Lien entre germains et jumeaux
Bonjour,
Je me suis un peu intéressé aux nombres de Sophie Germain (nombres premiers $p$ tels que $2p+1$ est aussi premier) et il y a un résultat que j'aimerais vous soumettre concernant des objets associés.
Soit $(p_1, p_2, p_3, ...)$ la suite des nombres premiers $(2, 3, 5, 7,11... )$ et soit $$p_n\#:=p1\times...\times p_n$$ la primorielle de $p_n$ pour $n \geq 1$. On obtient alors la suite des primorielles $(2,6,30,210,2310,30030,...)$.
Je note $U_n$ le groupe des unités de $\Z/p_n\#$. $$U_n:=(Z/p_n\#)^\times$$
Appelons jumelle u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $u+2 \in U_n$. Notons $J_n$ l'ensemble des jumelles de $\Z/p_n\#$.
Appelons germaine u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $2u+1 \in U_n$. Notons $G_n$ l'ensemble des germaines de $\Z/p_n\#$.
Théorème : Soit $u \in U_n$. Alors $u\in J_n \Leftrightarrow u^{-1} \in G_n$
Démonstration : $u \in J_n \Leftrightarrow u+2 \in U_n \Leftrightarrow u^{-1}(u+2) \in U_n \Leftrightarrow 1+2u^{-1} \in U_n \Leftrightarrow u^{-1} \in G_n$. qed.
1) que pensez -vous de la validité de ce qui est avancé ? (Je vous propose d'examiner les cas $n=1$ et $n=2$)
2) j'aimerais savoir si ce résultat simple- si tant est qu'il soit correct- est connu. (j'ignore même si on a jugé bon de définir les notions de jumelles et de germaines)
Cordialement,
Je me suis un peu intéressé aux nombres de Sophie Germain (nombres premiers $p$ tels que $2p+1$ est aussi premier) et il y a un résultat que j'aimerais vous soumettre concernant des objets associés.
Soit $(p_1, p_2, p_3, ...)$ la suite des nombres premiers $(2, 3, 5, 7,11... )$ et soit $$p_n\#:=p1\times...\times p_n$$ la primorielle de $p_n$ pour $n \geq 1$. On obtient alors la suite des primorielles $(2,6,30,210,2310,30030,...)$.
Je note $U_n$ le groupe des unités de $\Z/p_n\#$. $$U_n:=(Z/p_n\#)^\times$$
Appelons jumelle u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $u+2 \in U_n$. Notons $J_n$ l'ensemble des jumelles de $\Z/p_n\#$.
Appelons germaine u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $2u+1 \in U_n$. Notons $G_n$ l'ensemble des germaines de $\Z/p_n\#$.
Théorème : Soit $u \in U_n$. Alors $u\in J_n \Leftrightarrow u^{-1} \in G_n$
Démonstration : $u \in J_n \Leftrightarrow u+2 \in U_n \Leftrightarrow u^{-1}(u+2) \in U_n \Leftrightarrow 1+2u^{-1} \in U_n \Leftrightarrow u^{-1} \in G_n$. qed.
Corollaire : il y a autant de germaines que de jumelles.
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Voilà mes questions : 1) que pensez -vous de la validité de ce qui est avancé ? (Je vous propose d'examiner les cas $n=1$ et $n=2$)
2) j'aimerais savoir si ce résultat simple- si tant est qu'il soit correct- est connu. (j'ignore même si on a jugé bon de définir les notions de jumelles et de germaines)
Cordialement,
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Réponses
17........8........1
-2
a 1.....0
L'inverse de 8 dans $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$ est $a=-2\times 1=-2$. Et c'est implémenté sur ordinateur.
1261........23........19..........4..........3........1
.................-54......-1..........-4.........-1
..................a.........-6............5........-1........1.......0
Vous aurez compris les premières et deuxièmes lignes. Pour créer la troisième, voici comment on procède
1*(-1)+0=-1
-1*(-4)+1=5
5*(-1)+(-1)=-6
a=(-6)*(-54)+5 sera alors fourni par l'algorithme comme l'inverse de $23$ dans $\Z/1261\Z$
Tous les nombres de Sophie Germain exceptés les premiers sont de la forme $11+30k, 23+30k, 29+30k$ avec $k \in \Z$. On peut le vérifier sur la liste des premiers Germains : $2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559$
Malheureusement le théorème n’est pas vrai. Car dans $\left(\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}\right)^{\times}$, $71\in J_{4}$ est son propre symétrique et n’est pas un nombre premier de Sophie Germain. En effet on a $71\times 71 =5041\equiv 1\hspace{3pt}(\text{mod}\hspace{3pt}210)$ et $2*71 +1=143=11\times 13$.
Aussi $209=11\times 19$ n’appartient pas à $U_{4}$, par conséquent il n’appartient pas à $J_{4}$.Mais tu commets là dans l'empressement une erreur que l'on commet tous.
$\left(\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}\right)^{\times}$ est composé des classes de nombres dont un représentant est un entier relatif premier avec $210$, c'est-à-dire avec $2,3,5 \text{ et }7$ puisque $210=2\times3\times5\times7$. Il faut du temps pour se familiariser avec ces objets. $143=11\times13$ est bien premier avec $210$. De même, $209=11\times19$ est premier avec $210$.$\bar{143} \in U_4$ et $\bar{209} \in U_4$ bien que ni $143$ ni $209$ ne soient des nombres premiers.
Je me permets de rappeler que $\bar{209}=209+210\mathbb{Z}$. Par exemple, $209+210=419$ est un nombre premier.
Merci encore, @JRManda pour ton intérêt. C'est par l'erreur que nous progressons tous, n'est-ce pas?
Un petit cadeau, j'espère, $71+210=281$ et tu vérifieras que $281$ est bien un nombre de Sophie Germain.[il est dans la liste fournie plus haut] Justement, sa présence dans la liste vient du fait que $281 \in \bar{71}$.
Très cordialement,
Stéphane
Cordialement
Jean-Richard.
Remarque : pour $m=2$, on a des objets associés aux sexys(nombres premiers $p$ tels que $p+6$ soit aussi premier.
Appelons germaine d'ordre $m\geq 1$ de $\Z/p_n\#\Z$ un élément $u$ de $Un$ telle que $p_m\#.u+1 \in U_n$. Notons $G_{n,m}$ l'ensemble des germaines d'ordre $m$ de $\Z/p_n\#\Z$.
Le théorème s'étend alors facilement .
Exemple d'application : avec $n=4, m=2, u=11$ : $641=11+3\times210 \in \bar{11}$ et $6\times641+1=3847\in \mathbb{P}$ ainsi que $641$ d'ailleurs :autrement dit, $641$ est un nombre de Sophie Germain d'ordre $2$, la définition de cette notion allant de soi. A propos les Germains d'ordre $2$ ont-ils été définis en Arithmétique ? Je n'ai trouvé cette notion nulle part.
Autre exemple: $n=3, m=2, \bar{u}=7, \bar{u}^{-1}=13$. On a bien $\bar{13}\times6+\bar{1}=\bar{79}=\bar{19}\in U_3$. remarque : $13$ est un germain d'ordre 2, associé à $79$.
Théorème : $\forall n \geq 2,\ \forall m,\ 2\leq m \leq n,\ \dfrac{Card J_{n+1,m}}{Card J_{n+1,1}}=\dfrac{(p_m-1)\cdots(p_2-1)}{(p_m-2)\cdots(p_2-2)}$.
Je ne ferai pas la démonstration de ce théorème ici. Je vous propose d'en tester la validité à nouveau pour les petites valeurs de $n= 2,3, \ldots$. A priori, cela doit être vrai, à moins que je ne me sois emmêlé les pinceaux dans les notations, auquel cas ce ne sera pas difficile d'y remédier avec votre aide. Pour vous motiver si vous ne voyez pas immédiatement l'intérêt de vous pencher sur ce résultat, disons que cela a à voir avec la conjecture célèbre en arithmétique : il y a deux fois plus de sexys que de jumeaux. Et je répète - je l'ai indiqué en gras - que le résultat que j'ai fourni n'est pas une conjecture mais bien un théorème concernant les objets associés aux jumeaux et aux sexys introduits auparavant.
Cordialement.
Je propose un défi, que je n'ai jamais - peut-être faute de temps - relevé : démontrer que l'algorithme illustré dans les premières réponses à cette question fournit bien l'inverse de $a$ dans $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ pourvu que $a$ et $b$ soient premiers entre eux. Cet algorithme fonctionne très bien, je l'ai appliqué $15$ fois dans un commentaire ci-dessus. Et avec un peu d'habitude, cela va très vite. C'est en lisant le début du livre de François Liret, Arithmétique pour la licence et le CAPES, que j'ai eu envie de m'y mettre enfin sérieusement. François Liret montre comment obtenir une relation de Bézout avec du calcul matriciel. L'algorithme que je vous propose d'étudier est de toute évidence fondé sur l'algorithme d'Euclide étendu aussi. Avec votre aide, cela serait plus facile que seul.
Cordialement.
A comparer avec l'algorithme consistant à écrire :
37..........8...........5..............3...............2....................1
..............-4..........-1............-1.............-1
................a.........${\color{Blue}-3...........2.........-1}$...............1..........0
Pour obtenir la dernière ligne, on commence par la droite, en écrivant "1..........0" puis on calcule -1*1+0; on obtient ${\color{Blue}-1}$; puis -1*(-1)+1; on obtient ${\color{Blue}2}$; puis -1*2+(-1)=${\color{Blue}-3}$; et enfin l'inverse $a$ cherché $a=(-4)\times(-3)+2=14$.
Corollaire : $\lim\nolimits_{n \to +\infty} \text{Card}(J_n)=+\infty$
exemple : il y a $3$ jumelles dans $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ à savoir $11, 17$ et $-1$. Il y a $15$ jumelles dans $\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}$,...
Pour éviter le Doliprane à ceux qui découvriraient les k-Tuple conjectures : $\prod_{q\text{ prime}, q|15}\frac{q-1}{q-2}=\frac{3-1}{3-2}\times\frac{5-1}{5-2}$ par exemple.
Le rapport des deux cardinaux est bien $2$.
En outre, ce rapport dans $\mathbb{Z}/p_n\#\mathbb{Z}$ reste égal à $2$ pour tout $n \geq 4$.
Voici des diagrammes pertinents pour établir ces résultats sans peine :
Appelons germaine d'ordre 2, u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $6u+1 \in U_n$. Notons $G_{n,2}$ l'ensemble des germaines d'ordre 2 de $\Z/p_n\#$.