Valeurs propres de la comatrice

SandwichFromage

$\newcommand{\Com}{\mathrm{Com}}$Bonjour
Soit $A\in \mathcal M_n(\mathbb R)$ ayant $n$ valeurs propres $a_1,\ldots,a_n$ (pas forcément distinctes... a priori) telles que $a_n = 0$ et $\prod\limits_{k=1}^{n-1} a_k \neq 0 $.
Je voudrais montrer que la comatrice de $A$ admet deux valeurs propres distinctes et (surtout) les déterminer. 
Zéro est valeur propre de $\Com(A)$ car $A$ n'est pas inversible donc sa comatrice non plus ; mon prof de maths dit qu'il voit très bien une autre valeur propre non nulle, mais moi non... (et il est en vacances). Pouvez-vous m'aider ?

Magnéthorax

Hello
Écris la relation entre $A$ et $\Com\left(A\right)$. Prends un vecteur propre $X$ de $A$ et observe.

SandwichFromage

Oui ; j'ai fait cela (c'est l'idée de base),

${}^t\Com(A)X = \frac{\det A}{a_i} X $ ; mais ça ne marche que si $a_i \neq 0$, et puisque $\det(A) = 0$, ça montre que zéro est valeur propre, mais ça ne m'aide pas à trouver l'autre valeur propre non nulle. 

Riemann_lapins_cretins

Ça dit bien plus que "0 est valeur propre", ça dit des choses sur la dimension de l'espace propre associé.

SandwichFromage

Ben justement, j'y ai pensé aussi mais je ne crois pas parce qu'on ne sait pas si les $a_k$ sont deux à deux distincts.
S'ils le sont, alors une famille de vecteurs propres associés serait libre, donc une famille libre de $n-1$ vecteurs de $\ker({}^t\Com A)$, ce qui montre $\dim\ker\Com(A) \geqslant n-1$, et même $\dim\ker\Com(A) = n-1$, car la comatrice ne peut pas être nulle (on a $1 \leqslant \dim\ker A \leqslant m_0$ où $m_0$ est l'ordre de multiplicité de la racine 0 dans $\chi_A$, qui vaut 1 ici vu l'énoncé, donc $\mathrm{rg}A = n-1 $ donc $\mathrm{rg}\Com A = 1$). 
Les $a_k$ pour $1\leqslant k \leqslant n-1$ pourraient être tous égaux, auquel cas la dimension de l'espace propre associé pourrait être $1$, ou $2$, ou ... ou $n-1$, non ? 

JLT

L'égalité ${}^t\mathrm{Com}(A)\, A =0$ montre que si $A$ est de rang $n-1$ alors $\mathrm{Com}(A)$ est de rang 1. Pour trouver la dernière valeur propre, on pose $A_t=A+tI$. On calcule $\mathrm{Tr}({}^t\mathrm{Com}(A_t))$ lorsque $A_t$ est inversible en utilisant ${}^t\mathrm{Com}(A_t)=(\det A_t)A_t^{-1}$ et on fait tendre $t$ vers $0$ pour calculer la trace de $\mathrm{Com}(A)$.

SandwichFromage

Merci pour cette aide.
Comment calcule-t-on $\mathrm{Tr}(A_t^{-1})$...?

JLT

Trigonalise A.

Riemann_lapins_cretins

L'argument sur la dimension du noyau n'est pas un argument de réduction !
C'est vrai peu importe les $a_{k}$. Pense juste à traduire le fait que $A$ soit de rang $n-1$ en oubliant les histoires de valeurs propres.

SandwichFromage

JLT a dit :

Trigonalise A.

Merci JLT, j'ai pu finir l'exo du coup. 

On considère $ A + tI $ pour $t$ réel.

Comme $\mathrm{Sp(-A)}$ est fini, pour $t$ non nul au voisinnage de $0$, $\mathrm{det}(A+tI) \neq 0$ et $A + tI$ est inversible. 

Pour un tel $t$, on a ${}^t\mathrm{Com}(A+tI)(A+tI) = \mathrm{det}(A+tI) I $ 

soit $ \mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A+tI)) =\mathrm{det}(A+tI)\mathrm{Tr}((A+tI)^{-1}) $

Or, en trigonalisant $A$ (on peut toujours dans $\mathbb C$, et si les $a_1,...,a_n$ sont réels, on peut même dans $\mathbb R$ car $\chi_A$ sera scindé dans $\mathbb R$, mais ce n'est pas précisé dans l'énoncé), $A = PTP^{-1}$ ($T,P\in ...$) donne $ A + tI = P(T+tI)P^{-1} $ puis $ (A + tI)^{-1} = P(T+tI)^{-1}P^{-1} $, et donc 

$\mathrm{Tr}((A+tI)^{-1})$ = $\mathrm{Tr}((T+tI)^{-1})$ = $ \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_k + t} = \frac{1}{t} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k + t}$

d'une part, et 

$\mathrm{det}(A+tI) = \mathrm{det}(T+tI) = \prod\limits_{k=1}^n(a_k + t) = t\prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t)$.

On en déduit $$ \mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A+tI)) =  \frac{1}{t} \cdot t  \prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t) + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \bigg( \frac{t\prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t)}{a_k + t} \bigg) $$

Le passage à la limite $ t\to 0$ donne $$\mathrm{Tr}(\mathrm{Com}A) = \prod\limits_{k=1}^{n-1}a_k$$

Conclusion : Zéro est valeur propre de $\mathrm{Com}A$ car $A$ n'est pas inversible donc $\mathrm{Com}A$ non plus. 

$ A $ est de rang $n-1$ (en effet, $ 1 \leqslant \mathrm{dim Ker} A $ car 0 est valeur propre et $\mathrm{dim Ker} A \leqslant m_0$ où $m_0$ est la multiplicité de $0$ en tant que racine de $\chi_A$, qui vaut $1$ car $a_n = 0$ et les autre $a_k$ sont non nuls). Par un exercice classique, $\mathrm{Com} A $ est de rang 1. Cela signifie que $\mathrm{dimKerCom} A = n-1$ et donc que $0$ est valeur propre d'ordre au moins $n-1$ de $\mathrm{Com}A$.

La trace étant la somme des valeurs propres (répétées avec multiplicité), $ \prod\limits_{k=1}^{n-1}a_k \neq 0$ est l'autre valeur propre (distincte de la précédente) de $\mathrm{Com} A$.$\blacksquare$

Il y a une autre méthode : il s'avère que si $\lambda_1,...,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$, on a $$ \chi_{\mathrm{ComA}} = (X - \lambda_1...\lambda_{n-1})(X - \lambda_1...\lambda_{n-2}\lambda_n)...(X - \lambda_2...\lambda_n) $$ autrement dit les valeurs propres de la $\mathrm{Com}A$ sont toujours les produit des valeurs propres de $A$ sauf une. 

On peut le montrer en calculant $\det(xI - \mathrm{Com}A)$ ou en considérant la dérivée de $\chi_A$ en zéro, d'une part en dérivant le produit des $X - \lambda_i$ et d'autre part avec la formule de dérivation du déterminant (avec les dérivées des colonnes).