Ensembles isométriques oral X

OShine

Bonjour.
Oral de l'X PC 2022. Je ne vois pas comment démarrer.

skazeriahm

Alors laisse tomber ! Cordialement.

Homo Topi

Fais. Un. Dessin.

OShine

Un dessin de la boule unité ?

@skazeriahm pourquoi ? L'exercice est évident ?

lourrran

Il faut réfléchir, ce n'est pas un exercice pour toi.

Cyrano

OShine, première question avant de commencer l'exercice. Arrives-tu à imaginer un moyen de couper un disque en deux morceaux "de même taille" ?

OShine

@Cyrano oui facile.

Cyrano

Et bien essaie déjà de les bijecter l'un sur l'autre. On verra plus tard pour le caractère isométrique.

OShine

On coupe le disque unité au niveau de l'axe des abscisses.
On a deux parties qui partitionnent $\R^2$.
On prend l'application qui va de A dans B et définie par  $(x,y) \mapsto (x,-y)$.

JLapin

L'image de $(0,0)$ va te poser un petit problème : lequel à ton avis ?

OShine

L'application n'est pas définie.
Un problème avec tous les éléments situés sur l'axe des abcisses.

Thierry Poma

@OShine : ton application est bien définie. La vraie question est : as-tu tenu compte de l'hypothèse selon laquelle $A$ et $B$ doivent être disjointes et telles que $D=A\cup{}B$ ? Je ne vois rien sur ce point. Je vais même jusqu'à dire que l'on a $A\ni(0,\,0)\mapsto(0,\,0)\in{}B$, avec ton application.

lourrran

J'imagine l'examinateur qui propose cet exercice dans une Kholle. L'élève est là depuis 4 minutes, et il n'a toujours pas vu que le problème, c'est ce point (0,0)
Pourtant, l'examinateur a déjà aidé, il a déjà demandé de bâtir une bijection 'avec les mains'.
Pire, quand l'examinateur a proposé de découper le disque en 2 moitiés de même forme, l'élève a répondu 'facile' !!!

Là, l'examinateur dit normalement : fin de la kholle, vous avez un 0 pointé, et comme ça vous n'oublierez pas tout de suite que le point particulier de cette figure, c'était le point (0,0), et vous n'oublierez pas non plus que si on parlait du disque unité pointé (sans le point origine), l'exercice serait trivial.

L'exercice n'est pas trivial, mais quand on n'est pas foutu de voir en 3 minutes que le problème, c'est le point origine, on ne boxe vraiment pas dans la bonne catégorie.

OShine

Je n'ai pas compris pourquoi l'unique problème est le point $(0,0)$.

Pour moi le problème c'est tout l'axe des abcisses car l'application que j'ai citée aura une infinité de points fixes ce qui est impossible car A et B sont disjoints.

$f(5,0)=(5,0)$ donc $(5,0) \in \emptyset = A \cap B$.

Math Coss

Tu viens d'écrire l'expression clé. Cependant, parler de $(5,0)$ quand on est dans le disque unité n'est pas très pertinent. D'autre part on peut imaginer d'autres isométries avec moins de points fixes.

noobey

Hello Oshine. Tu vas de nouveau perdre 1 semaine sur un exo pas du tout adapté pour toi comme toujours. Arrête de t'infliger ça.

Retourne sur du plus classique

lourrran

Tu réfléchis encore 5 secondes, avec un cerveau basique 4 processeurs, sans option, et tu vas trouver une autre 'bijection', qui marche un peu mieux.
Mais il restera ce problème en (0,0).

Incroyable d'être bloqué comme ça. 

Question aux profs de Lycée ou Prépa : on propose cet exercice en Maths-Sup, la semaine de la rentrée. Donc en fait, on propose cet exercice à des bacheliers qui veulent faire des maths. Et on leur propose ça comme exercice ouvert, on leur demande de réfléchir à la question. Combien d'élèves vont rester bloqués comme OShine ?

JLT

Je crois qu'il vaut mieux donner tout de suite la solution. Désignons par $D(a,R)$ le disque fermé de centre $a$ et de rayon $R$. Supposons par exemple $0\in A$. Alors $B\subset D(0,1)\cap D(f(0),1)$ donc $\mathrm{diam}(B)<2$, alors que $A=D(0,1)\setminus B\supset D(0,1)\setminus D(f(0),1)$ ce qui implique $\mathrm{diam}(A)=2$. Contradiction.

Édit : coquille corrigée (1 changé en 2).

Math Coss

Ah oui, rien à voir avec les points fixes. Une vraie difficulté pour exploiter les points fixes serait de montrer qu'une isométrie du disque est la restriction d'une isométrie du plan.

OShine

@lourrran je ne vois pas pourquoi le seul problème est en $(0,0)$.

skazeriahm

lourrran a dit :

Question aux profs de Lycée ou Prépa : on propose cet exercice en Maths-Sup, la semaine de la rentrée. Donc en fait, on propose cet exercice à des bacheliers qui veulent faire des maths. Et on leur propose ça comme exercice ouvert, on leur demande de réfléchir à la question. Combien d'élèves vont rester bloqués comme OShine ?

Un bon paquet !

lourrran

Normal, tu ne vois jamais où est le problème. 
Tu as trouvé une première bijection $(x,y) \mapsto (x,-y)$
Tu pourrais continuer tes investigations, et regarder cette nouvelle bijection :  $(x,y) \mapsto (-x,y)$
Maintenant, ce n'est plus l'axe des abscisses qui pose problème, c'est l'axe des ordonnées.

On peut continuer les investigations. La composée de 2 isométries est un isométrie. Regardons la composée de ces 2 trucs :
$(x,y) \mapsto (-x,-y)$

Ah, on avance, on n'a plus que le point (0,0) qui pose problème.

On nous demandait si on pouvait trouver au moins une isométrie tel que bla bla bla , on en a une qui convient, sauf pour le point (0,0). Je te laisse définir les ensembles A et B qui conviennent, en faisant l'impasse sur ce point (0,0)

On a des trucs à raconter à l'examinateur, on ne va pas rendre copie blanche. On a fait en gros ce qu'un jeune bachelier saurait faire.
Maintenant, il reste à prouver que ce problème en (0,0), il n'y a aucune isométrie qui convient... Et là, ça devient compliqué, ça nous dépasse vu qu'on a à peine le niveau bachelier.

Thierry Poma

Voici un exercice entièrement guidé :

OShine

JLT a dit :

Je crois qu'il vaut mieux donner tout de suite la solution. Désignons par $D(a,R)$ le disque fermé de centre $a$ et de rayon $R$. Supposons par exemple $0\in A$. Alors $B\subset D(0,1)\cap D(f(0),1)$ donc $\mathrm{diam}(B)<1$, alors que $A=D(0,1)\setminus B\supset D(0,1)\setminus D(f(0),1)$ ce qui implique $\mathrm{diam}(A)=1$. Contradiction.

Pas compris c'est trop succint comme preuve.

JLT

Un exercice dont on ne comprend pas la correction n'a pas d'intérêt.

OShine

@lourrran je ne suis pas convaincu car je ne vois pas comment trouver une fonction qui convient si on exclut $(0,0)$.
@Thierry Poma merci !

Math Coss

Lourrran te l'a donnée ! 

Cyrano

Fais un dessin Oshine.
Prends la moitié strictement supérieure du disque puis colorie-la en vert. Colorie la partie strictement inférieure en rouge.
Maintenant regarde le segment $[-1,1]$ que tu n'as pas encore colorié. Colorie $[-1,0[$ en vert et $]0,1]$ en rouge.
A présent la partie verte s'envoie sur la partie rouge, de façon bijective, via une symétrie centrale. (Qui a le bon goût d'être une isométrie)
Mais quid de $0$ ? 

Amédé

Je ne pense pas qu'il y ait besoin de tant d’atermoiements... A mon avis la connexité de $D$ permet de vite conclure.

Cyrano

@Amédé : La connexité permet juste d'affirmer que si une telle partition existait, alors les deux ensembles ne seraient ni ouverts ni fermés.

OShine

JLT a dit :

Un exercice dont on ne comprend pas la correction n'a pas d'intérêt.

Les corrections généralement sont plus détaillées que ta solution. Les inclusions sont démontrées ainsi que les inégalités.

OShine

Cyrano a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2373608/#Comment_2373608

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ok merci je vois maintenant.
Il me reste à essayer de résoudre l'exercice avec les questions intermédiaires données par @Thierry Poma

JLT

Ma correction donne tous les éléments nécessitant de faire preuve d'imagination. Le reste n'a pas d'intérêt.

Amédé

@Cyrano: Pas d'accord. Si A est fermé par exemple, B est ni ouvert ni fermé. Si A est ouvert, B est fermé ( à vérifier car j'ai juste fait un dessin). Une isométrie bijective entre $A$ et $B$ est un homéomorphisme, B=f(A) et A doivent avoir la même nature topologique. Mais peut-être que mon raisonnement n'est pas bon.

Math Coss

Ce que tu viens de montrer, c'est ce qu'a annoncé Cyrano : si une telle partition existe, $A$ et $B$ ne sont ni ouverts ni fermés.

Riemann_lapins_cretins

Six jeunes m'abusent un tel découpage est impossible en supposant les deux parties simplement homéomorphes (donc $f$ bijective et continue sans être forcément une isométrie).

Ça peut se montrer avec des outils élémentaires de prépa ?

raoul.S

Amédé a dit :

@Cyrano: Pas d'accord. Si A est fermé par exemple, B est ni ouvert ni fermé.

Si $A$ est fermé alors il est compact donc $B$ est compact (car image par $f$ qui est continue) donc $B$ est fermé, ce qui est impossible par connexité de $D$. Donc $A$ n'est pas fermé et n'est pas ouvert s'il existe...

Ceci dit la preuve de JLT est vraiment expéditive.

OShine

J'ai réussi à montrer le premier résultat donné par @JLT.

Thierry Poma

@OShine : plus simplement. Par hypothèse, $A\subset\mathcal{D}(O,\,1)$ et $B\subset\mathcal{D}(O,\,1)$, de sorte que $B=f(A)\subset{}f\left(\mathcal{D}(O,\,1)\right)=\mathcal{D}(f(O),\,1)$, par définition de $f:A\to{}B$ qui est une isométrie. Ainsi a-t-on $B\subset\mathcal{D}(O,\,1)\cap\mathcal{D}(f(O),\,1)$, comme attendu.
PS : je n'ai pas analysé ton essai. Je n'ai pas le temps.

OShine

Ok Thierry je préfère raisonner comme j'ai fait que manipuler directement les ensembles comme ça je risque de faire des erreurs graves.

Pour le diamètre je n'ai pas réussi.

JLT

Pour le diamètre j'avais fait une faute de frappe c'était un 2 à la place du 1. Fais un dessin.

OShine

Ok merci.

Si le segment [-1,1] est inclus dans B le diamètre peut valoir 2 non ? Ce détail me gène.

JLT

Je n'expliquerai pas ma correction, réfléchis ou abandonne.

OShine

J'ai une question existentielle.
Le diamètre d'une partie peut-il être obtenu en passant par un point qui n'appartient pas à la partie ?
J'ai montré que le diamètre est inférieur ou égal à 2. Il me reste plus qu'à montrer qu'il ne peut pas valoir 2.

raoul.S

OShine a dit :

Le diamètre d'une partie peut-il être obtenu en passant par un point qui n'appartient pas à la partie ?

Le diamètre d'une partie $C$ quelconque d'un espace normé (pour le métrique c'est pareil) est par définition $diam(C):=\sup\{\|x-y\|\;\mid x,y\in C\}$. Tu vois bien qu'il n'y a aucun "point milieu". Par exemple si $C:=\{-1,1\}\subset \R$ alors $diam(C)=2$ et pourtant $0\not\in C$.OShine a dit :

J'ai montré que le diamètre est inférieur ou égal à 2. Il me reste plus qu'à montrer qu'il ne peut pas valoir 2.

OShine, $B$ est contenu dans  le disque $D(0,1)$ qui est évidemment de diamètre 2, il est évident que $B$ a un diamètre inférieur ou égal à 2... Plus généralement si $C'\subset C$ alors $diam(C')\leq diam(C)$ ça découle directement de la définition. Donc quand tu dis "il me reste plus qu'à..." c'est la partie la plus "difficile" en fait qu'il te reste

Riemann_lapins_cretins

Oui. Si tu appliquais strictement les définitions tu aurais pu répondre toi-même.

lourrran

J'ai montré que le diamètre est inférieur ou égal à 2

Cette partie là n'était pas très difficile. J'espère que tu en es conscient.

Thierry Poma

@OShine ; regarde la question 2 de l'énoncé que j'ai déposé.

OShine

@Thierry Poma je n'y arrive pas à faire la question 2 ni à démontrer que le diamètre ne peut pas valoir 2.

@raoul.S d'accord merci.

raoul.S

C'est un sup pas un max dans la définition du diamètre, donc il n'est pas forcément atteint. Par conséquent tu ne peux pas affirmer que si $diam(B)=2$ alors il existe $u,v$ dans $B$ tels que $\|u-v\|=2$. Médite sur $diam(]0,1[)=1$ pour un contre-exemple...

De plus tu essaies de démontrer que $0$ est le milieu du segment $[u,v]$ mais sans imposer dans tes calculs que $u$ et $v$ sont dans le disque $D(0,1)$. Tu sais combien il y a de points $u,v$ du plan tels que $\|u-v\|=2$ ? Beaucoup

Bref il faut s'y prendre autrement...

OShine

D'accord merci peut-être la caractérisation de la borne supérieure...