Table de multiplication de 9
Bonjour,
à l'école élémentaire on nous avait fait remarquer que dans la table de neuf : $9,18,27,36,45,54,63,72,81$ la somme des chiffres est toujours la même, égale à 9. D'où la question naturelle : quels sont les entiers $n\geq 2$ tels que $S(n)=S(2n)=S(3n)=\cdots=S(n^2)$ où $S(n)$ désigne la somme des chiffres de $n$ (écrit en base 10). En cherchant un peu je trouve que ce sont tous les $10^k-1$ où $k\in{\mathbb N}^*$. Ma preuve s'est faite en plusieurs étapes.
(1) Soit $1\leq n\leq 10^m-1$ un entier, alors $S(n\cdot(10^m-1))=9m$.
(2) Si $S(n)=S(2n)$, alors $9 \mid n$.
(3) Si $S(n)=S(2n)=\dots=S(n^2)$ alors $n=10^m-1$.
Je me demande si vous connaissez une méthode, ou une approche, plus simple (plus directe, plus esthétique, etc.)
Merci.
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Réponses
Moi, j'connais pas. Mais l'exo est marrant. J'ai examiné le cas $k=2$ : en fait, j'ai fait que $(9:9) \mapsto 18$, $2 \times 99=(1:9:8) \mapsto 18$ et $3 \times 99=3 \times 99=(2:9:7) \mapsto 18$; ces notations nous seront peut-être utiles pour avancer...
Vraiment intéressant. Comme je suis du type bourrin, je me suis dit que j'allais envisager tous les cas. En commençant par k=0. Le seul qui marche est effectivement 9. Le problème du nombre de cas à considérer se pose dès k=1. Alors, je me suis dit : et en base trois? Prenons le cas du seul nombre à envisager à un seul chiffre 2=(2)...$1\times2=2=(2) \mapsto 2; 2 \times2=4=(1:1) \mapsto 2$ Tiens, ça marche comme pour la base dix, on dirait...
Reprenons alors la preuve : par exemple le point (2) : supposons que $S(n)=S(2n)$. On a $n=S(n)[b-1]$ et $2n=S(2n)[b-1]$. Donc $n=2n[b-1]$ et $n=0[b-1]$. Autrement écrit $b-1|n$. Il semblerait bien que tout ceci ne soit pas lié à la base dix et que pour rendre la preuve plus élégante et mieux faire ressortir les idées, il faudrait l'établir dans n'importe quelle base b.
Voilà pour le point (2) de ta preuve.
Je pense donc qu'il est déraisonnable de chercher mieux. N'est-ce pas?
Pour bien comprendre, j'ai examiné le cas $m=2$ :
On prouve d'abord que $S(10^2-n)=2\times 10-1-S(n)$. D'où l'on déduit que $S(n.(10^2-1))=S(n)-1+S(10^2-n)=S(n)-1+2\times10-1-S(n)=2\times10-2=2\times(10-1)=2\times9$ comme avancé.
C'est bien ce que vous avez fait ?
S\left(n\cdot\left(10^m-1\right)\right)
&=S\left(n\cdot 10^m-n\right)=S\left(n\cdot 10^m-10^m+10^m-1+1-n\right)\\
&=S\left((n-1)\cdot 10^m+\left((10^m-1)-(n-1)\right)\right)\\
&=S\left((n-1)\cdot 10^m\right)+S\left((10^m-1)-(n-1)\right)=S(n-1)+9m-S(n-1)\\
&=9m.
\end{align*}
(i) $n \leq 10^{m-1}-1$ auquel cas on est ramené au cas précédemment étudié; $n=(b-1:b-1:...:b-1)$ avec $b=$dix;
(ii) On fait la division euclidienne de $n$ par $b^{m-1}$. $n=qb^{m-1}+r$ avec $r \leq b^{m-1}$. On commence par observer que $S(n-qb^{m-1})=S(n)-q=...=S(n^2)-q$. Donc $n-qb^{m-1}=(b-1:...:b-1)$ et $n=(q:b-1:b-1:...:b-1)$.
Reste à prouver que $q$ est nécessairement $b-1$.
On va utiliser $2b-2=b+b-2$. Alors $2n=(2q+1:b-1:...:b-2)=(\alpha:\beta:b-1:...:b-2)$.
Il faut un peu se triturer les méninges pour exclure le cas $\alpha=0$ mais cela est utile pour finalement arriver à l'équation $1+2q+1-b-1=q$ d'où l'on tire (ouf! ) enfin que que $q$ ne peut effectivement être égal qu'à $b-1$. qed.
Que voulez-vous de plus élégant que cela pour des amateurs des numérations ? Alors, je réitère ce que j'avais dit au tout début : moi, je ne sais pas s'il y a mieux, je trouve déjà cela pas mal du tout.
Je ne sais pas où vous avez trouvé cet exercice mais j'aimerais bien savoir qui l'a écrit.
Je note $S_b(n)$ la somme des chiffres de $n$ écrit en base $b$. On a pour $n\geqslant2$ :
$S_b(n)=S_b(2n)=\dots=S_b(n^2)$ si et seulement si $n=b^m-1$ avec $m\in\N^*$ ou bien $n=b=2$.
Dans un sens yan2 l'a montré plus haut et c'est immédiat pour $n=b=2$.
La partie difficile est l'autre implication (point (3) dans l'énoncé de yan2).
J'ai d'abord cherché sans succès à utiliser le point (2). J'ai ensuite trouvé une démonstration assez courte.
Si $b^{m-1}+1\leqslant n \leqslant b^m-1$ alors en introduisant $k=b^{m-1}+1$ on montre que $S_b(kn)=S_b(n)$ entraine $n=b^m-1$.
Il suffit pour cela d'écrire $n$ en base $b$, puis $kn$ et de distinguer deux cas suivant qu'il y ait des retenues ou pas.
Remarque : si $n=b^m$ on obtient facilement la seule possibilité $n=b=2$.
Donc la somme des chiffres de tout les multiples de $b-1$ est un multiple de $b-1$.
Et parmi tous les nombres à 2 chiffres, le seul dont la somme des chiffres est $2(b-1)$ est $b^2-1=(b-1)(b+1)$, tous les multiples de $b-1$ à 2 chiffres et autres que $(b-1)(b+1)$ sont condamnés à avoir $S(k(b-1))=b-1$