Primitive de fonction Riemann-intégrable non réglée

gillesR

Bonjour,
Tout est dit dans le titre. 
Plus précisément, j'essaie de voir comment s'organise l'ensemble des fonctions qui admettent une primitive sur un intervalle fixé [a;b] par rapport à la structure "continue inclus dans réglé inclus dans Riemann-intégrable inclus dans borné".
Je sais que toutes les fonctions continues admettent des primitives. Je sais aussi qu'une fonction réglée non continue sur un intervalle [a;b] ne peut admettre de primitive sur cet intervalle. D'autre part, j'ai un exemple de fonction non bornée (et donc non Riemann-intégrable) qui admet des primitives. Je cherche alors, pour améliorer mon bestiaire, une fonction qui admet des primitives sur un intervalle [a;b] et qui est Riemann intégrable, et aussi une fonction non Riemann-intégrable mais quand même bornée qui admet des primitives.
En connaissez-vous ?
Merci bien !

Chaurien

Si j'ai bien compris, tu cherches une fonction réelle à variable réelle $f$, définie sur un segment $[a,b]$, qui est une fonction-dérivée, et telle que, respectivement  :

(1) la fonction $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$.

(2) la fonction $f$ n'est pas bornée sur $[a,b]$.

(3) la fonction $f$ est bornée sur $[a,b]$ mais non Riemann-intégrable.

Pour (1), les fonctions continues conviennent, il n'y a pas à chercher.

Pour (2), tu dis que tu en as trouvé, je présume que tu as choisi une brave dérivée d'une fonction $x\mapsto x^{\alpha } \sin x^{-\beta}$, avec $\alpha>1$ et $\beta>0$ convenablement choisis.

Pour (3), c'est plus difficile. Voici l'exemple de Robert Croisot (1922-1966).

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Chaurien

La première découverte d'une fonction dérivée bornée sur un segment et  non Riemann-intégrable est due à Vito Volterra (1860-1940), Giornale de Battaglini, 1881.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Volterra

On trouve une référence à cette fonction de Volterra dans : Lebesgue, Henri, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars 1903, 1928, 1950, réimpression Chelsea 1973, p. 100.

gillesR

Chaurien a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2374706/#Comment_2374706

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Merci beaucoup.
Mais pour la (1) je cherche plutôt une fonction qui est une fonction dérivée, qui est  Riemann-intégrable mais bien sûr NON continue... sinon bien sûr les fonctions continues conviennent.
Merci.

gillesR

Merci à Chaurien pour le lien. 
D'autre part connaissez-vous une fonction qui admet des primitives, qui soit Riemann-intégrable mais NON continue sur un intervalle [a;b] ?
Il faut chercher dans les fonctions non réglées, mais lesquelles ?
Merci

Chaurien

La fonction $f:x \mapsto \sin \frac 1x$ (resp. $x \mapsto \cos \frac 1x$) pour $x \in ]0,1]$,  $f(0)=0$, est une fonction dérivée, Riemann-intégrable, discontinue, sur $[0,1]$.

Chaurien

D'accord ?

Lars

Bonjour,

Riemann a utilisé la dérivée d'une fonction de cette classe (ie celle donnée par Chaurien) pour fournir un exemple de fonction Riemann-Intégrable dont les coefficients de Fourier ne tendent pas vers 0 (et sont même non bornés).

Classe aussi utile pour d'autres contre-exemples mais qui ne me reviennent pas en tête.

Chaurien

Lars, peux-tu préciser ?

Lars

Désolé, je ne me souviens pas des détails. Donc il faut faire les calculs.

Hardy construit une fonction R-I dont le développement en série de Fourier est du type (c'est peut-être partie réelle ou imaginaire de ce qui suit  ???) $\sum_{n=0}^{+\infty} e^{inx} e^{i n^{a}}n^b$ avec $b>0$

Et là, je ne sais même pas quel calcul il faudrait envisager pour obtenir ce résultat.

NB. Cette notation est formelle et donne (liste) les coefficients de Fourier. La série de Fourier de la fonction qu'il construit diverge grossièrement pour tout $x$.

D'ailleurs, il me semble que dans un précédent fil vous aviez indiqué que Hardy avait considéré la version intégrale de cette série (ou une intégrale à paramètre qui y ressemble) comme point de départ pour obtenir de nombreux contre-exemples.

Enfin si, à la réflexion, il y a un calcul envisageable, justement en considérant l'intégrale à paramètre $f(t):=\int_{1}^{+\infty} e^{itx} e^{ix^a} x^b dx$

Les calculs doivent être difficiles je pense mais à mon avis c'est un bon point de départ une fois qu'on a obtenu la plage de paramètres $a, b$ telle que cette intégrale converge. Ensuite, il faut obtenir une fonction $2\pi$ périodique, je ne vois pas...il faut chercher et se lancer dans les calculs.

On s'éloigne de la question initiale du fil de cette discussion.

Chaurien

Dans un message précédent, j'ai communiqué un article d'André Warusfel  dans la RMS de janvier 1979, qui se donnait comme la suite d'un autre article du même auteur, dans la RMS d'octobre 1975. Voici celui-ci, qui présente un autre exemple de fonction dérivée bornée non R-intégrable, dû à Yannis Varouchas (1950-2003).

etanche

Impressionnant l’article de Yannis Varouchas qu’il a écrit en math-sup.
Avez-vous plus d’informations sur son parcours après avoir intégré ENS Ulm ? rang d’entrée à ENS ULM ? Agrégation ? Thèse ? 

Sa vie professionnelle ?

@ Chaurien merci pour les deux articles de la RMS

Chaurien

Je n'ai pas beaucoup d'informations sur Yannis Varouchas. J'avais remarqué un article de lui en 1984 dans La caverne, qui était le bulletin de l'IREM de Lorraine, à propos du théorème des deux carrés, de Fermat, démonstration de Heath-Brown. J'en avais parlé dans un article que j'avais fait à ce sujet dans Pour la Science, avril 1986. J'en ai parlé aussi sur ce forum dans un fil de 2017 :

 https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1536502#Comment_1536502

Il était professeur à l'Université de Lorraine, et a laissé des réflexions sur l'enseignement :

https://publimath.univ-irem.fr/biblio/ILO03001.htm

http://irem.univ-lorraine.fr/files/2018/BROCHURES-IREM/12-REF.pdf

Aléa pourrait-il nous en dire plus ?

Il était sportif. Voici une notice nécrologique d'un club de randonneurs : https://rusa.org/newsletter/05-05-04.html

On est fasciné par sa trouvaille de la fonction dérivée bornée non R-intégrable alors qu'il était élève de Math-Sup (à Louis-le-Grand) !

Il est bien triste qu'il soit décédé à l'âge de 52 ans. Conservons sa mémoire.

Bonne journée.

Fr. Ch.