Matrice jacobienne et fonction C1

Abdoumahmoudy

Bonsoir à tous ,
S'il vous plaît comment montrer que une fonction est C1 à l'aide de sa matrice jacobienne ?
Merci d'avance pour vos aides.

Abdoumahmoudy

C1 : de classe C1

Positif

La propriété d’être $\mathcal{C}^1$ se lit sur les dérivées partielles : une fonction $f$ est $\mathcal{C}^1$ si et seulement si toutes ses dérivées partielles $\partial_{x_i} f $ existent et sont continues.

Abdoumahmoudy

Positif
Et donc l'existence de la matrice jacobienne associée suffit de dire qu'elle est C1 ??

Positif

Non. La matrice jacobienne c'est juste un raccourci pour  écrire la différentielle de $f$ en un point. Il faut vérifier la continuité des $\partial_{x_i} f $  (ou des $\partial_{x_i} f_j $ si il y a plusieurs composantes pour $f$ ). 

Abdoumahmoudy

D'accord, merci beaucoup à vous 🙏🙏

stfj

bonjour, 
A propos de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$, je vous propose $\phi:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (x+y^2,y)$. C'est même un difféormorphisme dont l'effet sur les cercles est intéressant : 

Positif

@stfj https://en.wikipedia.org/wiki/Joukowsky_transform
Pour l'aviation

Abdoumahmoudy

Positif
Merci.

Abdoumahmoudy

Mais qu'est-ce qu'on peut dire sur l'inversibilité de la matrice jacobienne si cette matrice est inversible??

GaBuZoMeu

Bonjour,

Si elle est inversible, on peut alors dire qu'elle est inversible. Et je dirais même plus : la réciproque est vraie.

Abdoumahmoudy

Merci.

stfj

@Abdoumahmoudy : bonjour.

Mais qu'est-ce qu'on peut dire sur l'inversibilité de la matrice jacobienne si cette matrice est inversible??

Je te propose de regarder l'exemple que j'ai fourni : $\phi:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (x+y^2,y)$. C'est une application très commode de $\R^2$ dans $\R^2$ qui a l'avantage, contrairement par exemple au superbe exemple fourni par @Positif d'être définie sur $\R^2$ tout entier.
Je confonds jacobien et matrice jacobienne. On a $\text{Jac}(\phi)(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Si tu inverses cette dernière matrice, sans te poser plus de question que cela, tu obtient $\begin{pmatrix} 1 & 2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
$\phi$ est vraiment très commode : si l'on calcule, même formellement, sur les relations $x'=x+y^2$ et $y'=y$, on obtient aisément $y=y'$ puis $x=x'-y'^2$. On a ainsi l'expression de $\phi^{-1}:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (x-y^2,y)$, presque la même expression, au signe $-$ près que celle de $\phi$.
On peut alors s'amuser à en déterminer la matrice jacobienne : $$\text{Jac}(\phi^{-1})(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} 1 & -2y_0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$Que venons-nous de faire ?
Nous venons d'illustrer le fait que :$$\text{Jac}(F^{-1})=(\text{Jac}(F))^{-1}$$ à chaque fois que ces écritures ont du sens.
À quoi tout ceci sert-il ?
Si tu reprends l'illustration que j'ai fournie et que tu inverses les rôles de $\phi$ et de $\phi^{-1}$, la matrice jacobienne permet de calculer des tangentes aux drôles de courbes à droite. Le résultat précédent montre que ce sont tout simplement les transformées des tangentes aux cercles, qui sont eux-mêmes les transformés des "drôles de courbes". L'expression paramétrée des drôles de courbes paraît compliquée. En réalité, pas tant que ça : ce sont simplement des variétés de dimension 1, je crois, mais ceci est une autre histoire...
Cordialement.

stfj

@Abdoumahmoudy : si cela t'intéresse, je te propose que nous nous penchions sur une fonction de $\R^2$ dans $\R^2$ plus simple et très classique : $(x,y) \mapsto (2x,y)$ et sur son effet sur les cercles de centre $0$ et sur les tangentes aux cercles. Je propose les notations suivantes qui feront le lien avec la plupart des cours sur la différentiabilité, la matrice jacobienne, le jacobien. $\phi:\R^2 \to \R^2, (x,y) \mapsto (f(x,y), g(x,y))$ où $f:\R^2 \to \R, (x,y) \mapsto 2x$ et $g:\R^2 \to \R, (x,y) \mapsto y$.

math2

Une fonction qui est un homéomorphisme de classe $C^1$ entre deux ouverts de $\R^N$ est un $C^1-$difféomorphisme si et seulement si sa différentielle est inversible en tout point (ce qui équivaut au fait que sa jacobienne est inversible en tout point).

Une fois le théorème d'inversion locale vu, on peut même affaiblir un doigt l'hypothèse du sens direct (remplacer homéomorphisme par bijection continue).