Carrés dans $\mathbb F_p$
Réponses
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Ne pourrais tu pas faire l'effort de trouver quelque part un résultat sur le cardinal d'un quotient ?
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Merci ! En effet, le résultat figure dans le cours sur les groupes quotients mais ne l'ayant jamais utilisé je l'ai oublié.
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@OShine, bonjour. Comme tu as oublié le théorème de Lagrange, tu risques de ne pas avoir compris l'allusion au théorème de Fermat faite par l'auteur du document que tu proposes. Je te conseillerais, si tu m'autorises un conseil, de commencer par le petit théorème de Fermat. Et d'examiner des exemples. Le théorème de Fermat s'interprète très bien en manipulant des nombres entiers et est donc "concret". Ensuite, pour le démontrer, on voit un intérêt du théorème de Lagrange. On peut même généraliser facilement au théorème d'Euler... Bref, j'ai l'impression que tu ne prends pas les notions dans le bon ordre. Quant aux carrés de $F_p^*$, si t'examines $F_5^*$, on éclaire facilement tout le texte proposé en écrivant $1\times 1=1\ ;\ 2 \times 2=-1\ ;\ 3 \times 3=-1\ ;\ 4 \times 4=1$. Ci-joint un petit dessin qui pourra peut-être aider. Cordialement.
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Dans la démonstration, me semble-t-il, il est mal expliqué pourquoi un non-carré* modulo $p$, $x$ doit vérifier $x^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mod{p},\ $ ($p$ un nombre premier impair).
D'après le petit théorème de Fermat on sait qu'un nombre $y$ qui n'est pas un multiple de $p$ vérifie $y^{p-1}\equiv 1\mod{p}$
Un non carré $x$ n'est pas congru à $0$ modulo $p$ donc n'est pas divisible par $p$.$\left(x^{\frac{p-1}{2}}\right)^{2}=x^{p-1}\equiv 1\mod{p}$ d'après le petit théorème de Fermat. Donc cela signifie que $x^{\frac{p-1}{2}}$ est congru à $-1$ ou $1$ modulo $p$ car l'équation $X^2\equiv 1\mod{p}$ a deux solutions** $X\equiv -1\mod{p}$ ou $X\equiv 1\mod{p}$mais dans la démonstration il est montré que si $x^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\mod{p}$ alors $x$ est un carré (et réciproquement) donc on a bien que si $x$ est un non-carré*** modulo $p$ il vérifie $x^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mod{p}$*: c'est-à-dire, qu'il n'existe pas d'entier $u$ tel que $x\equiv u^2\mod{p}$** $X^2\equiv 1\mod{p}$ est équivalent $(X-1)(X+1)\equiv 0\mod{p}$ ce qui veut dire que $(X-1)(X+1)$ est divisible par $p$ et le théorème/lemme d'Euclide nous permet d'affirmer que $p$, qui est premier, divise $X-1$ ou divise $X+1$.Ou bien, plus abstraitement, $\mathbb{F}_p$ est un corps donc on a la propriété: un produit de facteurs est nul....***: Un entier ne peut pas être en même temps un carré et un non-carré. Ce sont deux propriétés qui s'excluent mutuellement.PS.
Le petit théorème de Fermat, en langage des groupes, est un cas particulier du théorème qui affirme que dans un groupe fini $G$, si $n$ est l'ordre de $G$ on a pour tout $x$ de $G$, $x^n=e$ où $e$ est l'élément neutre de $G$ et on utilise une notation multiplicative pour la loi de groupe. On applique ce théorème au groupe multiplicatif de $\mathbb{F}_p$, noté $\mathbb{F}^\star_p$, ce groupe est d'ordre $p-1$. -
@Fin de partie: bonjour,
Je ne suis pas sûr qu'il soit judicieux de "revenir" aux entiers via les congruences pour analyser ce que l'auteur du texte écrit. Par exemple, dans la définition des non-carrés que tu proposes ( ton astérisque *), prenons $p=7$ par exemple : $0\equiv 14^2\mod{7}$. Et pourtant $0:=cl(0)=7\mathbb{Z}$ n'est pas un carré dans le sens où l'auteur l'entend puisque $0 \notin F_7^*$. En particulier $0^{\frac{7-1}{2}} \neq \mp 1$.
En ce qui me concerne, ce que l'auteur écrit (j'aimerais bien, @OShine savoir qui il est
) me semble fluide. Je regrette juste l'absence de dessins avec des flèches, d'où celui que j'ai proposé.
Cordialement, -
@Stfj: $0=0^2$ est bien un carré et donc ne peut pas être un non-carré modulo $p$. Un non-carré modulo $p$ ne peut pas être divisible par $p$ donc appartient à $\mathbb{F}^\star_p$.Ta critique ne se fait pas au bon endroit.Dans mon dernier message J'affirme que $x^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\mod{p}$ avec $p$ un nombre premier impair si et seulement si $x$ est un carré modulo $p$. Je n'ai pas donné de définition pour un carré modulo $p$ mais si je l'avais fait avec une définition proche de celle que j'ai donnée pour un non-carré il aurait fallu préciser en effet que $x\in \mathbb{F}^\star_p$.
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@Fin de partie: salut
Cela a peu d'importance : j'avoue que je suis un peu perdu avec tes retours aux nombres entiers. Je ne vois pas ce qui est "mal expliqué" dans la démo. -
Moi non plus. Je pense que la démonstration tient la route et l'une des conséquences en est effectivement que $x$ est un carré ssi $x^{(p-1)/2} =1$ (le sens direct découle de Fermat et le sens réciproque d'une inclusion entre l'ensemble des racines du polynôme qui va bien et les carrés, avec égalité des cardinaux).
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@Jlapin: $0$ n'est pas un carré modulo $p$*? et $0^{\frac{p-1}{2}}\not\equiv 1$*: $x$ est un carré modulo $p$ s'il existe un entier $u$ tel que $x\equiv u^2\mod{p}$
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C'est dans la démo : l'auteur (et moi aussi dans mon résumé) s'intéresse aux carrés dans $F_p^*$.
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@Math Coss: j'ai vérifié partiellement que la suite avait bien l'air d'être exacte. Pour l'instant je ne sais pas trop à quoi sert cette notion mais pourquoi pas ?
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Une perversion gratuite d'abstractionnistes, rien de plus.
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@Jlapin: Le parti-pris de cet auteur de définir cette notion que sur $\mathbb{F}^\star_p$ et pas sur $\mathbb{F}_p$ est critiquable de mon point de vue.
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Tu peux développer ta critique ?Moi je trouve l'exposé clair, élégant, s'appuyant sur des théorèmes structurels fondamentaux.Le choix de laisser $0$ de côté dans cet énoncé me semble donc fondé.
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Voici l'information contenue dans la suite exacte :
-- le noyau de $f$ est $\{-1,1\}$ : vrai mais bon, pas palpitant ;
-- $g\circ f$ est trivial : petit théorème de Fermat ou théorème de Lagrange, comme on veut ;
-- surjectivité de $g$ : pas trop étonnant ;
-- exactitude au cran qui reste, à savoir $\ker g=\mathop{\mathrm {im}}f$ : signifie exactement que $x$ est un carré ssi $x^{(p-1)/2}=1$, i.e.que le symbole de Legendre se calcule par la puissance (p-1)/2$-ième.
Pas si mal pour si peu de symboles, non ? Même si cela n'apporte rien de plus, je trouve que c'est une motivation pour parler en termes de suites exactes, ce qui donne un langage unificateur et concis. -
Jlapin: C'est une critique pédagogique: insister sur un point. Bien insister sur le fait qu'on peut définir la notion de carré et de non-carré sur $\mathbb{F}_p$ mais que les résultats démontrés qui suivent ne concernent que $\mathbb{F}^\star_p$ qui est un groupe pour la multiplication et que donc $0$ n'est pas concerné. Il ne s'agirait pas de voir: $0^{\frac{p-1}{2}}\not\equiv 1\mod{p}$ donc $0$ est un non-carré modulo $p$.
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Vous partez dans des détails trop techniques pour moi. Mais j'ai d'autres questions sur le sujet.
Dans le corollaire à quoi sert l'hypothèse p congru à 3 modulo 4 si elle n'est pas utilisée dans la démonstration ?
Pourquoi dans $F_3$ on ne compte pas 0 comme carré ? Une coquille ? Idem pour $F_{13}$.
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@stfj les dessins avec les flèches sont présents dans les théorèmes sur les quotients et dans la correction de nombreux exercices.
François Liret l'auteur que j'arrive le mieux à comprendre bien que ces notions m'ont l'air extrêmement difficiles étant donné que je ne les ai jamais étudiées lorsque j'étais étudiant je me suis arrêté à la MP.
Plus ça avance plus c'est dur il n'y a rien sur quoi me reposer je dois ingurgiter bon nombre de résultats que j'ai parfois du mal à mémoriser comme sur les carrés. -
@OShine : ok. Ne t'inquiète pas. Personne(même pas Von Neumann) ne comprend la mathématique. La seule chose à espérer est de se familiariser avec Elle. Au fait, quel est l'auteur du texte dont tu proposes des extraits?
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À quelle condition peux-tu élever un élément à la puissance $(p+1)/4$ ?
Pour éviter la réponse "Je ne sais pas", essaie donc avec $p=11$ et $p=13$. -
@OShine: j'ai regardé le corollaire et le cas de $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ en particulier. François Liret (si j'ai bien compris) reste assez exigeant avec son lecteur. Il y a plein de renvois sous-entendus à des résultats vus auparavant. Si on connaît bien ces résultats, cela passe; sinon cela casse. Je te suggère la lecture plus aisée à mon sens du cours du premier cycle de Jacques Dixmier, où celui fait fait systématiquement des renvois explicites du genre "d'après 3.1.2". Même Jean Dieudonné procédait ainsi dans Calcul infinitésimal par exemple. Même Henri Cartan... Cela se perd malheureusement...
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@Oshine: Les pages scannées dans ce message qui donnent la définition d'un nombre carré dans un corps viennent-elles du même livre dont tu as scanné des pages dans ton premier message?
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@Fin de partie oui.
Je ne vois pas comment on peut mémoriser tous ces résultats...
Et il y en a plusieurs qui suivent...
C'est à connaître par cœur ?
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@Oshine: Ce qui veut dire que dans ton bouquin l'auteur définit deux fois les notions de carré et de non-carré.
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J'ai un problème avec la démonstration de ce théorème.
C'est qui $r$ ? D'où sort l'égalité de congruence avec le $r$ ?
Je suis bloqué sur ça depuis plus d'une journée.
Ce genre de théorème est à connaître ? Comment on peut se souvenir de ça ?
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Il est indispensable pour tout agrégatif de connaître la première "loi complémentaire" qui donne la condition pour que $-1$ soit un carré. La deuxième est un peu plus pointue.
Exercice : démontrer la première loi en utilisant le fait que $\mathbf{F}_p$ est cyclique.
Application : montrer que $X^4+1$ n'est jamais irréductible sur $\mathbf{F}_p$. -
C'est quoi le rapport avec ma question ?
Comment on peut retenir ce genre de proposition ? Ça me paraît impossible à mémoriser.
La première loi est facile à retrouver mais pas la seconde. Je n'ai pas encore vu le cours sur le caractère cyclique de $F_p$. C'est plus simple à montrer en utilisant que $x$ est un carré si et seulement si $x^{(p-1)/2}=1$.
La première est p congru à 1 modulo 4.
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Pour l'exercice avec le polynôme il manque des informations sur p non ? Dans le cours il y a des conditions sur p pour que -1 soit un carré.
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Ça sort d'où l'égalité de congruence avec le r ?
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Mis à part le "-1 est un carré si" et "2 est un carré si" que je ne retiens jamais (mais qui se retrouve en testant 5, 7 et 17) il y a quoi de si dur qui mobilise une mémoire importante ?
La loi de réciprocité quadratique ne s'invente pas, d'accord, mais elle est simple, symétrique en p et q, et surtout marquante.
Le reste, ça se retrouve facilement. A condition de comprendre.
Mais encore une fois tu préfères la mémoire au recul et à la compréhension. C'est ton choix. Ça ne marche pour personne mais c'est ton choix. -
@Fin de partie Comment ça l'auteur définit deux fois les notions de carré et de non-carré ? La première page postée est la page 120 et elle contient une proposition et un théorème. La page donnant la définition est la page 119.
@OShine "C'est qui r ? " : là deuxièmepage de ton message commence par "où r est [...]"
Merci pour l'exercice @Math Coss. Pour la première question je pense voir pourquoi même si écrire la démonstration correctement va me demander un peu de travail. Pour la deuxième question, j'imagine qu'il faut étudier les 3 cas : p=2, p =1 mod 4 et p = 3 mod 4. Je vais y réfléchir plus en détail. -
Je bloque toujours sur l'égalité. J'ai pourtant relu 20 fois.
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Tourne la page.
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Et tu peux la relire encore un millier de fois en vain. Ce n'est pas comme ça que fonctionne l'apprentissage des mathématiques.
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Ça fait 3 jours que je bloque dessus c'est à ça que sert un forum d'entraide non ?
Je ne comprends rien à ce passage avec le cas $(p-1)/2$ pair ou impair. -
Ça ne fonctionne pas en plus.
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La parité de $(p-1)/2$ se calcule facilement à partir du reste de $p$ modulo $4$.
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Sauf que dans la preuve du résultat 2 il n'y a pas d'information sur le reste de p modulo 4.
Je ne vois pas le rapport avec ma question sur la démonstration du deuxième résultat. -
Si si, il y a des informations sur le reste de p modulo 4.
Si p est un nombre premier strictement plus grand que 2 il est impair et donc soit p = 1 mod 4, soit p = -1 mod 4. Tu remarqueras que la preuve distingue deux cas, ce n'est pas un hasard.
Pour comprendre ce qu'il se passe tu peux essayer de faire un tableau avec trois colonnes : dans la première tu mets les premiers entiers impair dans l'ordre (peu importe qu'ils soient premier ou pas), dans la deuxième tu mets ton entier modulo 4 et dans la troisième tu mets ton entier auquel tu retranches 1 puis tu divises le tout par 2.
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Je ne comprends rien.
Mais le corrigé de parle pas de modulo 4 je ne comprends pas le rapport avec la démonstration.
Le raisonnement est modulo p. -
Est-ce que tu as compris la première démonstration ?
Sinon fait le tableau que je suggère :
n | n mod 4 | (n-1)/2
-----------------------
1 | |
3 | |
5 | |
7 | |
9 | |
etc. | |
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D'où sort le r ? Tu n'as peut-être pas remarqué qu'on a écrit "bêtement" les congruences modulo p, qui sont toujours vraies (même si p n'est pas premier), car p=0 mod p, et une puissance de -1 est -1 ou 1 selon que la puissance est impaire ou paire.
On l'écrit pour 1, 2 ,3 , ..., jusqu'à (p-1)/2. Pourquoi ? Parce que ça va donner des choses.
Après, on ne sait pas si (p-1)/2 est pair ou impair, et on en a besoin pour écrire la congruence pour (p-1)/2.
Donc on distingue les deux cas.
On écrit la congruence pour (p-1)/2. En face on aura r=(p-1)/2 si (p-1)/2 est pair, et r=p-(p-1)/2 sinon.
Je ne sais pas si c'est ça qui bloque. -
@Lol_a pas compris ton raisonnement car $p$ est fixé dans la démonstration.
Elle n'est vraiment pas intuitive cette démonstration. Comment on sait qu'il faut écrire cette série de congruence et s'arrêter à r ?
Comment quelqu'un qui n'est pas un génie peut trouver ça ?
Je ne comprends pas pourquoi on a besoin de savoir si (p-1)/2 est pair pour écrire la congruence.
J'ai essayé un raisonnement plus haut et ça ne marche pas. -
Pourquoi on a besoin de savoir si (p-1)/2 est pair : très provisoirement dans la démonstration.
À droite des congruences mod p, on a 1,2,3,...,(p-1)/2.
À gauche des congruences mod p, on a (p-1),2,(p-3), ..., puis (p-1)/2 ou (p+1)/2 selon la parité de (p-1)/2. Mais peu importe, on aura de toute façon tous les pairs de 2 à (p-1).
Prends des exemples avec p=13 et p=11.
Puis dans les deux cas, on fait le produit des lignes, et la démonstration continue avec un seul cas.
Comment on a trouvé ça ? Aucune idée. Mais on voit ce genre de choses assez souvent, par exemple dans les intégrales de Wallis. -
Comment quelqu'un qui n'est pas un génie peut trouver ça ?
Visiblement, selon tes critères, toute personne équipée d'un cerveau en parfait état de marche est un génie.
Et selon cette définition de génie, quelqu'un qui n'est pas un génie ne peut pas trouver ça.
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