Groupes diédraux

OShine

Bonjour.

@Thierry Poma je bloque rapidement à la question 1.1.2. Je n'ai jamais été à l'aise avec les isométries.

1.1.1) $D_3 \subset Is(P)$. 

• $D_3$ contient l'identité car $id(T)=T$.
• Soit $f,g \in D_3$. Montrons que $f \circ g \in D_3$. On a $f \circ g (T)= f( g(T)) =f (T)=T$. 
• Soit $f \in D_3$. Montrons que $f^{-1} \in D_3$. On a $f(T)=T$. En appliquant $f^{-1}$ qui existe car tout isométrie affine est bijective, il vient $f \circ f^{-1} (T)= f^{-1} (T)$ soit finalement $f^{-1} (T)=T$.

1.1.2) L'affixe du centre de gravité du triangle est $z_C=\dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}=\dfrac{1+j+j^2}{3}=0$.

Je ne vois pas comment montrer que tout élément de $D_3$ laisse invariant $z_C$.

Riemann_lapins_cretins

Je m'y colle : tu as une idée de la provenance de ce mystérieux chiffre 6 (dans ce cas précis du triangle) ?

yawp

Maschke.

Plus sérieusement :

comment faire la question 2 sans faire la question 1

l'action est transitive : décris les transformations

tu n'auras que des rotations et des symétries

(pourquoi ? L'exercice est plus simple si l'on connait la décomposition des isométries linéaires du plan, peut-on s'en passer  ?)

À quoi sert la description 1. 2. 3. 4 ? des isométries qui est offerte ?

Imaginons que tu saches que le groupe  des permutations "vient de" au sens de engendré par : une symétrie axiale (ici) et une rotation sympathique qui va dans les sens que tu veux et qui te permet de passer à ta guise d'un point à l'autre des sommets de ton triangle équilatéral.

lourrran

Vérification que les connaissances nécessaires sont acquises.
Le cours rappelle qu'il existe 4 sortes d'isométries.
- Pour les rotations combien y a-t-il de points invariants ?
Idem pour les translations, pour les réflexions, pour les réflexions glissées ?
- Quand on donne 4 points A, B, A', B', y a-t-il toujours au moins une isométrie telle que f(A)=A' et f(B)=B' ?
Si oui, cette isométrie est-elle unique ?
- Quand on donne 6 points A, B, C, A', B', C', y a-t-il toujours au moins une isométrie telle que f(A)=A' et f(B)=B' et f(C)=C' ?
Si oui, cette isométrie est-elle unique ?
Attention, il peut y avoir des difficultés.
Je pense qu'il y aurait encore quelques connaissances de base à contrôler avant de s'attaquer à l'exercice proprement dit.

OShine

@Riemann_lapins_cretins
Non.
@yawp
Je n'ai rien compris.
@lourrran

• Pour une rotation, un seul point invariant, le centre de la rotation.
• Pour les translations, aucun point invariant sauf si c'est si c'est la translation de vecteur nul alors tous les points sont invariants.
• Pour les réflexions, l'axe de la réflexion est invariant.
• Pour les symétries glissées, je ne sais pas s'il y a des invariants ou non ni comment les déterminer.
• Pour l'existence et l'unicité avec les isométries telles que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$ je ne sais pas répondre.
• Pour les 6 points pareil, je ne sais pas répondre.

mav1

Voici un cours très simple, clair mais complet a priori, équivalent à ce qu'on enseignait aux terminales lorsque cela était au programme. Il ne pose pas de difficultés, les terminales savaient très bien se débrouiller avec tout ça https://wimsauto.universite-paris-saclay.fr/wims/modules/U1/geometry/docisometriesplan.fr/doc/1/files/IsometriesPlan.pdf

Vassillia

Bonjour,

+1 mav1

Je l'ai parcouru et ce cours est très bien pour un niveau lycée qui n'a pas de connaissance particulière sur les isométries et qui s'y intéresse ou a besoin de travailler ce sujet. Les nombreux exercices interactifs à partir du niveau collège repartent vraiment des bases et ne nécessitent presque aucun prérequis

zeitnot

Si c'est trop difficile, tu peux t'intéresser aux groupes dreadeux.

 

lourrran

Corrigé : 
- Pour les 3 premières réponses, c'est correct.
Il faut absolument savoir répondre aux autres questions avant d'imaginer faire un exercice.

Le fait que tu imagines procéder autrement est choquant.
Connaître le cours ne suffira pas, mais ça évite d'être ridicule.

Tu me rappelles un des élèves à qui je donnais des cours particuliers quand j'étais étudiant. Un gamin dans un famille vraiment pleine de fric.
- j'ai tel exercice à faire.
- ok on va vérifier d'abord ce que tu sais.
- ben non, j'ai juste besoin de rendre cet exercice, j'ai juste besoin de la réponse à cet exercice.
Comme il était particulièrement désagréable, et comme ses parents n'étaient pas mieux, j'ai vite cédé. Je faisais ses exercices, il n'apprenait rien, et je touchais mon argent.

Amédé

Pour répondre à la question 1.1.2): aller voir le cours sur les applications affines, notamment leur caractérisation par le barycentre. La réponse tient en une phrase pas en une succession de calculs stériles.

nicolas.patrois

OShine a dit :

Pour les symétries glissées, je ne sais pas s'il y a des invariants ou non ni comment les déterminer.

Une droite globalement invariante mais pas point par point (sauf si le vecteur est nul).

Pour l'existence et l'unicité avec les isométries telles que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$ je ne sais pas répondre.

Que se passe-t-il si on a A(0,0), B(0,1), A′(0,0), B′(0,2) ?

Riemann_lapins_cretins

@lourrran curieusement je ne suis jamais tombé sur une tête de mule pareille en six ans de cours particuliers. A chaque fois que j'essaye de faire absorber son cours à un élève avant d'attaquer le fameux exercice, l'élève a toujours la présence d'esprit de se dire que je suis le prof et que je ne lui fais pas mobiliser ses connaissances pour rien.

Totalement le contraire du rapport que le format forum permet à OShine d'avoir avec les autres.

Pour reposer ma première question autrement OS, juste pour mieux te comprendre, sincèrement (après tout si tu as posté c'est que tu as séché une journée entière alors tu dois pouvoir répondre à ça) : 
On veut te faire montrer qu'il y a six isometries qui conservent un triangle équilatéral.
Est-ce que tu trouves ça surprenant (des isométries il y en a une infinité, seulement 6 relève du miracle) ou est-ce qu'au final tu trouves ça plutôt logique qu'il n'y en ait que 6, ou du moins que ces isométries soient en nombre fini ?

lourrran

Une isométrie dans le plan affine euclidien, c'est quoi ?
Basiquement.
Ton bureau, ta table de travail, c'est le plan.
Ou un tableau noir si tu as, c'est mieux, tu pourras dessiner sans regret.

Tu peux éventuellement visualiser l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées : les bords du bureau. Mais ce n'est pas essentiel.
Tu prends une feuille de papier.
Tu dessines une forme quelconque sur cette feuille. Disons un triangle ABC. Tu découpes ce triangle, en marquant bien les 3 sommets A,B,C.  Mais tu peux aussi utiliser une forme beaucoup plus complexe.
Tu poses la feuille sur le bureau. 
C'est la situation initiale. Tu dessines donc sur le bureau ces 3 points A B et C. Ou tu poses 3 petits objets si tu ne veux pas abîmer ton bureau.
Puis tu fais glisser ta feuille.
Et rebelote, tu dessines les 3 nouveaux points sur le bureau , tu as A', B' et C'.

Il y a une isométrie qui permet de passer de A,B,C à A',B',C'. Et c'est une isométrie directe.
Si tu prends ta feuille et que tu la retournes, et que tu la reposes sur ton bureau. Tu obtiens 3 nouveaux points A",B" et C"
Il y a une isométrie qui passe de A,B,C à A",B",C"
Et c'est une isométrie indirecte.
Il y a aussi une isométrie qui passe de A',B',C' à A",B",C", et elle est aussi indirecte.


Voilà. 
A peu de choses près, c'est comme ça qu'on enseignait les isométries au collège il y a quelques années.
C'est dommage qu'un prof de maths de 2022 n'ait pas eu l'opportunité d'apprendre ce qu'un collégien de 1982 savait.

Complétons quand même l'explication : Faire glisser la feuille, ou  retourner la feuille : on a toutes les isométries avec ces 2 seules manipulations.

Quand on fait glisser la feuille, si on fait en sorte que l'orientation du triangle ne change pas (les horizontales restent horizontales), on fait une translation. Et si on ne respecte pas cette contrainte, on fait une rotation.

Et évidemment, dans $\mathbb{R}^3$, on peut concrétiser les isométries directes de la même façon. Les isométries indirectes demandent un peu plus d'efforts.

Julia Paule

lourrran, à "faire glisser" et à "retourner" la feuille, tu peux rajouter "faire tourner" la feuille, et "combiner" tous ces mouvements !

lourrran

"faire glisser", j'entendais ça dans un sens assez général. Une voiture qui dérape sur un sol mouillé, dans un virage, elle glisse.
J'ai donc précisé à la fin : 
Quand on fait glisser la feuille, si on fait en sorte que l'orientation du triangle ne change pas (les horizontales restent horizontales), on fait une translation. Et si on ne respecte pas cette contrainte, on fait une rotation.

On peut effectivement regarder des cas 'particuliers'
- on fait glisser, en se limitant aux cas où les horizontales restent horizontales.
- quand on fait tourner, on fait tourner en pointant un point (intérieur) du triangle avec une punaise, et en faisant tourner autour de ce point.

On se limite alors à certaines rotations. C'est effectivement une objection que pourraient avoir certains élèves, ils vont avoir du mal à appeler 'rotation' une rotation dont le centre est très loin à l'extérieur de la partie visible du plan.

Thierry Poma

Et OS dans tout ça, où se trouve-t-il depuis 3h16 du matin ?

lourrran

S'il fait autre chose que des maths, c'est bien.
S'il lit le document proposé par mav1, c'est très bien aussi.
S'il est en train de lire tous les recueils d'exercice pour tomber sur un autre exercice plus compliqué parce qu'il n'a pas envie d'apprendre les notions qui pourraient lui servir partout, tant pis pour lui.

OShine

mav1 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2375016/#Comment_2375016

Il est plus complet qu'un cours de prépa actuel sur les isométries.
Quasiment 30 pages c'est énorme.

OShine

nicolas.patrois a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2375037/#Comment_2375037

Pour la symétrie glissée l'invariant est l'axe de la réflexion.

Je ne vois pas pour ton exemple quelle isométrie peut faire ça.

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Vassillia

En effet, cela va te demander de lire 30 pages plutôt que de poser une question à chaque fin de paragraphe, où est le problème ?

OShine

@Riemann_lapins_cretins je suis sérieux je ne vois pas comment je pourrais savoir s'il y en a 6 ou 24 ou 53.

OShine

Ma difficulté dans l'exercice est déjà déterminer tous les éléments de $D_3$ pour montrer qu'ils laissent invariants le centre de gravité du triangle.

Vassillia

Ta difficulté dans tous les exercices est que tu n'es pas du tout autonome et que tu manques des bases.

Donc lis le cours mis en lien, c'est le seul moyen d'apprendre vraiment ou continue à profiter du fait que les matheux s'ennuient pour avoir des réponses qui ne te servent à rien mathématiquement parlant

mav1

Oshine, ce cours n'est pas du tout énorme. Il y en a des bien plus abstraits que celui-là.
Le nombre de pages n'est là que parce que l'auteur démarre de rien, et t’emmène doucement aux connaissances indispensables à avoir. Ce cours ne dépasse pas ce qu'on enseignait dans le temps en terminale. Il est simple et bien rédigé a priori, ce qui permet à quelqu'un qui étudie seul de comprendre.
Comment veux-tu savoir s'il y en a 6, 24 ou ...si tu n'as pas les connaissances de base.

lourrran

Tu envisages vraiment de réfléchir sur cet exercice, alors que tu ne sais toujours pas ce qu'un collégien de 1980 savait ?????
Tu te fous du monde ?
Regarde l'introduction du document de Mav1 : 

Ce cours est une partie de l’option de géométrie enseignée de 2013 à 2015 au premier semestre de la première année de licence MPI à la Faculté des Sciences d’Orsay de l’université Paris Sud. Il s’agissait de pallier l’absence des transformations au Lycée

Tu te procures un cours de Lycée des années 2000 environ. Tu auras une version allégée de ce document, compréhensible par des lycéens de cette époque.

Ta réponse aux 2 questions de nicolas.patrois est franchement insuffisante. Que ce soit pour un étudiant de licence, un candidat au Capes, ou plus.

nicolas.patrois

OShine a dit :

Je ne vois pas pour ton exemple quelle isométrie peut faire ça.

Et pourquoi ?

Dans le cas du triangle équilatéral ABC, peux-tu avoir une isométrie f telle que f(A)=C, f(B)=C, f(C)=B ?

Ou une isométrie qui envoie A ailleurs que sur A, B ou C ?

Vassillia

Je ne te comprends pas nicolas.patrois, tes questions sont pertinentes mais le problème de OShine n'est pas tant de résoudre l'exercice que d’acquérir des méthodes de travail, c'est les secondes qui lui seront utiles pour progresser. Je suis toujours étonnée quand je vois un prof ne pas tout faire pour développer l'autonomie chez ses élèves et les enfermer dans une dépendance. J'aurais nettement mieux compris de la part d'un non prof bien sûr car c'est un réflexe naturel. OShine peut y arriver tout seul s'il fait l'effort de lire le cours et en plus il en profitera pour apprendre (réapprendre) des bases, c'est nettement plus utile pour lui que de l'aider à trouver la réponse.

OShine

A mon avis l'exercice 1 ferait un massacre au CAPES, je mise sur 10% des plus forts des étudiants qui le résolvent et les autres je ne vois pas comment ils s'en sortiraient.

La question 1.1.2 comportent de nombreuses difficultés. Rien que l'indication : "on pourra montrer que tout élément de $D_3$ ..." est loin d'être facile à faire.
Il faut déjà trouver qui sont les éléments de $D_3$.

JLT

Alors abandonne si tu n'as pas le courage de réfléchir.

Vassillia

Peu importe OShine si au CAPES ce serait réussi ou pas, ce sujet est le tien, pas celui d'un candidat au CAPES.

C'est donc à toi de le réussir et je pense que tu peux y arriver mais pour cela il faut que tu revois les bases d'abord et en effet que tu réfléchisses un peu ce que personne ne pourra jamais faire pour toi même avec la meilleure volonté du monde.

OShine

@nicolas.patrois $f(A)=C$ et $f(B)=C$ est impossible car ce n'est pas injectif donc non bijectif.
Si elle envoie $A$ ailleurs que sur $A,B,C$ elle n'est pas surjective donc pas bijective.
L'énoncé a oublié l'identité. Il y a 5 classes d'isométries dans $Is(P)$.
Pourquoi les symétries centrales ne sont pas des isométries du plan ? 

JLT

Je crois qu'il ne veut pas réfléchir alors il se cherche des excuses ("c'est extrêmement difficile donc c'est normal que je n'y arrive pas").

jean-éric

OShine a dit : L'énoncé a oublié l'identité. Il y a 5 classes d'isométries dans $Is(P)$.

Tu es sûr ?

Thierry Poma

@OShine : tu aurais pu, au lieu de te plaindre, dresser le catalogue des isométries répondant à la question. Bref, lis le cours proposé par mav1, ce sera plus profitable.

Riemann_lapins_cretins

"Si elle envoie A ailleurs que sur A,B,C elle n'est pas surjective donc pas bijective"
Ouch

Julia Paule

O'Shine, sans rien connaître aux isométries, combien d'applications envoient un ensemble de 3 éléments distincts sur lui-même ? (autrement dit, combien y a-t-il de permutations d'un ensemble à 3 éléments ?)

Maintenant, ça tombe bien, on parle de triangle équilatéral et d'isométrie. Mais généralisons pour l'instant et essayons de répondre à  la question 1.1.2. .

Tu sais qu'il existe une bijection entre les points d'un plan affine muni d'une origine (ou bien les vecteurs d'un plan vectoriel, au choix) et leurs affixes. Autrement dit, une permutation de 3 points quelconques se traduit automatiquement par une permutation de leurs 3 affixes. Quel est alors l'effet d'une permutation des affixes des sommets d'un triangle quelconque sur l'affixe de son centre de gravité ?

Pour définir maintenant les 6 isométries du triangle équilatéral, plusieurs méthodes. Mais comme dit plus haut, il faut connaître les bases.
Par exemple, une rotation peut être d'angle nul, et une translation peut être de vecteur nul.

Julia Paule

Par exemple encore, une isométrie du plan est entièrement déterminée par l'image de 3 points non alignés. On tient déjà l'image d'un point. Bon, je te conseille de lire d'abord les documents, un manuel scolaire du secondaire est souvent très bien, il y a des dessins.

Amédé

OShine a dit :

Ma difficulté dans l'exercice est déjà déterminer tous les éléments de $D_3$ pour montrer qu'ils laissent invariants le centre de gravité du triangle.

Non, tu as un sous-groupe du groupe des isométries affines... Si tu connais ton cours tu sais qu'une application est affine si et seulement si elle conserve le barycentre... Ta question se rédige en une phrase...

JLapin

Comme il est autodidacte et a suivi uniquement des programmes de prépa, pas sûr qu'il ait déjà rencontré la notion d'application affine et de conservation du barycentre dans ses cours.

troisqua

Soit $f\in D_{3}$. $f$ étant affine, elle transforme le centre de gravité de $T$ en le centre de gravité de $f\left(T\right)$. Comme $f\left(T\right)=T$ on en déduit que $f\left(0\right)=0$. L'application de $D_{3}$ dans l'ensemble des arrangements de deux éléments de $T$ définie par $f\mapsto\left(f\left(1\right);f\left(j\right)\right)$ est injective car une application affine est déterminée par les images de trois points non alignés (ici $0,1$ et $j$). Donc $D_{3}$ possède au plus $6$ éléments. Soit $r:z\mapsto jz$ et $s:z\mapsto\overline{z}$. Enfin, posons $T=\left\{ 0;1;2\right\} \times\left\{ 0;1\right\} $ et considérons l'application de $T$ dans $D_{3}$ définie par $\left(k,k'\right)\mapsto r^{k}s^{k'}$. Elle est injective car celle ci-se ramène à supposer $r^{k}s^{k'}=id\left(*\right)$ et montrer que $k=k'=0$. Mais $\left(*\right)$ évaluée en $1$, donne $j^{k}=1$ donc $k=0$ puis $s^{k'}=id$ entraîne $k'=0$. Donc $D_{3}=\left\{ r^{k}s^{k'}|\left(k,k'\right)\in T\right\} $. La table s'obtient alors immédiatement en remarquant que $sr=r^{2}s$ et donne

Vassillia

Bon ben bravo troisqua, tu es donc dans les 10% les plus forts de niveau CAPES si on en croit ce fil

En même temps tu as raison, c'était foutu pour convaincre OShine de travailler sur le cours même si je reste persuadée qu'il devrait le faire donc autant avoir une jolie solution, merci

troisqua

Oups désolé ! J'avais complètement oublié qu'il fallait "aider" OShine.

nicolas.patrois

JLapin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2375164/#Comment_2375164

Même pas en prépa CAPES ?

Rescassol

Bonjour
On peut faire plus simple.

On modélise le triangle par $\{1,j,j^2\}$.
On peut exhiber $6$ isométries, la multiplication par $1,j$ ou $j^2$ (rotations), la conjugaison $z\mapsto \overline{z}$ (symétrie par rapport à Ox) et les deux composées $z\mapsto j\overline{z}$ et $z\mapsto j^2\overline{z}$.
D'autre part, comme une application affine est entièrement déterminée par les image de $3$ points et que $3!=6$, il ne peut pas y en avoir plus de $6$.

Cordialement,
Rescassol

Julia Paule

OShine a dit :

Ma difficulté dans l'exercice est déjà déterminer tous les éléments de $D_3$ pour montrer qu'ils laissent invariants le centre de gravité du triangle.

C'est le contraire qu'il faut faire (suggéré par l'exercice)
Oups, troisqua a fait peur à O'Shine.

troisqua

@Rescassol : justifier quand même que les 6 isométries exhibées sont deux à deux distinctes. En revanche je suis d'accord avec toi : inutile de parler de l'image de $0$. Dans la solution que j'ai écrite j'aurais pu ne pas en parler (mais alors je ne réponds pas à "logique" suggérée) et simplement considérer l'application qui à $f$ dans $D_3$ associe $(f(1),f(j),f(j^2))$ à valeurs dans l'ensemble des arrangements à 3 éléments de $T$, au nombre de $6$.

JLapin

@""nicolas.patrois" Il est autodidacte et n'a pas suivi de prépa CAPES à l'université.

Rescassol

Bonjour,

Troisqua, si on les applique au triangle, ce qui est immédiat, on obtient bien les $6$ permutations.

Cordialement,
Rescassol

JLT

Il vaut mieux je crois exhiber les isométries "géométriquement" (les trois rotations et les symétries par rapport aux médianes).

troisqua

Question de goût.

lourrran

OShine ne sait pas répondre clairement à cette question : 
Y a-t-il des isométries qui transforment (A,B) en (A',B') sur cet exemple : A(0,0), B(0,1), A′(0,0), B′(0,2) 
Il ne connait donc pas la définition d'une isométrie (iso - métrie)
Pendant quelques heures, on a eu une ligne de conduite 'cohérente' : on apprend les définitions avant de faire des exercices 'compliqués'.
On lui a fourni un manuel de niveau L1 . Trop compliqué pour lui visiblement, et ce n'est pas une surprise.
 
Puis l'incohérence de OShine a contaminé tout le monde.

Tant pis pour lui (là, je comprends que tout le monde ait renoncé depuis longtemps), et tant pis pour la bonne tenue du forum.