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Valeurs propres de la comatrice

Modifié (August 2022) dans Algèbre
$\newcommand{\Com}{\mathrm{Com}}$Bonjour
Soit $A\in \mathcal M_n(\mathbb R)$ ayant $n$ valeurs propres $a_1,\ldots,a_n$ (pas forcément distinctes... a priori) telles que $a_n = 0$ et $\prod\limits_{k=1}^{n-1} a_k \neq 0 $.
Je voudrais montrer que la comatrice de $A$ admet deux valeurs propres distinctes et (surtout) les déterminer. 
Zéro est valeur propre de $\Com(A)$ car $A$ n'est pas inversible donc sa comatrice non plus ; mon prof de maths dit qu'il voit très bien une autre valeur propre non nulle, mais moi non... (et il est en vacances). Pouvez-vous m'aider ?

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Réponses

  • Modifié (August 2022)
    Hello
    Écris la relation entre $A$ et $\Com\left(A\right)$. Prends un vecteur propre $X$ de $A$ et observe.
  • Modifié (August 2022)
    Oui ; j'ai fait cela (c'est l'idée de base),

    ${}^t\Com(A)X = \frac{\det A}{a_i} X $ ; mais ça ne marche que si $a_i \neq 0$, et puisque $\det(A) = 0$, ça montre que zéro est valeur propre, mais ça ne m'aide pas à trouver l'autre valeur propre non nulle. 
  • Ça dit bien plus que "0 est valeur propre", ça dit des choses sur la dimension de l'espace propre associé.
  • Modifié (August 2022)
    Ben justement, j'y ai pensé aussi mais je ne crois pas parce qu'on ne sait pas si les $a_k$ sont deux à deux distincts.
    S'ils le sont, alors une famille de vecteurs propres associés serait libre, donc une famille libre de $n-1$ vecteurs de $\ker({}^t\Com A)$, ce qui montre $\dim\ker\Com(A) \geqslant n-1$, et même $\dim\ker\Com(A) = n-1$, car la comatrice ne peut pas être nulle (on a $1 \leqslant \dim\ker A \leqslant m_0$ où $m_0$ est l'ordre de multiplicité de la racine 0 dans $\chi_A$, qui vaut 1 ici vu l'énoncé, donc $\mathrm{rg}A = n-1 $ donc $\mathrm{rg}\Com A = 1$). 
    Les $a_k$ pour $1\leqslant k \leqslant n-1$ pourraient être tous égaux, auquel cas la dimension de l'espace propre associé pourrait être $1$, ou $2$, ou ... ou $n-1$, non ? 
  • JLTJLT
    Modifié (August 2022)
    L'égalité ${}^t\mathrm{Com}(A)\, A =0$ montre que si $A$ est de rang $n-1$ alors $\mathrm{Com}(A)$ est de rang 1. Pour trouver la dernière valeur propre, on pose $A_t=A+tI$. On calcule $\mathrm{Tr}({}^t\mathrm{Com}(A_t))$ lorsque $A_t$ est inversible en utilisant ${}^t\mathrm{Com}(A_t)=(\det A_t)A_t^{-1}$ et on fait tendre $t$ vers $0$ pour calculer la trace de $\mathrm{Com}(A)$.
  • Modifié (August 2022)
    Merci pour cette aide.
    Comment calcule-t-on $\mathrm{Tr}(A_t^{-1})$...?
  • Trigonalise A.
  • L'argument sur la dimension du noyau n'est pas un argument de réduction !
    C'est vrai peu importe les $a_{k}$. Pense juste à traduire le fait que $A$ soit de rang $n-1$ en oubliant les histoires de valeurs propres.
  • Modifié (August 2022)
    JLT a dit :
    Trigonalise A.
    Merci JLT, j'ai pu finir l'exo du coup. 
    On considère $ A + tI $ pour $t$ réel.
    Comme $\mathrm{Sp(-A)}$ est fini, pour $t$ non nul au voisinnage de $0$, $\mathrm{det}(A+tI) \neq 0$ et $A + tI$ est inversible. 
    Pour un tel $t$, on a ${}^t\mathrm{Com}(A+tI)(A+tI) = \mathrm{det}(A+tI) I $ 
    soit $ \mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A+tI)) =\mathrm{det}(A+tI)\mathrm{Tr}((A+tI)^{-1}) $
    Or, en trigonalisant $A$ (on peut toujours dans $\mathbb C$, et si les $a_1,...,a_n$ sont réels, on peut même dans $\mathbb R$ car $\chi_A$ sera scindé dans $\mathbb R$, mais ce n'est pas précisé dans l'énoncé), $A = PTP^{-1}$ ($T,P\in ...$) donne $ A + tI = P(T+tI)P^{-1} $ puis $ (A + tI)^{-1} = P(T+tI)^{-1}P^{-1} $, et donc 
    $\mathrm{Tr}((A+tI)^{-1})$ = $\mathrm{Tr}((T+tI)^{-1})$ = $ \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_k + t} = \frac{1}{t} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k + t}$
    d'une part, et 
    $\mathrm{det}(A+tI) = \mathrm{det}(T+tI) = \prod\limits_{k=1}^n(a_k + t) = t\prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t)$.
    On en déduit $$ \mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A+tI)) =  \frac{1}{t} \cdot t  \prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t) + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \bigg( \frac{t\prod\limits_{k=1}^{n-1}(a_k + t)}{a_k + t} \bigg) $$
    Le passage à la limite $ t\to 0$ donne $$\mathrm{Tr}(\mathrm{Com}A) = \prod\limits_{k=1}^{n-1}a_k$$
    Conclusion : Zéro est valeur propre de $\mathrm{Com}A$ car $A$ n'est pas inversible donc $\mathrm{Com}A$ non plus. 
    $ A $ est de rang $n-1$ (en effet, $ 1 \leqslant \mathrm{dim Ker} A $ car 0 est valeur propre et $\mathrm{dim Ker} A \leqslant m_0$ où $m_0$ est la multiplicité de $0$ en tant que racine de $\chi_A$, qui vaut $1$ car $a_n = 0$ et les autre $a_k$ sont non nuls). Par un exercice classique, $\mathrm{Com} A $ est de rang 1. Cela signifie que $\mathrm{dimKerCom} A = n-1$ et donc que $0$ est valeur propre d'ordre au moins $n-1$ de $\mathrm{Com}A$.
    La trace étant la somme des valeurs propres (répétées avec multiplicité), $ \prod\limits_{k=1}^{n-1}a_k \neq 0$ est l'autre valeur propre (distincte de la précédente) de $\mathrm{Com} A$.$\blacksquare$

    Il y a une autre méthode : il s'avère que si $\lambda_1,...,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$, on a $$ \chi_{\mathrm{ComA}} = (X - \lambda_1...\lambda_{n-1})(X - \lambda_1...\lambda_{n-2}\lambda_n)...(X - \lambda_2...\lambda_n) $$ autrement dit les valeurs propres de la $\mathrm{Com}A$ sont toujours les produit des valeurs propres de $A$ sauf une. 

    On peut le montrer en calculant $\det(xI - \mathrm{Com}A)$ ou en considérant la dérivée de $\chi_A$ en zéro, d'une part en dérivant le produit des $X - \lambda_i$ et d'autre part avec la formule de dérivation du déterminant (avec les dérivées des colonnes). 
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