Réciproque d'une application
Bonjour,
On se donne deux points $A$ et $B$, deux cercles centrés en ces points, de même rayon $r>AB$, ainsi qu'une droite $(\Delta)$ passant par $A$. Soit $M$ un point du cercle de centre $A$. Le cercle de centre $M$ passant par $A$ recoupe $(\Delta)$ en $N$ et coupe le cercle de centre $B$ en $P$ et $Q$. $N'$ est le symétrique de $N$ par rapport à la droite $(PQ)$.
On note $f$ l'application qui à $M$ associe $N'$.
On s'aperçoit vite que $N'$ fait trois tours du cercle $(B)$ pendant que $M$ n'en fait qu'un du $(A)$, de sorte qu'il y a trois points ayant la même image. Comment retrouver ces trois points ?
On se donne deux points $A$ et $B$, deux cercles centrés en ces points, de même rayon $r>AB$, ainsi qu'une droite $(\Delta)$ passant par $A$. Soit $M$ un point du cercle de centre $A$. Le cercle de centre $M$ passant par $A$ recoupe $(\Delta)$ en $N$ et coupe le cercle de centre $B$ en $P$ et $Q$. $N'$ est le symétrique de $N$ par rapport à la droite $(PQ)$.
On note $f$ l'application qui à $M$ associe $N'$.
On s'aperçoit vite que $N'$ fait trois tours du cercle $(B)$ pendant que $M$ n'en fait qu'un du $(A)$, de sorte qu'il y a trois points ayant la même image. Comment retrouver ces trois points ?
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Réponses
Cela pourrait servir pour inverser $f$ ? On pourrait introduire les rotations égales aux composées de ces symétries. En tous cas on en déduit facilement les antécédents par $f$ de deux points particuliers : les intersections du cercle $(A)$ avec la droite $(AB)$.
J'ai refait ta construction en contraignant $M$ à se déplacer sur un cercle centré sur $A$ et là... stupéfaction ! Le point $N'$ ne faisait plus trois fois le tour de son cercle lié quand $M$ n'en faisait qu'un du sien !! Pourtant ma construction et la tienne coïncident !!! Alors quoi, j'ai halluciné ? Non, pas cette fois, et la raison est que $N'$ fait bel et bien exactement trois tours, mais c'est à une condition : il faut que le rayon du cercle sur lequel se ballade $M$ soit plus grand que $AB$, ce que j'avais bien précisé dans mon énoncé. Et si ce rayon est plus grand que $AB$ alors $P$ et $Q$ sont bien réels, donc mon énoncé était bien ficelé . Mais c'est vrai qu'on peut se passer des cercles et d'ailleurs c'est mieux ainsi.
En général il ne sera pas possible de construire à la règle et au compas les antécédents d'un point par $f$, en tous c'est ce que je crois, car il y a des équations de degré trois et de la trisection angulaire qui rôdent (pour ma restriction $f_c$ à un cercle $(c)$ de centre $A$ et de rayon $r> AB$).
Au fait as-tu remarqué que le problème d'inverser cette restriction est lié à un de tes fils ? Car les trois antécédents constituent... ah quel suspens !
Amicalement, Ludwig
Quant au lien avec un de tes fils c'est le suivant : les tangentes à l'ellipse que tu as tracées déterminent un triangle inscrit dans le cercle de centre $B$. Le point $A$ est son orthocentre et il est inscrit dans la parabole de foyer $N'$ et de directrice $\Delta$.
Il était légitime de chercher ce problème puisque toutes les directrices des paraboles inscrites dans un triangle passent par son orthocentre.
Lorsque le foyer $N'$ se déplace sur le cercle $(B)$ le lieu du perspecteur $P$ ressemble furieusement à une ellipse. Mais en est-ce vraiment une ?