En effet, comme Gérard, je pense que tu n’as pas lu la discussion, heinki.
Tu dis, en gros que « le contraire de non P, c’est P ».
Tu dis donc, « non(non(P)), c’est P ».
Tu dis aussi « c’est un raisonnement par l’absurde ».
Oui ! Pour ma part, c’était ce « supposons P » qui est écrit directement (sans même dire « supposons non P, ce qui revient à supposer P ») qui est fautif si on parle de faire un raisonnement par l’absurde.
Si tu regardes bien, c’est l’objet de mes messages.
Et toute la discussion, d’ailleurs un peu moins polémique que les précédentes de mon point de vue, est limpide.
quels profs, tu n'as lu quand on ne comprend pas Non je commence juste e comprendre ce que Dom voulait dire, enfin peut-ètre
Si le cinoche est sur ce point, c'est tres surprenant
On appelle raisonnement par l'absurde soit une définition basée sur les implications, soit en premiere définition ceci: on veut montrer A, le raisonnement par l'absurde va envisager ce qui se passe pour nonA et qs contradiction truc faux
Bref dès lors si tu annonces que tu vas démontrer racine deux non rationnel par l'absurde Tu es bien sur autorisé à écrire d' emblée on prend racine deux rationnel
Puisque tu viens de mettre en premiere ligne que tu le fais par l'absurde
Bref ce coté manque de rigueur dans l'écriture est du manièrisme psychorigide Ce point peut etre passé
Il ya un second point qui est: on apprend raisonnement par l'absurde au collège lycée, bien avant la logique Donc c'est étrange de répondre ceci ou cela est le vrai raisonnement par l'absurde sans dire pour quel niveau d'élève on s'adresse
Et il n'y a pas de cinéma ou de maniérisme quelconque dans ce fil de discussion à part ton dernier message beaucoup trop énervé par rapport à la nature du sujet.
Pas d'enervement, sauf que dire à quelqu'un qui ne comprend pas que c'est parce qu'il n' a pas lu, c'est pas d'un niveau pédagogique très élevé Je suis d'un niveau maths collège , début de lycée Et c'est avec ce niveau que j'essaye de comprendre Donc il y a d’excellentes réponses pour le supérieur dans ce fil de discussion. Maintenant si vraiment je comprends le début du fil de discussion, je ne serais pas intervenu puisque dès lors que tu annonces, on va faire un raisonnement par l'absurde, il est légitime d'écrire directement on prend racine de deux rationnel. Encore heureux.
Il me semble clair que la proposition P est "$\sqrt2$ est irrationnel"où le mot irrationnel est formé du préfixe du contraire "ir"
Tu constates donc que P = non(Q) où Q est "$\sqrt2$ est rationnel". Et comment fait-on pour montrer non(Q) ? On suppose Q et on en déduit $\bot$, l'absurde. Parce que, techniquement, non(Q) est la même chose que $Q\implies \bot$.
Le raisonnement est le même que celui qu'on fait pour démontrer une implication $A\implies B$ : on suppose $A$ et on en déduit $B$ ; il ne te viendrait pas à l'idée d'appeler un tel raisonnement "raisonnement par l'absurde".
Je remonte ce passage qui peut être éclairant.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
1) ce n’est pas parce que on obtient une chose absurde que l’on qualifie le raisonnement utilisé de « par l’absurde ».
2) quand on applique un théorème, on DOIT d’abord rédiger que les hypothèses sont vérifiées.
Le raisonnement par l’absurde commence par « supposons que la conclusion soit fausse ».
Ne pas commencer comme ça, c’est zapper une partie de la rédaction.
3) ça tu vas peut-être le découvrir : prouver la négation de quelque chose, c’est prouvé que « la chose => truc absurde » (et ce n’est pas un raisonnement par l’absurde).
Voir les messages de GaBuZoMeu sur les apagogies négative et positive.
Premièrement : c’est juste histoire d’appeler un chat, un chat.
Deuxièmement : pour cette histoire de $\sqrt{2}$ on n’a pas l’obligation de faire un raisonnement par l’absurde. Et la démonstration dont on parle CONVIENT PARFAITEMENT en tant que démonstration SANS LE RPA. Ainsi, il faut trancher : elle ne peut pas être la même « avec RPA » et « sans RPA ». C’est bizarre sinon.
Ce fil est la pour essayer d'expliquer que la séquence
<< Supposons $\sqrt 2$ rationnel. Alors ... donc 2 est impair. En conclusion, $\sqrt 2$ n'est pas rationnel. >>
n'est pas un raisonnement par l'absurde au sens strict du terme mais simplement la structure de preuve usuelle pour démontrer NON(P) où P est une propriété.
Ici ou là, cette séquence est précédée d'un "raisonnons par l'absurde" qui est en fait dispensable.
Normalement, tout ceci est compréhensible avec un niveau "début de lycée".
1) "quels profs, tu n'as lu quand on ne comprend pas" ?? On n'est pas tes profs, on est des gens comme toi qui discutent sur un forum.
J'avais préféré penser que tu n'avais pas lu, c'était moins méchant pour toi que de penser que tu as effectivement lu et que tu n'as rien compris ... mais si tu y tiens ...
Et tu confirmes :
2) "On appelle raisonnement par l'absurde soit une définition basée sur les implications, soit en première définition ceci: on veut montrer A, le raisonnement par l'absurde va envisager ce qui se passe pour nonA et qs (?? qand ?) contradiction truc faux"
Tu te fais ton idée du raisonnement par l'absurde, qui n'est surtout pas "une définition", même " basée sur les implications", puisque c'est un type de preuve. Et dans la suite, tu reprends ce que tout le monde dit depuis le début. Donc tu n'avais pas lu - au sens où quand on lit on sait ce qui a été écrit.
Ben c'est justement ce genre de conclusion que je ne comprends pas on semble dire que il ne viendrait pas l'esprit raisonnement par l'absurde
Alors que je pense avoir compris que finalement oui c'est bien raisonnement par absurde, mais juste une étape d'écriture qui manque
Donc perso je reprends Démontrer racine de deux non rationnel Ben soit tu le fais en direct, racine de deux verifie patati pâtat donc une propriété qui définit non rationnel
Soit de façon indirect, raisonnement par l'absurde, on prend le contraire, le point de départ est racine deux est rationnel
Donc je lis des" t'a rien compris on est tous d'accord pour dire que c'est un raisonnement par l'absurde", et nombre de réponse de GBZM ou Foys qui disent," ça vous viendrait pas à l'idée d'appeler cela raisonnement par l'absurde"
Je ne te jette pas la pierre, j’étais aussi réticent sur ce thème là avant de comprendre réellement les choses.
Je ne les avais pas assimilées même si tout avait été dit. Ça a été long, pour ma part. Il a fallu que je « déconstruise » des automatismes, des réflexes.
Saut Dom, j'aimerais dejà plutot comprendre les deux trucs suivant: il fallait bien comprendre que c'est un raisonnement par l'absurde qui est proposé versus il ne viendrait pas à l'esprit d"appeler cela raisonnement par l'absurde de GBZM, et Foys disant qu'on appelle une addition une multiplication =on ne doit pas appeler cela raisonnement par l'absurde
Mais qu'est-ce que tu ne comprends pas dans mon message du coup ?
Autre question : as-tu l'esprit ouvert à un éventuel changement de point de vue sur la notion de raisonnement par l'absurde ou es-tu là uniquement pour dire que "si bien entendu, la preuve classique de l’irrationalité de $\sqrt 2$ est une preuve par l'absurde, je ne changerai jamais d'avis et vos messages sont ridicules et incompréhensibles".
Puisqu’on parle de remontage de fil j’aimerais bien que l’on me dise ce qui ne va pas dans cet extrait du document que j’avais mis en ligne: ’’Démontrer par l’absurde que A est vrai, c’est démontrer que (non A) est fausse en exhibant une proposition C telle que: 1) [(non A)$\Rightarrow$C] vraie et C fausse Ou 2) [(non(A)$\Rightarrow$ (C et (non C))] vraie La démonstration du début du fil que $\sqrt{2}$ est irrationnel est du shéma 2) avec la proposition A ’’$\sqrt{2}$ est irrationnel’’ et la proposition C ’’p et q sont premiers entre eux’’. La proposition (non A) est ’’il existe deux entiers p et q premiers entre eux et $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$’’
@heinki, il n'y a pas de différence entre Foys, GabuZoMeu et moi, à part un point, Ce que disent Foys et GaBuZoMeu est une définition valide dans "toutes" les logiques, et ils ont raison de remarquer que $\neg P := P \rightarrow \bot$ n'est pas la même chose que $\neg\neg P \Leftrightarrow P$. Le seul bémol que je place et qui leur déplait (le bémol) c'est qu'en logique classique tout formule $\varphi$ peut s'écrire $\neg \psi$, on peut donc toujours passer d'un schéma à l'autre.
Personnellement, je suis plus intéressé par les raisonnements que par le vocabulaire (qui est indispensable à titre pédagogique)
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
1) ce n’est pas parce que on obtient une chose absurde que l’on qualifie le raisonnement utilisé de « par l’absurde ».
Le truc, c’est que pour le pékin moyen, raisonner par l’absurde, c’est partir de l’hypothèse que le truc qu’on veut monter est faux, et qu’on aboutit à une absurdité (que le dit truc soit déjà une négation ou non).
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
Raisonnement lambda (exemple). Supposons $\sqrt 2$ rationnel, alors on en déduit $\sqrt 2$ non rationnel, contradiction donc $\sqrt 2$ n'est pas rationnel.
Raisonnement par l'absurde (exemple). Supposons $\sqrt 2$ rationnel, alors on en déduit $\sqrt 2$ non rationnel, donc $\sqrt 2$ est irrationnel.
Mais j'ai l'impression que la première fois que j'ai vu la démonstration de l’irrationalité de $\sqrt2$, au milieu des années soixante, mon professeur avait parlé de « réduction à l'absurde. »
Avoue aussi que la différence entre les deux types de raisonnements n'est pas si difficile que ça à comprendre si on fait un petit effort pour distinguer les propriétés définie "négativement" (par exemple, $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel ou encore $0$ n'est pas un inversible de $(\R,\times)$) des propriétés définies "affirmativement" (par exemple $f$ est bornée).
Bon alors merci JLapin et Mediat_supreme Je pense que cela va un peu mieux.
Mais je continue a penser que cela dépend de la définition et du support à la définition, le support maths de lycée n'est pas le support maths du supérieur.
Donc niveau lycée. Le raisonnement par l'absurde consiste à utiliser la proposition contraire à ce qui est demandé et on montre une absurdité. Il est dit dans les cours pour lycéen que ce mode de raisonnement est en effet habituel pour démontrer les problèmes de type ... n'est pas ..., donc oui quand on a déjà un "non p" à démontrer. Il est dit aussi en cours lycée : on marque que l'on va raisonner par l'absurde ce qui autorise contrairement aux exigences de Dom à commencer bille en tête avec le "non p".
Au niveau supérieur, c'est plus dur pour moi. Mais la définition de départ reste la même seul le support devient l'écriture des implications avec raisonnement direct raisonnement avec la contraposée raisonnement par l'absurde avec Qs [??? AD] les connecteurs logiques. Et ce serait en écrivant ces implications que les moments où on veut montrer un "non P" après du "donc non non p" ces trucs là seraient soit trivial soit idiot.
J'en suis là.
[Merci de se relire avant d'envoyer, cela permet de corriger les coquilles rendant pénible la lecture. AD]
@Verdurin : compte-tenu de l'époque, cela doit provenir de ce texte bourbakiste :
Il s'agit ici de l'apagogie positive dont parlait GaBuZoMeu, et avec laquelle l'on peut déduire les critères C16 et C17 (impossible à établir en LI). Il faut revoir les justifications métamathématiques ; sinon ça se tient.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
@nicolas.patrois : je suis assez d'accord avec tes deux derniers fils au sujet du pékin moyen. En version très optimiste, cela semblerait indiquer que les gens qui arrivent à y retrouver leur latin sont des pékins supérieurs. A discuter.
Ce qui est grave (mais le sujet a déjà été évoqué plus haut), c'est que les profs ne sont pas du tout formés sur ces questions. J'en ai été moi-même une victime, comme je l'ai expliqué ci-dessus.
J'ai un souvenir très marqué de mon prof de TC qui, lors de la construction de $\mathbb{N}$, nous avait donné 2 versions de l'axiomatique de Peano, dont il avait démontré qu'elles étaient équivalentes. Je sentais confusément qu'il y avait un truc chelou par là dessous... et il m'a fallu 40 ans pour comprendre que l'une des versions était au premier ordre, et l'autre au second ordre. Je peux me tromper mais je ne pense pas que le monsieur en ait été conscient.
Attention heinki, tu sembles dire qu’il suffit d’annoncer « je raisonne par l’absurde » pour le faire.
1) Tu vois bien qu’il y a un problème dans le texte suivant :
« On va démontrer que 10 est pair. On raisonne par l’absurde. Comme 10=2x5, alors 10 est bien un nombre pair. »
2) quels sont « ces cours de lycée » ? d’où sortent ces « il est dit … » ?
3) je te cite en italique : Le raisonnement par l'absurde consiste à uiliser la proposition contraire a ce qui est demandé et on montre une absurdité. OUI, ça c’est ce que tout le monde dit. Il est dit dans les cours pour lycéen que ce mode de raisonnement est en effet habituel pour démontrer les problèmes de type... n'est pas ..., donc oui quand on a dejà un nonp à démontrer. OUI, dire cela me va très bien.
Il est dit aussi en cours lycée: on marque que l'on va raisonner par l'absurde ce qui autorise contrairement aux exigences de Dom à commencer bille en tete avec le nonp LÀ, je ne comprends pas.
a) Je dis que quand on annonce « je raisonne par l’absurde » on doit commencer par « non(nonP) ».
b) Je ne dis certainement pas de commencer par « non(P) ».
c) Je dis aussi que commencer par « P » n’est pas la marque d’une démonstration par l’absurde.
salut Dom, je parles DE et pas DES cours de lycée. Donc CES cours disent: le raisonnement par l'absurde part de la proposition contraire a celle demandée de démontrer pour aboutir a du faux du contradictoire... Pour cela il est conseillé de rediger:
On va raisonner par l'absurde. (et c'est cette phrase qui dit au lecteur attention ci_dessous arrive non-truc à demontrer) racine de deux est rationnel (quand la question demande de démontrer irrationnel) 10 est impair (quand on demande de démontrer 10 est pair par l'absurde) les deux droites sont sécantes (quandil est demandé de démontrer les droites sont parallèles.
je suppose « m est pair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ». J’en déduis que « m est impair ». —fin—
Ai-je utilisé un raisonnement par l’absurde ?
remarque : « des cours de lycées » pour moi c’est vague. J’ai besoin d’une source. Ce sont les programmes officiels ? Un site ? Un manuel ? j’ai besoin d’un cliché, par exemple, et de savoir d’où ça sort.
J’ai vu plein de cours de lycées, et parfois il n’y avait pas les mêmes choses… voire il y avait des choses contradictoires…
je suppose « m est pair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ». J’en déduis que « m est impair ». —fin—
Vous utilisez $P \Rightarrow \bot$, c'est-à-dire la définition de $\neg P$, mais si vous partez de "m n'est pas impair" alors vous allez utiliser un raisonnement par l'absurde ; cet exemple illustre bien ma réticence à faire de ce distinguo un point fondamental.
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, ce sont des conseils. Et ici, certains suggèrent de rédiger différemment en omettant l'amorce "raisonnons par l'absurde" lorsque la propriété à démontrer est clairement une négation (comme $0$ n'est pas inversible ou $\sqrt 2$ n'est pas rationnel).
A partir de la page 11 il est récapitulé les différentes ’’définitions’’ du raisonnement par l’absurde au lycée dans les différents manuels depuis 2010 et on constate bien qu’il y a eu beaucoup de versions différentes et souvent peu convaincantes (avec souvent des définitions qui manquent comme ’’contradictoire’’ etc)
Il y a les raisonnements qui commencent par "démontrons que" et qui enchainent depuis les hypothèses vers la conclusion. Et se terminent par "quod erat demonstrandum". Et il y a les raisonnements qui commencent par "réduisons à l'absurde l'assertion que" et qui enchaînent depuis l'hypothèse à réduire vers quelque proposition que l'on sait être fausse. Et cela se termine par "quod erat delendum".
Lorsque l'on se place dans la logique rantanplan, i.e. celle de tout le monde sauf de ceux qui font exprès de faire autrement, toute proposition est équivalente à la négation de sa propre négation. La parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte dans le calcul des tables de vérité.
Certains s’amusent à ironiser sur le fait qu’on admette ou pas que la double négation revient au même. Moi, je suis de ceux qui sont d’accord avec ça, j’admets que « non(non($machin$) est équivalent à $machin$ ». Et j’applique ce « principe » sans problème autant de fois que j’en ai envie. Par contre, ça porte un nom.
Mais ceux qui ironisent, on ne les entend plus pour annoncer s’ils sont d’accord ou pas avec le nom qu’on donne à ce « principe ».
Peut-être que ça ne les dérange pas de lire : —début— Appliquons le théorème de Thalès. Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, on a $BC^2=BA^2+AC^2$. —fin— Font-ils exprès de mettre en route le « silence radio » ?
Moi, il m’apparaît évident de devoir signaler qu’il y a une erreur dans ce texte. Du moins un tout léger problème.
"La parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte dans le calcul des tables de vérité. " Que faut-il comprendre de ce galimatias ? Que la valeur de vérité de "Nini peau d'chien" est égale à celle de "Peau d'chien" ou à celle de "Ninini peau d'chien" (puisque la parité du nombre de "ni" n'est pas prise en compte).
La table de vérité de l'opérateur "et" s'écrit: $ \begin {array}{c|cc} { et}&V&F\\ \hline V&V&F \\ F&F&F\end {array} $ Si le premier argument s'évalue en "V" et le deuxième argument s'évalue en "V", alors le résultat vaut V. Et cela est indépendant de la parité du nombre de "ni" initiaux dans l'expression de arg1, ou de arg2.
Par exemple, si peau_d'chien est vrai alors nininipeau_d'chien est faux, et l'on s'intéresse à la deuxième ligne de la table. Par exemple, si peau_d'chien est faux alors nininipeau_d'chien est vrai, et l'on s'intéresse à la première ligne de la table.
Ce que GBZM veut nous vendre, c'est une procédure où les arguments sont passés sans évaluation, et où l'on compte les "ni" zinitiaux, et où ... tout ça tout ça. —début—
je suppose « m est pair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ». J’en déduis que « m est impair ». —fin—
—début—
je suppose « m est impair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ». J’en déduis que « m est pair ». —fin—
Voila deux réductions à l'absurde. Dire que l'une relève de la pédagogie positive et l'autre de la pédagogie négative parce que "non impair" est un nini, tandis que "non pair" est un ni tout seul... ah que voilà une trouvaille. Cordialement, Pierre.
GaBuZoMeu, je ne sais pas mais moi, c'est plus la formulation "la parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte" qui me pose problème car de fait elle est prise en compte : - si c'est pair c'est V (resp F) - si c'est impair c'est F (resp V) Mais bon, avec un peu de bonne volonté, j'avais interprété, et avec beaucoup de bonne volonté j'avais traduit le latin sur google translate et même cherché ce que pldx1 pouvait bien fabriquer avec son ply, j'avais d'ailleurs trouvé l'information ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1453374#Comment_1453374
Personne ne me demande mon avis, mais je le donne quand même, cela n'a d’intérêt qu'à partir du moment où on s'intéresse à la logique intuitionniste et ce n'est pas interdit de s'y intéresser même sans jamais l'utiliser. Pour le vendre, je dirais que ça dépend du public mais l'idée n'est pas idiote d'expliquer qu'il existe plusieurs logiques je trouve. Après le coté très pragmatique de ce que propose pldx1 est quand même nettement plus facile à vendre je pense.
Par contre Dom le vocabulaire ne me dérange pas tant que le raisonnement est correct, ce n'est pas la même chose que l'histoire de nommer un mathématicien via son théorème. Deux raisonnements (la réfutation et le raisonnement par l'absurde) ont le même nom pour mes élèves et alors ? ça ne m’empêche pas de dormir ni eux de réussir même si j'évite de faire l'erreur personnellement. Et je dirais même que présenter une différence sans la justifier est dommage car cela perd tout son sens selon moi.
In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
Et bien tu peux considérer que pour toi « ce n’est pas la même chose que l’histoire de nommer un mathématicien via son théorème ».
Ou encore que « pour les élèves c’est la même chose » alors que ce n’est pas la même chose.
Pour rappel, on nomme plutôt un théorème qui porte le nom d’un mathématicien. RPA est le nom d’un axiome et donc il est incorrect de l’invoquer quand ce n’est pas cela qui est appliqué. C’est comme de dire « par le modus ponem » et d’ajouter une phrase qui n’a rien à voir avec.
Et enfin, c’est un autre angle d’attaque : je m’étonne de voir « le vocabulaire ne me dérange pas tant que le raisonnement est correct ».
Allons-y avec « On procède par récurrence, le triangle ABC est rectangle en A donc … ».
Ça ne gêne pas non plus ?
NB : la discussion pour moi n’a aucun rapport avec la logique intuitionniste.
Mais je ne fais pas le malin, je me souviens tiquer et ne rien comprendre… et ça a duré longtemps. J’ai appris ces choses là en dehors de mon cursus scolaire, universitaire et professionnel.
Moi aussi, j'ai appris ça en dehors mais tu exagères, entre dire cela ne me dérange pas que deux raisonnements portent le même nom et dire on peut mettre n'importe quel nom n'importe quand, il y a une marge. Mais par exemple, utiliser uniquement le mot récurrence que ce soit pour la récurrence simple, double ou forte ne me dérange pas vraiment non plus.
In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
À juste titre car en l'occurrence, c'est toujours une récurrence simple (avec un $P_n$ bien choisi de la forme "pour tout k naturel plus petit que n, blabla(k)"). C'est du vocabulaire de pédagogue en fait
pldx1 : bonsoir. Je pense que c'est toi qui cherche à nous vendre quelque-chose avec tes blablabla. Je suis très attaché à cette mathématique dominée par le principe du tiers-exclu et tout ce qui s'y rattache. Cependant, je ne m'oppose plus à visiter une autre mathématique où le tiers-exclu n'y est plus. Pour l'instant, je me consacre aux catégories et plus tard aux topos. Ensuite, l'on verra...
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
il ne VA PAS DE SOI que toute phrase est le contraire d'une autre. Cette propriété est le résultat de choix particuliers d'axiomes qui présideront à la manipulation des phrases et si vous en enlevez certains, l'équivalence $\neg \neg X \Leftrightarrow X$ cesse d'être valide, en logique intuitionniste vous n'avez que $X\Rightarrow \neg \neg X$, l'autre implication ne provenant pour toute phrase que de l'emploi d'axiomes partiuliers (exemple: $\neg \neg X \Rightarrow X$, le recours à un tel axiome s'appelant souvent "raisonnement par l'absurde").
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Dom : tu dis non à quoi précisément dans ce que j'ai dit ? J'ai dit qu'une récurrence double ou forte est en fait une récurrence banale mais dont la proposition est "astucieusement" choisie. Donc préciser "double" ou "forte" est là pour indiquer une technique de résolution d'exos mais pour citer un théorème. Qu'est-ce qui ne te va pas ?
salut Dom, je parles DE et pas DES cours de lycée. Donc CES cours disent: le raisonnement par l'absurde part de la proposition contraire a celle demandée de démontrer pour aboutir a du faux du contradictoire... Pour cela il est conseillé de rediger:
Les gens par réflexe inconscient traitent mentalement chaque énoncé comme le contraire d'un autre et se braquent devant ces discours qui du coup de leur point de vue deviennent incompréhensibles.
La logique est d'abord une prise de distance par rapport au langage (en l'espèce mathématique) : on l'observe de loin pour l'étudier comme un objet au lieu d'évaluer spontanément toutes les phrases selon le mode unique des tables de vérité.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Pour aller dans le sens de troisqua, je trouve le nom "récurrence forte" très perturbant puisque justement, elle n'est pas plus forte que la récurrence "standard".
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Tout vient de « l'axiome » $p\text{ ou non}(p)$ qu'on postule ou pas. Et on peut voir comment à partir de cet axiome, on arrive à $p=\text{non}(\text{non}(p))$.
On suppose que toute proposition peut s'écrire sous la forme d'une négation (pas forcément évident non plus), et posons $p=\text{non(q)}$ (1), mais comment choisir $q$ ? On sait au moins que $q=f(p)$
Si on a $q\text{ ou non}(q)$, alors : $q\text{ ou non}(q) \\ p\text{ ou non}(p) $ Or $p=\text{non}(q)$ donc : $q\text{ ou }p \\ p\text{ ou non}(p) $ En réarrangeant : $p\text{ ou } q \\ p\text{ ou non}(p) $ Il vient donc naturellement : $q=\text{non}(p)$, d'où avec (1) [$p=\text{non}(q))$] : $p=\text{non}(\text{non}(p))$
En fait, donc tout repose sur l'axiome : $p\text{ ou non}(p)$ (et qu'une proposition peut toujours s'écrire sous la forme d'une négation) qui est moins évident que $p=\text{non}(\text{non}(p))$.
Par exemple, un nombre est soit rationnel soit non rationnel est un axiome et ne découle pas d'un théorème mathématique (autre que la tautologie), ce que les intuitionnistes (ou constructivistes) ne veulent pas avoir à postuler à priori (en plus, ponctuellement, d'après ce que j'ai compris, les intuitionnistes ne s'interdisent pas d'utiliser $p=\text{non}(\text{non}(p))$ mais la différence est qu'ils leur faut le démontrer).
Mais je pense que la plupart connaisse bien tout ça.
Réponses
Tu dis, en gros que « le contraire de non P, c’est P ».
Pour ma part, c’était ce « supposons P » qui est écrit directement (sans même dire « supposons non P, ce qui revient à supposer P ») qui est fautif si on parle de faire un raisonnement par l’absurde.
Non je commence juste e comprendre ce que Dom voulait dire, enfin peut-ètre
Si le cinoche est sur ce point, c'est tres surprenant
On appelle raisonnement par l'absurde soit une définition basée sur les implications,
soit en premiere définition ceci:
on veut montrer A,
le raisonnement par l'absurde va envisager ce qui se passe pour nonA et qs contradiction truc faux
Bref dès lors si tu annonces que tu vas démontrer racine deux non rationnel par l'absurde
Tu es bien sur autorisé à écrire d' emblée
on prend racine deux rationnel
Puisque tu viens de mettre en premiere ligne que tu le fais par l'absurde
Bref ce coté manque de rigueur dans l'écriture est du manièrisme psychorigide
Ce point peut etre passé
Il ya un second point qui est:
on apprend raisonnement par l'absurde au collège lycée, bien avant la logique
Donc c'est étrange de répondre ceci ou cela est le vrai raisonnement par l'absurde sans dire pour quel niveau d'élève on s'adresse
Je suis d'un niveau maths collège , début de lycée
Et c'est avec ce niveau que j'essaye de comprendre
Donc il y a d’excellentes réponses pour le supérieur dans ce fil de discussion.
Maintenant si vraiment je comprends le début du fil de discussion, je ne serais pas intervenu puisque dès lors que tu annonces, on va faire un raisonnement par l'absurde, il est légitime d'écrire directement on prend racine de deux rationnel.
Encore heureux.
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2374412/#Comment_2374412
Ainsi, il faut trancher : elle ne peut pas être la même « avec RPA » et « sans RPA ». C’est bizarre sinon.
soit en première définition ceci:
on veut montrer A,
le raisonnement par l'absurde va envisager ce qui se passe pour nonA et qs (?? qand ?) contradiction truc faux"
on semble dire que il ne viendrait pas l'esprit raisonnement par l'absurde
Alors que je pense avoir compris que finalement oui c'est bien raisonnement par absurde, mais juste une étape d'écriture qui manque
Donc perso je reprends
Démontrer racine de deux non rationnel
Ben soit tu le fais en direct, racine de deux verifie patati pâtat donc une propriété qui définit non rationnel
Soit de façon indirect, raisonnement par l'absurde, on prend le contraire,
le point de départ est racine deux est rationnel
Donc je lis des" t'a rien compris on est tous d'accord pour dire que c'est un raisonnement par l'absurde",
et nombre de réponse de GBZM ou Foys qui disent," ça vous viendrait pas à l'idée d'appeler cela raisonnement par l'absurde"
Bref, c'est pas encore clair ce que vous dites
j'aimerais dejà plutot comprendre les deux trucs suivant:
il fallait bien comprendre que c'est un raisonnement par l'absurde qui est proposé
versus
il ne viendrait pas à l'esprit d"appeler cela raisonnement par l'absurde de GBZM, et Foys disant qu'on appelle une addition une multiplication =on ne doit pas appeler cela raisonnement par l'absurde
’’Démontrer par l’absurde que A est vrai, c’est démontrer que (non A) est fausse en exhibant une proposition C telle que:
1) [(non A)$\Rightarrow$C] vraie et C fausse
Ou
2) [(non(A)$\Rightarrow$ (C et (non C))] vraie
La démonstration du début du fil que $\sqrt{2}$ est irrationnel est du shéma 2) avec la proposition A ’’$\sqrt{2}$ est irrationnel’’ et la proposition C ’’p et q sont premiers entre eux’’. La proposition (non A) est ’’il existe deux entiers p et q premiers entre eux et $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$’’
Ce que disent Foys et GaBuZoMeu est une définition valide dans "toutes" les logiques, et ils ont raison de remarquer que $\neg P := P \rightarrow \bot$ n'est pas la même chose que $\neg\neg P \Leftrightarrow P$. Le seul bémol que je place et qui leur déplait (le bémol) c'est qu'en logique classique tout formule $\varphi$ peut s'écrire $\neg \psi$, on peut donc toujours passer d'un schéma à l'autre.
Personnellement, je suis plus intéressé par les raisonnements que par le vocabulaire (qui est indispensable à titre pédagogique)
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
-- Schnoebelen, Philippe
Raisonnement lambda (exemple).
Supposons $\sqrt 2$ rationnel, alors on en déduit $\sqrt 2$ non rationnel, contradiction donc $\sqrt 2$ n'est pas rationnel.
Raisonnement par l'absurde (exemple).
Supposons $\sqrt 2$ rationnel, alors on en déduit $\sqrt 2$ non rationnel, donc $\sqrt 2$ est irrationnel.
Supposons $\sqrt 2$ non irrationnel. Alors ...
Supposons $f$ non bornée.
-- Schnoebelen, Philippe
Je pense que cela va un peu mieux.
Mais je continue a penser que cela dépend de la définition et du support à la définition, le support maths de lycée n'est pas le support maths du supérieur.
Donc niveau lycée.
Le raisonnement par l'absurde consiste à utiliser la proposition contraire à ce qui est demandé et on montre une absurdité.
Il est dit dans les cours pour lycéen que ce mode de raisonnement est en effet habituel pour démontrer les problèmes de type
... n'est pas ..., donc oui quand on a déjà un "non p" à démontrer.
Il est dit aussi en cours lycée :
on marque que l'on va raisonner par l'absurde
ce qui autorise contrairement aux exigences de Dom
à commencer bille en tête avec le "non p".
Au niveau supérieur, c'est plus dur pour moi.
Mais la définition de départ reste la même
seul le support devient l'écriture des implications avec
raisonnement direct
raisonnement avec la contraposée
raisonnement par l'absurde avec Qs [??? AD] les connecteurs logiques.
Et ce serait en écrivant ces implications que les moments où on veut montrer un "non P"
après du "donc non non p"
ces trucs là seraient soit trivial soit idiot.
2) quels sont « ces cours de lycée » ?
d’où sortent ces « il est dit … » ?
3) je te cite en italique :
Le raisonnement par l'absurde consiste à uiliser la proposition contraire a ce qui est demandé et on montre une absurdité.
OUI, ça c’est ce que tout le monde dit.
Il est dit dans les cours pour lycéen que ce mode de raisonnement est en effet habituel pour démontrer les problèmes de type ... n'est pas ..., donc oui quand on a dejà un nonp à démontrer.
OUI, dire cela me va très bien.
Il est dit aussi en cours lycée:
on marque que l'on va raisonner par l'absurde
ce qui autorise contrairement aux exigences de Dom
à commencer bille en tete avec le nonp
LÀ, je ne comprends pas.
je parles DE et pas DES cours de lycée.
Donc CES cours disent:
le raisonnement par l'absurde part de la proposition contraire a celle demandée de démontrer pour aboutir a du faux du contradictoire...
Pour cela il est conseillé de rediger:
On va raisonner par l'absurde.
(et c'est cette phrase qui dit au lecteur attention ci_dessous arrive non-truc à demontrer)
racine de deux est rationnel (quand la question demande de démontrer irrationnel)
10 est impair (quand on demande de démontrer 10 est pair par l'absurde)
les deux droites sont sécantes (quandil est demandé de démontrer les droites sont parallèles.
—début—
J’en déduis que « m est impair ».
—fin—
remarque : « des cours de lycées » pour moi c’est vague. J’ai besoin d’une source. Ce sont les programmes officiels ? Un site ? Un manuel ?
j’ai besoin d’un cliché, par exemple, et de savoir d’où ça sort.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/PX/IGR18018/IGR18018.pdf
Il y a les raisonnements qui commencent par "démontrons que" et qui enchainent depuis les hypothèses vers la conclusion. Et se terminent par "quod erat demonstrandum". Et il y a les raisonnements qui commencent par "réduisons à l'absurde l'assertion que" et qui enchaînent depuis l'hypothèse à réduire vers quelque proposition que l'on sait être fausse. Et cela se termine par "quod erat delendum".
Lorsque l'on se place dans la logique rantanplan, i.e. celle de tout le monde sauf de ceux qui font exprès de faire autrement, toute proposition est équivalente à la négation de sa propre négation. La parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte dans le calcul des tables de vérité.
Quant à C17, cela provient de :
Cordialement, Pierre.
Moi, je suis de ceux qui sont d’accord avec ça, j’admets que « non(non($machin$) est équivalent à $machin$ ».
Et j’applique ce « principe » sans problème autant de fois que j’en ai envie.
Par contre, ça porte un nom.
—début—
Appliquons le théorème de Thalès.
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, on a $BC^2=BA^2+AC^2$.
—fin—
Font-ils exprès de mettre en route le « silence radio » ?
Que faut-il comprendre de ce galimatias ? Que la valeur de vérité de "Nini peau d'chien" est égale à celle de "Peau d'chien" ou à celle de "Ninini peau d'chien" (puisque la parité du nombre de "ni" n'est pas prise en compte).
$ \begin {array}{c|cc} { et}&V&F\\ \hline V&V&F \\ F&F&F\end {array} $
Si le premier argument s'évalue en "V" et le deuxième argument s'évalue en "V", alors le
résultat vaut V. Et cela est indépendant de la parité du nombre de "ni" initiaux dans l'expression de arg1, ou de arg2.
Par exemple, si peau_d'chien est vrai alors nininipeau_d'chien est faux, et l'on s'intéresse à la deuxième ligne de la table.
Par exemple, si peau_d'chien est faux alors nininipeau_d'chien est vrai, et l'on s'intéresse à la première ligne de la table.
Autrement dit $et := proc (\arg_1, \arg_2)\; \arg_1 + \arg_2 - \arg_1*\arg_2\; end; $
Ce que GBZM veut nous vendre, c'est une procédure où les arguments sont passés sans évaluation, et où l'on compte
les "ni" zinitiaux, et où ... tout ça tout ça.
—début—
J’en déduis que « m est impair ».
—fin—
J’en déduis que « m est pair ».
—fin—
parce que "non impair" est un nini, tandis que "non pair" est un ni tout seul... ah que voilà une trouvaille.
Cordialement, Pierre.
Je ne parle pas de « réduction ».
- si c'est pair c'est V (resp F)
- si c'est impair c'est F (resp V)
Mais bon, avec un peu de bonne volonté, j'avais interprété, et avec beaucoup de bonne volonté j'avais traduit le latin sur google translate et même cherché ce que pldx1 pouvait bien fabriquer avec son ply, j'avais d'ailleurs trouvé l'information ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1453374#Comment_1453374
RPA est le nom d’un axiome et donc il est incorrect de l’invoquer quand ce n’est pas cela qui est appliqué.
C’est comme de dire « par le modus ponem » et d’ajouter une phrase qui n’a rien à voir avec.
NB : la discussion pour moi n’a aucun rapport avec la logique intuitionniste.
J’ai appris ces choses là en dehors de mon cursus scolaire, universitaire et professionnel.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On suppose que toute proposition peut s'écrire sous la forme d'une négation (pas forcément évident non plus), et posons $p=\text{non(q)}$ (1), mais comment choisir $q$ ? On sait au moins que $q=f(p)$
Si on a $q\text{ ou non}(q)$, alors :
$q\text{ ou non}(q) \\
p\text{ ou non}(p)
$
Or $p=\text{non}(q)$ donc :
$q\text{ ou }p \\
p\text{ ou non}(p)
$
En réarrangeant :
$p\text{ ou } q \\
p\text{ ou non}(p)
$
Il vient donc naturellement : $q=\text{non}(p)$, d'où avec (1) [$p=\text{non}(q))$] :
$p=\text{non}(\text{non}(p))$
En fait, donc tout repose sur l'axiome : $p\text{ ou non}(p)$ (et qu'une proposition peut toujours s'écrire sous la forme d'une négation) qui est moins évident que $p=\text{non}(\text{non}(p))$.
Par exemple, un nombre est soit rationnel soit non rationnel est un axiome et ne découle pas d'un théorème mathématique (autre que la tautologie), ce que les intuitionnistes (ou constructivistes) ne veulent pas avoir à postuler à priori (en plus, ponctuellement, d'après ce que j'ai compris, les intuitionnistes ne s'interdisent pas d'utiliser $p=\text{non}(\text{non}(p))$ mais la différence est qu'ils leur faut le démontrer).
Mais je pense que la plupart connaisse bien tout ça.