !!! Ahlala, la moindre chose me perturbe moi, désolé ^^'

math2

Kcg, tes contraposées sont inexactes. Lorsque tu écris les négations, certes tu échanges stricte et large, mais en plus tu changes le sens des inégalités (ce que tu n'as pas fait).

En revanche, effectivement tu répondais à autre chose que la question posée, à laquelle à répondu NicoLeProf. Une définition est en général  formulée avec un "si" (ou un "lorsque"), qui est vraiment une équivalence puisque c'est la définition ; après qu'à l'intérieur il y ait des implications ou équivalences, c'est autre chose.

Personnellement, comme définition de fonction croissante sur une partie $A$ non vide de $\R$, j'aime bien aussi : $\forall (x,y) \in A^2, \quad (f(y)-f(x))(y-x) \geq 0$, ce qui donne des rôles symétriques à $x$ et à $y$, et qui s'étend dans certaines situations pertinentes (par exemple caractérisation des fonctions convexes lorsqu'elles sont différentiables, sur $\R^n$ même si on peut aller plus loin dans l'extension).