Fonction de Mertens

Boécien

Salut
Je cherche à montrer cette formule pour $p$ premier.

$$\sum_{k=0}^{n}M\left(\left\lfloor \frac{n}{p^{k}}\right\rfloor \right)=-\sum_{k=1}^{n}\mu(pk),$$

où $M(n)=\mu(1)+\dots+\mu(n)$ est la fonction sommatoire de la fonction de Moebius dite parfois fonction de Mertens. Ce doit être simple mais je m'emmêle les pinceaux avec les doubles sommes.

Source : moi-même suite à une observation au cours d'une autre démonstration

noix de totos

D'abord, deux remarques :

(i) Ta partie entière est inutile.

(ii) Ta somme de gauche ne va que jusqu'à $\lfloor \log n / \log p\rfloor$ : tu peux donc l'écrire sous forme de série.

Ensuite, ta somme de droite, que je note $S(n,p)$, est égale à
$$S(n,p) = - \sum_{\substack{k \leqslant n \\ (k,p)=1}} \mu(pk) = \sum_{\substack{k \leqslant n \\ (k,p)=1}} \mu(k) = M(n) - \sum_{k \leqslant n/p} \mu(pk) = M(n) + S(\tfrac{n}{p},p)$$
d'où, en itérant
$$S(n,p) = M(n) + M(n/p) + S(\tfrac{n}{p^2}, p) = M(n) + M(n/p)+M(n/p^2) + S(\tfrac{n}{p^3}, p) = \dotsc$$
et la somme $S(n/p^k,p)$ s'annule dès que $k > \log n / \log p$.

Boécien

Super merci