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Questions sur les $\limsup$ et $\liminf$ d'une suite d'ensembles

Modifié (August 2022) dans Analyse
Bonjour à tous
Je suis en train d'étudier le lemme de Borel-Cantelli et j'essaye de clarifier les notions de liminf et de limsup pour une suite d'ensembles (A_n), où n > 0.
J'ai bien vu les définitions sur Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_supérieure_et_limite_inférieure mais je trouve cette définition assez peu intuitive. De plus je n'ai trouvé que très peu de ressources intéressantes sur ces notions. D'où mes questions :
1) Soit X un ensemble. Avez-vous des exemples de suites de parties de X avec leur liminf et leur limsup associés (de préférence où liminf est différent de limsup) ?
2) J'ai essayé de travailler sur les propriétés reliant liminf, limsup, lim, et une suite d'ensembles quelconques (dé)croissante et voici les résultats que j'ai trouvé :
- liminf(A_n) ⊆ limsup(A_n)
- Si lim (A_n) = ø alors limsup (A_n) = liminf(A_n) = ø 
- Plus généralement, pour (A_n) une suite d’événements bornée tel que lim (A_n) = B où B ⊆ X, on a limsup (A_n) = liminf (A_n) = B
- Soit (A_n) une suite d’événements croissante, alors limsup A_n = lim A_n = liminf A_n = "la réunion des A_n pour n>0"
- Soit (A_n) une suite d’événements décroissante, alors limsup A_n = lim A_n = liminf A_n = "l'intersection des A_n pour n>0"
Pouvez-vous me confirmer la véracité de ces affirmations ?
Merci d'avance pour votre aide ! (j'espère ne pas dire trop de bêtises  :# )
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Réponses

  • Modifié (August 2022)
    Ca a l'air correct.
    Voici un petit problème si tu veux consolider ta pratique sur le sujet.
    http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_01_parties_convergentes.pdf
  • Modifié (August 2022)
    Je pose $\displaystyle \quad T = \liminf A_n = \bigcup_{n  > 0} \bigcap_{m \geq n  } A_m, \quad U  = \limsup A_n = \bigcap_{n  > 0} \bigcup_{m \geq n  } A_m .$
    Parlons en termes d’événements (probabilistes).
    Si $x \in T$, cela signifie que $x$ est dans un des $\bigcap_{n \geq m} A_m $ :  ainsi  tous les événements $A_m$ sont réalisés, excepté un nombre fini.
    Si $x \in U$, cela signifie que peu importe  ton rang $n$, tu peux te placer encore plus loin et pourtant un des événement $A_m, m > n $ sera réalisé : on ne trouvera aucun rang au delà duquel $A_m$ ne se réalise pas. 
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Modifié (August 2022)
    Pour ta question 1), voici un exercice élémentaire pour comprendre cette notion. Prend $X=\mathbb{R}$ et pour les deux exemples suivants, calcule la limite inf et la limite sup.
    1-1) $A_n= [(-1)^n; 3+(-1)^n]$
    1-2) $A_n=[1/n,a_n]$, où $a_n=n$ si $n$ est pair et $a_n=1$ si $n$ est impair.
  • Modifié (August 2022)
    Merci @JLapin pour les exos!
    @Positif Si j'ai bien compris, l'assertion suivante devrait être vrai :
    $\liminf A_n  =\lim_{n \to \infty} ( \bigcap_{m \geq n  } A_m) $ (formule que je trouve plus intuitive)
    De même, peut-on dire que $ \limsup A_n = \lim_{n \to \infty} ( \bigcup_{m \geq n  } A_m) $ ?
    Merci @Lucas pour l'exemple, on aurait donc ?
    1-1) $ \liminf A_n = [1, 2] $ et $ \limsup A_n = [-1, 4] $
    1-2) $ \liminf A_n  =\lim_{n \to \infty} ( \bigcap_{m \geq n  } A_m) = \lim_{n \to \infty} [1/n, 1] = ]0, 1]$ et $ \limsup A_n = ]0, +\infty[ $
  • Comment définis-tu la limite d'une suite d'ensemble sous réserve d'existence ?
  • Modifié (August 2022)
    $ \forall n \in \N$
    1. Si $A_n \subseteq A_{n+1} $ la limite signifie la réunion.
    2. Si $A_{n+1} \subseteq A_n $ ,la limite signifie l'intersection.
    Pour une suite d'ensembles quelconque, je ne sais pas vraiment ! (Je suis arrivé direct en L3 de maths, je n'ai jamais étudié la théorie des ensembles)
  • Modifié (August 2022)
    Yep comme avec les $\lim \inf $ ou les $\lim \sup $ de suites en fait. $\lim \inf u_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } \sup \{ u_n, u_{n+1}, \ldots \} $.
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • C'est beaucoup plus clair, merci à tous pour votre aide ! :)
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