Nombre de puissances n-ièmes dans Fp*

OShine

@raoul.S ok merci l'unicité est donnée dans le cours mais ne sert pas ici, seul le point 1 est important et n'a pas été démontré dans le livre qui a bâclé la correction de cette question $3$, je n'ai pas trop compris pourquoi car c'est la question la plus difficile de l'exercice. 

Je comprends très bien le raisonnement de @JLT sur le point 1) mais je n'aurais jamais trouvé l'idée.

Fin de partie

@OShine: Dans le corrigé de ton bouquin l'auteur semble acquis le fait que si $d$ divise $p-1$ alors l'ensemble $\{x\in \mathbb{F}^\star_p\mid x^d=1\}$ est l'unique sous-groupe d'ordre $d$ de $\mathbb{F}^\star_p$.

Je n'aime pas ce présupposé alors j'ai essayé de faire autrement.

Fait 1) l'ensemble $\{x\in \mathbb{F}^\star_p\mid x^d=1\}$  contient au plus $d$ éléments.

Fait 2) Puisque $d$ divise $p-1$ il existe $k$ entier tel que $p-1=dk$. On se donne un générateur $g$ de $\mathbb{F}^\star_p$.

L'élément $g^{k}$ est d'ordre $d$. Cela signifie que l'ensemble $\{x\in \mathbb{F}^\star_p\mid x^d=1\}$ contient au moins $d$ éléments*.

Au final, on sait que le cardinal de cet ensemble est supérieur ou égal à $d$ et inférieur ou égal à $d$ donc son cardinal est $d$.

NB: il ne faut pas croire que si $n$ est un entier naturel non nul alors l'ensemble $\{x\in \mathbb{F}^\star_p\mid x^n=1\}$ contient nécessairement $n$ éléments. Par contre, ce qu'on peut dire est qu'il ne contient pas plus de $n$ éléments.

*: il contient les éléments $1,g^k,(g^k)^2,\ldots,(g^k)^{d-1}$. Tous ces éléments sont distincts car ils sont tous des puissances de $g$ et ces puissances sont comprises entre $0$ et $p-1$  (strictement plus petites que ce dernier entier).

OShine

Par contre dans la démonstration du livre je bloque sur le dernier passage. Ça fait une semaine que je n'avais pas compris ce passage j'ai laissé de côté.

yawp

OShine je te soupçonne d'être sincère
à ce titre, utilise c'est idée abstraite suivante :

dans un morphisme de groupe l'image est isomorphe au quotient par son noyau.

Et ça  marche pour tous les morphismes (phonétiquement ça passe [Oui mais ici c'est écrit. AD]),

le reste ce n'est que de la réécriture.

PS : je n'ai même pas lu.
Mais ce principe est tellement général qu'il suffit de réactualiser !

Thierry Poma

@OShine : tu avais donc le résultat de JLT en ta possession. Comment travailles-tu donc ? Franchement, j'ai beaucoup de mal à te comprendre.

Fin de partie

@OShine: Si un élément $g$ est d'ordre $d$ dans un groupe $G$* le sous-groupe de $G$ engendré par $g$ est l'ensemble $F=\{1,g,g^2,\ldots,g^{d-1}\}$

mais cet ensemble est égal à $E=\{x\in G \mid x^d=1\}$

Démonstration.

Fait 1) $E$  contient au plus $d$ éléments.

Fait 2) Tous les éléments de $F$, $1,g,g^2,\ldots,g^{d-1}$ appartiennent à $E$ car si $k$ est un entier naturel on a $(g^k)^d=(\underbrace{g^d}_{=1})^k=1$ puisque $g$ est d'ordre $d$.

$F$ qui est de cardinal $d$ est inclus dans $E$ qui n'a pas plus de $d$ éléments donc ces deux ensembles sont égaux.

(c'est en gros la démonstration de ton bouquin).

*: pas nécessairement cyclique.

PS.
Pour que $E$ ne soit pas nécessairement un singleton il faut que $d$ divise l'ordre de $G$  et c'est suffisant si $G$ est cyclique.

OShine

yawp a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2374983/#Comment_2374983

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Je sais mais ce n'est pas ce point qui m'a bloqué. J'ai utilisé le théorème d'isomorphisme, et j'ai bien quotienté $F_p ^{*}$ par $\ker f$.

OShine

@Fin de partie non dans le livre on a $H_d = \{ 1, a^{d'}, \cdots, a^{ (d-1)d' } \}$ tu changes encore des notations et des trucs et ça me perd complètement. Tu mélanges plein de trucs entre le cours et l'exercice je ne comprends pas exactement à quelle question tu réponds.
Il faut montrer que  : $<g> \subset H_d$. 
$g$ est d'ordre $d$ donc $<g> = \{ 1,g, \cdots, g^{d-1} \}$. Je ne vois pas comment montrer que $<g> \subset H_d$.

Fin de partie

@OShine: L'auteur de ton bouquin montre en premier qu'il existe un UNIQUE sous-groupe d'ordre $d$ si $d$ divise $n$  l'ordre d'un groupe cyclique.  (c'est le paragraphe juste au dessus).

Le sous-groupe engendré par un élément $g$ d'ordre $d$ est un sous-groupe cyclique d'ordre $d$ mais comme il a été montré qu'il y a qu'un UNIQUE sous-groupe d'ordre $d$, $H_d$, cet élément $g$ est donc un générateur de $H_d$  qui est donc cyclique puisque $H_d=<g>$

Thierry Poma

@OShine : je vais encore perdre mon temps. Sais-tu lire ?

Puisque tu ne l'as pas encadrée, j'estime que tu as compris la partie consacrée à ceci : supposons que $H$ soit un sous-groupe de $C_n$ ayant $d$ éléments et montrons que $H=H_d$. En effet, tout ayant été démontré pour $H$, je ne vois pas le problème pour ta partie encadrée, vu que $<g>$ est un sous-groupe de $C_n$ d'ordre $d$, d'où par application de ce qui précède, $<g>=H_d$. L'on ne va pas écrire cinq cent fois la même chose.

Julia Paule

O'Shine, quel est un générateur évident du groupe cyclique (Z/nZ,+), n quelconque ?
Tous les groupes cycliques d'ordre $n$ marchent comme ce groupe (sont isomorphes à).
Tu remarqueras alors que l'astuce de toutes ces démonstrations est de prendre un générateur du groupe cyclique $F_p^*,  p$ premier, d'ordre $p-1$. Dès lors, on peut décrire facilement ce groupe et tous ses sous-groupes.
Tu remarqueras aussi qu'alors tous les groupes cycliques se conçoivent simplement.

Fin de partie

Pour abonder dans le sens de Julia Paule.

Si $G$ est un groupe cyclique d'ordre $n$ et si $g$ est un générateur de ce groupe alors pour tout $x$ de $G$ il existe un entier naturel $0\leq k<n-1$ unique tel que $x=g^k$.

Démonstration.

$G$ étant cyclique de générateur $g$ il existe donc pour tout $x$ un entier* $0\leq k<n-1$

Unicité: supposons qu'il existe un autre entier $k^\prime >k$ tel que $x=g^{k^\prime}$. On a donc $g^k=g^{k^\prime}$ c'est-à-dire $g^{k'-k}=1$ ($1$ est l'élément neutre de $G$) donc $k'-k$ est un multiple positif ou nul de $n$  c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que $k-k'=m\times n$. Si $m$ est non nul on a $k'=k+mn\geq n$ et si $m=0$ alors $k'=k$.

*: On peut prendre le plus petit entier naturel $k$ tel que $x=g^k$.